nacimiento y muerte

Cadenas de Markov de tiempo Contínuo y Procesos de nacimiento y Muerte
Ejercicios resueltos
1.- Se tiene un sistema en dos niveles, en el primer nivel usuarios se conectan
a un sistema de apuestas computacionales. El número de personas que se
conectan sigue una distribución de Poisson a tasa λ un/hr. Cada persona
mientras está conectada realiza apuestas a un segundo nivel. Cada persona
genera apuestas con distribución exponencial a tasa de β apuestas/hora. Las
personas conectadas permanecen un tiempo exponencial co tasa µ un/hr. Las
apuestas demoran en ser atendidas un tiempo exponencial a tasa α un/hr.
Se pide
a) Distribución de probabilidades del número de entidades en el nivel mas
alto
b) Distribución conjunta de probabilidades del número de entidades en el
nivel mas bajo y el número de entidades en el nivel más alto.
Desarrollo:
a) Nivel
mas
alto
:
El
proceso
{X ((t ) : nº de usuarios conectados en t , t ≥ 0}es un proceso de nacimiento
y muerte.
λ (1) * λ (0 )
λ2
λ (0)
λ
;
P2 =
P0 =
P0
;
P1 =
P0 = P0
µ (1)
µ
µ (2 ) * µ (1)
2µ * µ
λ (2 )λ (1)λ (0)
λ3
P3 =
P0 =
P0
µ (3)µ (2)µ (1)
3µ * 2 µ * µ
n
1λ
Término general Pn =   P0 ; ∀n > 0
n!  µ 
Obtención de P0 :
−1
−1
n
∞

 λ
 ∞ 1  1 n 
1λ 
P0 = 1 + ∑    =  ∑    =  e µ
 n =0 n!  n  

 n =1 n!  µ  





Reemplazando P0 en el término general:
n
−λ




−1
−λ
=eµ
1 λ
Pn =   e µ ∀n ≥ 0
n!  µ 
b) Sea Y (t ) : n º apuestas en el nivel mas bajo
P{X (t ) = j; Y (t ) = k } = P Y (t ) = k
* P{X (t ) = j}
X (t ) = j
P Y (t ) = k
= ??
X (t ) = j
{
}
{
}
La variable aleatoria Y (t )
X (t ) = j
corresponde a un Proceso de Nacimiento
y Muerte
Tasa de nacimiento λ (k ) = βj
Tasa de muerte µ (k ) = αk
Usando la distribución de probabilidades de la letra a
{
P Y (t ) = k
X (t ) = j
}= e
−
β j
α
1  βj 
 
k!  α 
k
Reemplazando
P{X (t ) = j , Y (t ) = k } = e
−
β j
α
λ
1  βj 
µ 1 λ 
 
  *e
k!  α 
j!  µ 
k
j
2.- En un club de veraneo las personas pasan el tiempo entrando y saliendo de
la piscina para capear el calor de la temporada de verano. Los bañistas entran a
la piscina según un Proceso de Poisson a tasa promedio de 4 personas por
minuto y permanecen en la piscina un tiempo exponencial con un tiempo medio
de permanencia de 10 minutos. Suponga que la piscina tiene capacidad infinita
para recibir a todas las personas que entren a ella.
Se pide :
a) Probabilidad de que la piscina esté vacía.
b) Número medio de personas presentes en la piscina.
c) Tiempo medio de permanencia en la piscina
Desarrollo:
Sea X (t ) :nº de bañistas presentes dentro de la piscina en el instante t.
{X (t ), t ≥ 0} es un Proceso de Nacimiento y Muerte
Tasas de nacimiento:
λ( j) = 4 j ≥ 0
personas/minuto
Tasas de muerte: Si cada persona permanece en promedio 10 minutos, la
tasa de salida de una persona es de 6 personas por hora, luego
1
µ( j) =  j j ≥ 0
10
Calculo de las probabilidades
λ (0)
4
λ (1)
1
1
2
P1 =
P0 =
P0 = 40 P0
P2 =
P1 = 40 P1 = (40) P0
1
µ (2 )
2
2
µ (1)
10
λ (2 )
11
11
(40)3 P0 = 1 (40)3 P0
P3 =
P2 =
P2 =
µ (3)
32
32
3!
Término general
1
n
Pn = (40) P0 n ≥ 1
n!
∞
1


P0 = 1 + ∑ 40 n 
 n =1 n!

