inversa generalizada de una transformacion lineal

Revista INlEGRACION
Departamento de Matemáticas, UIS
Vol. 7 No. 1, enero-junio 1989
INVERSA GENERALIZADA DE
UNA TRANSFORMACION LINEAL
En 1920 E.H. Moore introduce
neralizada
para una matriz
una investigación
esos momentos
detallada
arbitraria.
en 1700 da una lista de referencias
tos geométricos
versa
En particular
artículo
y algebraicos
generalizada
Penrose y estudiaremos
de los números
de
se vuelve
en matemáticas.
Nashed
sobre el tema.
es desarrollar
esenciales
los fundamen-
para construir
una in-
lineal T arbitraria.
la inversa generalizada
de Moore-
sus propiedades esenciales.
Sean U,V espacios
reales)
A partir
generalizada
de una transformación
construiremos
1. Definición.
En 1955 R. Penrose da
de inversa
de mayor estudio
El propósi to del presente
de una inversa ge-
de la noción anterior.
el concepto
uno de los temas
el concepto
vectoriales
(sobre el campo
y sea T una transformación
U en V. Se dice que una transformación
lineal de
lineal G de V en U
Si T es una transformación
lineal
entonces G = T-l
invertible
Y además G es única.
Sea K = {XE. U ; Tx = O}
cio complementario
para algún
T
y
x ~ U}
el núcleo de T y sea M un subespa-
de K en U. Sea R =
V = R ED S.
de R en V. Así
U = M
@
Y EV
se pueden expresar de manera única como
Es importante
Y
(; V ; Y = Tx
el subespacio imagen de T o recorrido de
S un subespacio complementario
K
{y
Esto signi fica que todo
donde
x l E M,
x
donde
y l E R,
Y2 E. S
2
que
x E U
E. K
notar que el "peso" de la transformación
lineal
T est~ determinado por el subespacio complementario M puesto
que
xI E. M , x2 E K
teorema de dimensión
para suma directa
teorema
fundamental
álgebra lineal
del
: M + R
tal que
T x = Tx , la restricción
de la
o
o
transformación
lineal T a los subespacios
M y R. Si x pertenece al núcleo de T entonces
x pertenece
al núcleo de T, por
Sea T
o
tanto
xE
que T
¡,,¡n
t<.,
luego
x = O. De esta
es una transoformación
o
-1
tal que T o y
Generalicemos
y U de
tal
subespacios
lineal
manera
invertible.
hemos probado
Sea T-1 : R ~ id
o
= x si T Ox = y .
la
transformación
manera
que
complementarios
no
lineal
le asignemos
T-1
o
a
ningún
los
espacios
"peso"
V
a los
S y K de V y U respectivamente.
Yl E R ,
G
Gy
es
=
una
x1
aplicación
y
Gy
=
x2
-1
Gy
= To
que
está
entonces
Y
bien definida,
-1
T O Y1 = xI
puesto
=
x2 .
que
si,
y 1 ' sI€.
-1
= To
-1
To
G( AY)
R ; Y2 ' s2 E: S
.
(y 1 + sI)
-1
Y1
+
G( Ay 1
+
To
sI
AY2)
-1
To (AY1)
AT-1 (y 1)
o
AGy
(ii)
G es una invesa
generalizada
TG(Tx )
1
de T •
puesto
que
y
x
=
xl
+
x2
x 1 E:. M , x E. K
2
Propiedad
asociativa
transf.
lineales
de las
=
T(T
-1
(Tx ))
l
o
T(T-l
o
(T xl))
o
puesto que
TX2
Tx 2 -- O
x 1 E. M
TXl
=
TXl
+
T(x
l
+
x )
2
=- Tx
3.
T a su vez es una inversa
generalizada
de G. Esto es,
GTG = G.
TG, GT son idempotentes.
y
5.
(GT)2
=
El núcleo de la transformación
El recorrido
recorrido
vectoriales
especializamos
lineal
T coincide
con el
lineal TG.
U y V se define
los subespacios
M y S de K y R respectivamente,
complementarios
con el nú-
lineal GT.
de la transformación
y
lineal T coincide
de la transformación
Si en los espacio
interior
2
GT .
cleo de la transformación
6.
