A5S1pauta - Diego Espinoza Emmer

Universidad Diego Portales.
Escuela de Industrias, Facultad de Ingeniería.
Modelos Estocásticos; 2do semestre de 2014.
Profesor: Franco Basso
Ayudantes: Diego Espinoza
Ayudantía N°5
Problema 1
Se ha observado que a la puerta del Estadio Nacional llegan personas de acuerdo a un Proceso
de Poisson con tasa 350
𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
,
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
para presenciar un partido de futbol. Sin embargo, a los
concurrentes no les gusta estar muy aglomerados. Por lo tanto, las personas al llegar consultan
por el número de espectadores que ya han ingresado (suponga que en la puerta se dispone de
dicha información de forma exacta). Si este número es menor o igual que 40.000, las personas
siempre ingresan. Si es mayor a 40.000, con probabilidad 0.25 una persona cualquiera ingresa;
en caso contrario se devuelve a su casa.
Para efectos de este problema, suponga que el Estadio tiene capacidad infinita y que el
Proceso de llegada de personas se inicia en el momento en que se abren las puertas.
Problema 2
En el Centro de Urgencias Médicas (C.U.M) del Dr. House, que atiende 24/7 a la semana,
durante todos los días del año. Se sabe que los pacientes llegan en forma independiente y la
probabilidad que el estado del paciente sea grave es de 0,4, que sea intermedio es 0,35 y que
sea leve es 0,25.
Problema 3
Supongamos que se desea vender un artículo, y que las ofertas para comprarlo llegan
de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa 𝑐. Supongamos que cada oferta es una
variable que tiene como función de densidad continua 𝑓(𝑥). Una vez que se le
presenta la oferta, usted debe aceptar o rechazar y esperar a la siguiente oferta.
Usted incurre en un costo c por unidad de tiempo hasta que se vende el artículo,
además su objetivo es maximizar el rendimiento total esperado, donde el rendimiento
es igual a la cantidad recibida por la venta menos el costo total incurrido. Suponga que
usted emplea la política de aceptar la oferta que sea mayor a un cierto valor “y”
específico. ¿Cuál es el mejor valor de y?
Solución: Calcularemos el retorno total esperado cuando se utiliza la “y-politica”, a
continuación, elija el valor de “y” que maximiza esa cantidad. Sea X el valor de una oferta
∞
𝑓(𝑢)𝑑𝑢 sea su función de distribución de cola.
𝑥
escogida al azar, y que F (x) = P {X>x} = ∫
̅ (𝑦), se deduce que tales
Debido a que cada oferta será mayor que “y” con probabilidad 𝐹
̅ (𝑦). Por lo tanto, el
ofertas se producen de acuerdo con un proceso de Poisson con tasa 𝜆𝐹
tiempo hasta que se acepte una oferta es una variable aleatoria exponencial con tasa
𝜆𝐹̅ (𝑦). R (y) denota el rendimiento total de la política que acepta la primera oferta que es
mayor que “y”, tenemos
𝐸[𝑅(𝑦)] = 𝐸[𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑟 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎] − 𝑐𝐸[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛]
= 𝐸[𝑋|𝑋 > 𝑦] −
𝑐
𝜆𝐹̅ (𝑦)
= ∫ 𝑥𝑓𝑋|𝑋 > 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 −
𝑐
𝜆𝐹̅ (𝑦)
∞
0
∞
=∫ 𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑐
𝑑𝑥 −
𝐹̅ (𝑦)
𝜆𝐹̅ (𝑦)
∫𝑦 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑐⁄𝜆
=
𝐹̅ (𝑦)
∞
Rendimientos de Diferenciación
∞
𝑑
̅
𝐸[𝑅(𝑦)] = 0 ↔ −𝐹 (𝑦)𝑦𝑓(𝑦) + (∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑐⁄𝜆) 𝑓(𝑦) = 0
𝑑𝑦
𝑦
Por lo tanto, el valor óptimo de y satisface
∞
𝑦𝐹̅ (𝑦) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑐⁄𝜆
𝑦
O
∞
∞
𝑦 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑐⁄𝜆
𝑦
𝑦
O
∞
∫ (𝑥 − 𝑦)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐⁄𝜆
𝑦
Ahora observamos que el lado izquierdo de la formula anterior es una función no creciente
de "y". Para ello, tenga en cuenta que, con 𝑎 + definido para igualar 𝑎 si 𝑎
si no, tenemos
∞
∫ (𝑥 − 𝑦)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[(𝑋 − 𝑦)+ ]
𝑦
> 0 o igual a 0
Debido a que (𝑋
− 𝑦)+ es una función no creciente de "y", por lo que es su esperanza,
mostrando de este modo que el lado izquierdo de la ecuación (5.14) es una función no
creciente de "y". En consecuencia, si 𝐸[𝑋]
< 𝑐⁄𝜆 - en cuyo caso no existe una solución de
la ecuación - entonces es óptima para aceptar cualquier oferta; de lo contrario, el valor
óptimo "y" es la única solución de la ecuación.