Oscilaciones armónicas en dos dimensiones

Apéndice: Oscilaciones armónicas en dos dimensiones
• Estudiamos el movimiento de una partícula situada en un plano horizontal,
que sufre la acción de una fuerza restauradora proporcional a la distancia de la
partícula al origen de coordenadas, en la forma vectorial
F = − kr
El sistema tiene dos grados de libertad, ( x , y ) , y su ley de movimiento
mx&& = − kx
my&& = − ky
admite las soluciones
x = A cos (ω 0t − α )
y = B cos (ω 0t − β )
donde ω 0 = k
. El movimiento se compone de oscilaciones armónicas en cada
m
una de las direcciones, con la misma frecuencia pero distintas amplitudes y fases
iniciales.
• Si eliminamos la variable de tiempo t , obtenemos la ecuación de la
trayectoria de la partícula, en la forma
x 2 y2
x y
+ 2 − 2cos δ
= sen 2 δ
2
A
B
AB
siendo δ = α − β el desfase inicial de las dos oscilaciones armónicas. Del valor de
ese desfase depende el tipo de movimiento realizado por la partícula, ya que dicho
desfase está relacionado directamente con las condiciones iniciales de movimiento
− x& ( 0)
tan α =
ω0 x ( 0 )
tan β =
− y& ( 0)
ω0 y ( 0 )
• En el caso general, la trayectoria es una elipse centrada en el origen.
Estudiamos por simplicidad el caso particular A = B . Entonces, la trayectoria es una
δ
δ
elipse con semiejes de longitudes 2 A cos , 2 A sen
respectivamente y uno
2
2
de ellos forma un ángulo de 45º con el eje x .
a) Cuando δ = π , 3π , los dos semiejes tienen el mismo valor A , y la
2
2
trayectoria elíptica se transforma en una trayectoria circular de radio A .
b) Cuando δ = 0,π , uno de los dos semiejes se hace igual a cero, y la
trayectoria elíptica se transforma en la trayectoria rectilínea y = ± x .
• En todas las trayectorias, el sentido de giro en el plano xy se determina
conociendo la variación temporal del ángulo polar θ definido en dicho plano. De la
transformación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas
y
θ = arctan
x
obtenemos
dθ
1
d  y
1
& − xy
& )
=
= 2
yx


2
2(
dt
 y  dt  x  x + y
1+  
x
El signo de la velocidad angular de giro es igual al signo del último factor.
Evaluando este factor
& − xy
& = − A2ω sen (ω t − α ) cos (ω t − β ) − cos (ω t − α ) sen (ω t − β ) 
yx
= − A2ω sen (α − β ) = − A2ω sen δ
vemos que para 0 < δ < π , esta velocidad es negativa y el giro se realiza en sentido
de las agujas del reloj. Para π < δ < 2π , la velocidad angular es positiva y el giro se
realiza en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Todas estas conclusiones se resumen en las siguientes gráficas de las trayectorias
bidimensionales, calculadas en el caso particular A = B = 1 .
δ = 0º
δ = 30º
δ = 60º
δ = 90º
δ = 120º
δ = 150º
δ = 180º
δ = 210º
δ = 240º
δ = 270º
δ = 300º
δ = 330º
• En general, las oscilaciones bidimensionales no tienen por qué poseer las
mismas frecuencias angulares en los movimientos según los ejes x,y, indicando la
existencia de cierta anisotropía espacial. La solución general sería en este caso
x = A cos (ω xt − α )
(
y = B cos ω yt − β
)
y la trayectoria no será una elipse, sino una de las llamadas figuras de Lissajous.
Estas curvas serán cerradas si el movimiento se repite a intervalos regulares de
tiempo, lo cuál sólo es posible si las frecuencias son conmensurables entre sí, es
ω
decir, cuando el cociente x
sea una fracción racional. En caso de que no sea una
ωy
fracción racional, la trayectoria será abierta, que pasará por cualquier punto del
rectángulo de lados A,B. Es decir, la curva llena todo el espacio interior a este
rectángulo. Por simplicidad tomamos de nuevo el caso A = B = 1 . Algunas figuras
de Lissajous se representan en las siguientes gráficas, para el caso 3ω x = 2ω y
δ = 0º
δ = 15º
δ = 30 º
δ = 60º