Esto es, (TG)
un produCto
complementarios
de tal manera
ortogonales (M = Kl. , S = R~
que sean
entonces
la inversa
generalizada
generalizada
y
tiene
(TG)t
TG
(GT)t
= GT
de
que
se produce
Moore-Penrose.
las siguientes
= < TGy
(Se nota
propiedades
, sI
+ S
2
se le llama
por
I.G.
inversa
de M) P)
adicionales:
>
= < TGy , sI >
= < TGy 1 ' sI>
<y, TGs >
donde
< Yl ' sI
=
< Yl
=
< Yl
TGs
>
< Yl
TG(sl
+
>
Y2 ' TGs>
=
TGsl>
< Yl
sI
>
Yl
+
Y2 '
Y2E:R
YIGR
Y
donde
y 1~ R
1
.L
s2) > donde
sI E R
< Yl
=
.
=
+
y
s
Y
=
sI
Y
Y2~R
s2
1
s2E. R
+
.
--------(*) El producto
interno
de dos vectores,
x
y
s, lo
notamos
por
<x, s >. La transpuesta
de una transformación
lineal
T la definimos
mediante
la siguiente
propiedad:
<Tx,s
>=<x,Tts>
(TG)t
Sea
G* una
dades
inversa
adicionales
de
TG
generalizada
la inversa
de T que cumple
generalizada
tonces:
= (G*tn)t
Tx
(G*t G*Tn)t
Tx
de
las propieM \ P.
En-
= <
Por lo tanto,
Como
G*t G*Tn , Tx >
G* Tx E: kl
K Y K1
donde
son subespacios complementarios
de U se
concluye que
o
< s , TG* s
>
t
s TG* s
t
s TG*TG* s
(TG* s)t TG*s
= < TG* s , TG* s >
s E. R
1
.
Aplicando
G*
a
Ahora
estamos
listos
a probar
la unicidad
de la l.G. de
MI P.
En efecto,
=
G*(y 1
+
y2)'
Y1E: R , Y2 <;;: Rl.
G*(Tx
+
y2)'
Y1 = Tx
G*Tx
+
G*y
y
Y Y
x~.K 1
2
x €. K..L
Por la definición
para todo
de G se tiene Gy
y~ V .
Así, se ha probado que la I.G. de Mfp para una transformación
lineal es única.
Finalizaremos
la inversa
el presente
generalizada
artículo
ilustrando
G de una transformación
u = M
cómo
se obtiene
lineal T.
K , v = R ~ S . Además,
Sea T : u ~ v
con
sean
[v 1 ' v2
bases de M y R respectivamente
lv 3) bases de K y S respectivamente.
[u1 ' u2] y
y sean
[u3, u4),
Sean
1
Tu 1 = S 11vI
+
S 21v2
S 12vI
+
S 22 v 2
TU2
=
@
Tx = T( u1u + u u2 + u u + u4u4)
1
2
3 3
=
Luego
u 1(1311v 1 + (321v2) +
la matriz
[v 1 ' v2] de
asociada
M y R
U
aTo
respectivamente
2((312v 1 + (322v2)
en
las bases
tu 1
es
[T ] =
o
y
como se ha probado que [T ] es no-singular,
o
entonces
' u2]
,
822
- 812
-fj-
T
=
donde
-821
811
-fj-
Para conocer
-1
To
,
-fj-
basta con conocer su comportamiento
las bases de R y M. Esto es,
Gy
=
G(y 1
+
y 2)'
fj= ~ 1 ~2 - 8 8
12 21
Y
=
Y1
+
y2
en
[1] GLENCROSS, M.I., WONG, E., PLANITZ M. Three slants
on th~ generalized Inverse. Math. Gazzete, 173-185,
(l9
).
[2] JAMES, M. The generalized
109-114 (l978).
Inverse. Math. Gazzete,
June,
[3] ROBINSON, O.W.:On the generalized Inverse of an arbitrary
linear transformation. Amer. Math. Monthly. Vol. 69
No. 5, 412-416. (1962).