Fórmulas de Euler e identidades trigonométricas

Fórmulas de Euler e identidades trigonométricas
Objetivos. Deducir algunas identidades trigonométricas usando la fórmula de Euler y la propiedad principal de la función exponencial.
Requisitos. Números complejos, definición de la función exponencial a través de una serie,
propiedad principal de la función exponencial.
Definición de la función exp y su propiedad principal (repaso)
1. Escriba la definición de exp(z) como una serie:
exp(z) := 1 + z +
z2 z3
+
+
2
3!
+
2. Escriba la definición de la función exp(z) usando el sı́mbolo
X
exp(z) :=
+
...
(1)
P
:
k=
Nota. Es posible definir ax para todo a > 0, a 6= 1, y todo x real, empezando con potencias
racionales y luego aproximando los números reales con racionales. Luego es posible demostrar
que para todo x real se cumple la igualdad exp(x) = ex , donde e = exp(1) ≈ 2.71828. Por eso
para todo z complejo en vez de exp(z) se usa también la notación ez .
3. Propiedad principal de la función exponencial. Sean z1 , z2 ∈ C. Entonces
exp(z1 ) exp(z2 ) =
Esta propiedad se puede demostrar usando transformaciones de las series y aplicando la fórmula
de la potencia del binomio. No lo vamos a hacer aquı́.
4. Usando la definición (1) calcule exp(0).
5. Calcule:
exp(z) exp(−z) =
6. Calcule:
1
=
exp(z)
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Fórmulas de Euler
Definición de cos y sen a través de exp.
Las funciones cos : C → C y sen : C → C se pueden definir de la siguiente manera:
cos(ϕ) :=
exp(i ϕ) + exp(− i ϕ)
,
2
sen(ϕ) :=
exp(i ϕ) − exp(− i ϕ)
.
2i
7. Exprese exp(i ϕ) + exp(− i ϕ) a través de cos(ϕ):
exp(i ϕ) + exp(− i ϕ) =
8. Exprese exp(i ϕ) − exp(− i ϕ) a través de sen(ϕ):
exp(i ϕ) − exp(− i ϕ) =
9. Sume las igualdades de los ejercicios anteriores:
2 exp(i ϕ) =
Exprese exp(i ϕ) a través de cos(ϕ) y sen(ϕ):
exp(i ϕ) =
10. Reste las igualdades de los ejercicios 7 y 8:
2 exp(− i ϕ) =
Exprese exp(− i ϕ) a través de cos(ϕ) y sen(ϕ):
exp(− i ϕ) =
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Propiedades de paridad de cos y sen
Ejemplo.
sen(−ϕ) =
ei(−ϕ) − e− i(−ϕ)
e− i ϕ − ei ϕ
ei ϕ − e− i ϕ
=
=−
= − sen(ϕ).
2i
2i
2i
11. Calcule: cos(−ϕ) =
Exprese cos(−ϕ) a través de cos(ϕ) y sen(−ϕ) a través de sen(ϕ):
12.
cos(−ϕ) =
sen(−ϕ) =
Deducción de las identidades para los productos
cos(α) cos(β), cos(α) sen(β) y sen(α) sen(β)
Usando las fórmulas de Euler y la propiedad principal de la función exponencial calcule los
siguientes productos y expréselos a través de cos(α ± β) o sen(α ± β):
13.
2 cos(α) cos(β) =
14.
2 cos(α) sen(β) =
15.
2 sen(α) sen(β) =
16. Resumen:
2 cos(α) cos(β) =
2 cos(α) sen(β) =
2 sen(α) sen(β) =
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Deducción de las identidades para cos(α + β) y sen(α + β)
Escribamos las identidades obtenidas en la sección anterior de otra manera:
17.
cos(α + β) + cos(α − β) =
18.
cos(α + β) − cos(α − β) =
19.
sen(α + β) + sen(α − β) =
Intercambiamos los papeles de α y β en la identidad anterior:
20.
sen(β + α) + sen(β − α) =
21. Tomando en cuenta que sen(−ϕ) =
,
establezca una relación entre sen(β − α) y sen(α − β):
sen(β − α) =
22. Sumando las igualdades anteriores deduzca las identidades para cos(α + β) y sen(α + β):
cos(α + β) =
sen(α + β) =
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