Pn = e − 40
40 n
n!
n≥0
∞
∞
n =0
n =1
b) L = ∑ nPn = ∑ ne
L=e
− 40
2 ∞ (40)
∑
3 n =1 (n − 1)
n −1
∞
L = e −40 40∑
j =0
(40) j
j!
 ∞ (40)n 
P0 = ∑

 n =0 n! 
−1
−1
= e − 40
esta es una distribución de Poisson con tasa media 40 .
− 40
(40)n
n!
=e
− 40
n
n −1
∞
(
40)
(
40 ) (40 )
− 40
n
=e ∑
∑
(n − 1)!
n(n − 1)!
n =1
n =1
∞
haciendo el cambio de variables j = n − 1
= e −40 40 40 = 40
3.- Artículos a ser procesados llegan a dos procesos productivos 1 y 2, los que
comparten una zona de almacenamiento de materias primas llamada buffer, en
el cual se pueden almacenar a lo más N artículos. Los artículos tipo 1 deben
ser procesados en el proceso 1 y los artículos tipo 2 en el proceso 2. La llegada
de artículos para ambos procesos siguen sendos procesos de Poisson con
tasas λ1 y λ2 respectivamente. Los tiempos de operación de cada proceso
productivo son exponenciales con tasas µ1 y µ 2 . Los artículos que llegan
cuando el buffer está completo, son derivados a otros talleres. Formule un
modelo que permita conocer, en el largo plazo, la proporción de artículos
derivados a otros talleres.
Desarrollo:
Sea X (t ) : número de artículos en el buffer y
X 1 (t ) : número de artículos tipo 1, en el buffer
X 2 (t ) : número de artículos tipo2, en el buffer
Es claro que X (t ) = X 1 (t ) + X 2 (t )
Sea p: proporción de artículos que se derivan a otros talleres.
p = P( X (t ) > N ) = 1 − P( X (t ) ≤ N ) = 1 −
N
∑ P(X (t ) = k ∧ X (t ) = N − k )
1
2
k =0
N
p =1−
∑P P
1 2
k N −k
k =0
1
k : probabilidad de que en el buffer hayan k artículos tipo
2
N − k : probabilidad de que en el buffer hayan N-k artículos.
En que P
1 y
P
En el largo plazo, suponiendo la existencia de un estado estacionario se tiene
que se cumple la ecuación de equilibrio para las variables X 1 (t ) y X 2 (t ) , esto
es
v j Pj =
∑P v P
k k
kj
k≠ j
Además como los cambios de estado ocurren solo a los estados j y j+1, se tiene
que
X 1 (t ) y X 2 (t ) corresponden a sendo procesos de Nacimiento y Muerte:
Ecuación de equilibrio
[λ ( j ) + µ ( j )]Pj = λ ( j − 1)Pj −1 + µ ( j + 1)Pj +1
λ1
0
Tasa de nacimiento X 1 (t ) : λ ( j ) = 
X <N
X ≥N
j=0
j ≥1
0
Tasa de Muerte X 1 (t ) : µ ( j ) = 
µ1
λ2 X < N
0 X ≥ N
Tasa de nacimiento X 2 (t ) : λ ( j ) = 
0
Tasa de Muerte X 2 (t ) : µ ( j ) = 
µ 2
Entonces las probabilidades son :
j=0
j ≥1
λ 
λ
λ (0) 1 λ1 1 1  λ1  1 1 λ ( N − 1) 1
PN −1 = 1 PN1 =  1  P01
P =
P0 = P0 Pn =   P0 PN =
µ (1)
µ1
µ (N )
µ1
 µ1 
 µ1 
n
N
1
1
λ (0) 2 λ2 2 2  λ2  2
P12 =
P0 =
P0 Pn =   P0
µ (1)
µ2
 µ2 
n
λ 
λ
λ ( N − 1) 2
P =
PN −1 = 2 PN2 =  2  P02
µ (N )
µ2
 µ2 
N
2
N

P01 = 1 +

N
 λ1
∑ 
k =1
 
µ1  

k
−1

P02 = 1 +

N
 λ2
∑ 
k =1
 
µ 2  

k
−1
Entonces reescribiendo p se tiene:
N
p =1−
∑ P( X (t ) = k ∧ X (t ) = N − k ) =
1
2
k =0
N
1−
∑P P
1 2
k N −k
k =0
N
=1− P P
1 2
0 0
∑
k =0
 λ1 
 µ 

1
k
 λ2 
 µ 

2
N −k
4.- Suponga que a un Concierto de rock llegan personas en buses de acuerdo a
un proceso de Poisson a tasa λ . En la entrada hay una única persona
atendiendo y le toma un tiempo exponencial controlar a cada persona con tasa
µ . Cada bus trae m personas con probabilidad Uniforme de parámetros a y b.
Formule un modelo de Cadenas de Markov de tiempo continuo que permita
analizar, en el largo plazo el número de personas esperando frente a la puerta.
Desarrollo:
Sea X (t ) : número de personas esperando para entrar al concierto.
En el largo plazo, suponiendo la existencia de un estado estacionario se tiene
que se cumple la ecuación de equilibrio para la variable X (t ) , esto es
v j Pj =
∑P v P
k k
kj
k≠ j
Además como los cambios de estado ocurren solo a los estados j y j+1, se tiene
que X (t ) corresponde a procesos de Nacimiento y Muerte:
Ecuación de equilibrio
[λ ( j ) + µ ( j )]Pj = λ ( j − 1)Pj −1 + µ ( j + 1)Pj +1
Sea Y el número de personas que llegan en un bus.
Y ≈ U (a, b ) luego E (Y ) =
a+b
2
Tasa de nacimiento X (t ) : λ ( j ) =
{λ E (Y )
0
j=0
µ
j ≥1
Tasa de Muerte X (t ) : µ ( j ) = 
n

 λE (Y ) 
en
que
Luego Pn = 
P
P
=
 0
1 +
0
µ



E ( X (t )) =
∞
∞
∑n * P = ∑
n
n=0
∞
∑n * ρ
n=0
n
=
n =0
∞
∑
k =1
 λE (Y ) 


 µ 
 λE (Y ) 
n*
 P0 = P0
 µ 
n
ρ
(1 − ρ )2
λ (a + b )
2µ
 λ (a + b ) 
E ( X (t )) = 1 −

2
2

 1 − λ (a + b ) 

2µ 

k
−1

λ (a + b )
 =1−
2

∞
∑n * ρ
n =0
n
5.- En una pequeña oficina pública atiende un solo funcionario a las personas
que realizan sus trámites. Las personas llagan a la oficina de acuerdo a un
proceso de Poisson a tasa λ . Las personas son reacias a esperar demasiado,
de modo que si hay j personas esperando ser atendidas, cuando llegan con
probabilidad q ( j ) se quedan (de lo contrario se van sin ser atendidos). Una vez
en la cola las personas esperan hasta que los atienden o hasta que se les
acaba la paciencia. Suponiendo que los clientes esperan un tiempo exponencial
con tasa φ . Los tiempos de espera de las personas son independientes entre
si. El cajero atiende con tiempos de servicio exponenciales a tasa µ . Modele el
número de personas en la cola como un proceso de nacimiento y muerte,
determinando las tasas y las probabilidades de la variable de estado..
Desarrollo:
Sea X (t ) el número de personas en la cola de espera.
Llegadas (corresponderán a nacimientos):
Las personas que llegan a la cola de espera lo hacen con distribución de
Poisson a tasa λq ( j )
Salidas (corresponderán a muertes):
Las personas salen atendidas con distribución de Poisson a tasa
impaciencia con distribución también de Poisson a tasa φ .
µ o por
Luego se puede suponer que la variable X (t ) se comporta como una Cadena
de Markov de tiempo continuo.
Por lo tanto las probabilidades de transición se rigen por la ecuación siguiente:
d
Pij (t ) =
dt
∑ P (t )v P
ik
k
kj
− v j Pij (t )
k≠ j
En que vk es la tasa de salida del estado k y v j la tasa de salida del estado j.
Se puede suponer que existe distribución estacionaria, de largo plazo, basta
exigir que las tasas de muerte sean mayores que las tasas de nacimiento. Cosa
que haremos mas adelante.
Entonces si existe distribución estacionarias, ahora las probabilidades de
transición no dependen del tiempo ni del estado inicial, luego :
Pij (t ) → Pj
Además las probabilidades de transición dejan de cambiar en el tiempo luego:
d
Pij (t ) = 0
dt
Con esto la ecuación anterior se transforma en :
v j Pj =
∑ v P P ecuación de equilibrio en Cadenas de Markov de
k
k
kj
k≠ j
tiempo continuo.
Mas específicamente se puede ver que los cambios de la variable X (t ) son a
estados contiguos. Por ejemplo si X (t ) = j entonces los cambios inmediatos
serán a j + 1 y j − 1 . Luego se puede modelar X (t ) como un Proceso de
Nacimiento y Muerte ya que los cambios son a estados contiguos.
Luego se pueden aplicar directamente las probabilidades de estado
desarrolladas en clases, basta definir adecuadamente las tasas.
Tasas de nacimiento : λ ( j ) = q ( j )
Tasas de muerte :
0
µ( j) = 
j=0
µ + φj
j >0
P1 =
λ (0)
λq(0)
P0 =
P
µ (1)
µ +φ 0
P2 =
λ (1)
λq(1)
λq(1) λq(0)
P1 =
P1 =
P
µ (2 )
µ + 2φ
µ + 2φ µ + φ 0
Termino general :
n −1
Pn = λ
n
q( j )
∏ µ + jφ P
n ≥1
0
j =0

En que P0 = 1 +

∞
n −1
n =01
j =0
∑∏
q( j ) 

µ + jφ 
−1
Ejercicios propuestos
1.- Se tiene un sistema de apuestas electrónicas en línea, en el cual los
usuarios se conectan en forma remota. Sea X (t ) el número de personas
conectadas al sistema en el instante t. El número de personas que se conectan
sigue una distribución de Poisson a tasa λ un/hr. Las personas conectadas
permanecen un tiempo exponencial con tasa α un./hr. Obtenga la distribución
de probabilidades del número de personas en el sistema.