continuidad y derivabilidad de una función en un punto continuidad

DP. - AS - 5119 – 2007
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Estudia la derivabilidad de la función f(x) = x2 - 2x + 1 para x = 1
003
2B
RESOLUCIÓN
Para que una función f(x) sea derivable para x = a se tiene que verificar que:
f' (a+) = f' (a-)
Aplicamos la definición de derivada:
f' (1+) = Lím
h→ 0
h >0
f' (1-) = Lím
h→ 0
h >0
0
f (1 + h) − f (1)
h2 − 0
= Lím
=
IND h
→
0
h
h
0
Lím h = 0
h→ 0
h >0
h >0
0
f (1 − h) − f (1)
h2 − 0
= Lím
=
IND h→ 0
−h
h
0
Lím h = 0
h→ 0
h >0
h >0
La función es derivable en x = 1
CÁLCULOS INTERMEDIOS
f(1) = x2 - 2x + 1 = 12 - 2·1 + 1 = 0
f(1 + h) = x2 - 2x + 1 = (1 + h)2 - 2·(1 + h) + 1 = 1 + h2 + 2h - 2 - 2h + 1 = h2
f(1 - h) = x2 - 2x + 1 = (1 - h)2 - 2·(1 - h) + 1 = 1 + h2 - 2h - 2 + 2h + 1 = h2
Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función f(x) = x2 - 2·|x| + 2
004
2B
RESOLUCIÓN
Preparamos el estudio de la función:
x > 0 f(x) = x2 - 2·x + 2
x < 0 f(x) = x2 - 2·(-x) + 2 = x2 + 2·x + 2
 x 2 + 2 x + 2 si
f(x) = x2 - 2·| x | + 2 =  2
 x − 2 x + 2 si
x<0
x>0
Para x < 0 es continua ya que se trata de una función polinómica; para x > 0 también es
continua ya que se trata de una función polinómica.
Estudiamos la continuidad de la función para x = 0
Se dice que una función f(x) es continua en x = 0 cuando verifica Lím f ( x) = f(0)
x→ 0
Para ello debe cumplir las 3 condiciones siguientes:
(1) Existe Lím f ( x)
x→ 0
(
)
(
)
Lím f ( x) = Lím− x 2 + 2 x + 2 = 2
x→ 0−
x→ 0
Lím+ f ( x) = Lím+ x 2 `−2 x + 2 = 2
x→ 0
x→ 0
Lím f ( x)
x→ 0−
= Lím+ f ( x) = 2
x→ 0
(2) ¿Existe f(0)?
f(0) = 02 - 2—| 0 | + 2 = 2
(3) Lím f ( x) = f(0) = 2
x→ 0
La función f(x) es continua en todo su dominio {∀x∈ℜ}
Para que la función f(x) sea derivable en x = 0, debe cumplirse que:
f' (0+) = f' (0-)
 x 2 + 2 x + 2 si
f(x) = x2 - 2·| x | + 2 =  2
 x − 2 x + 2 si
x<0
x>0
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2 x + 2 si
f'(x) = 
2 x − 2 si
x<0
x>0
1
 Abel Martín
f' (x-) = 2x + 2 f' (0-)= 2·0 + 2 = 2
f' (x+) = 2x - 2 f' (0+) = - 2
f' (0+) ≠ f' (0-)
No es derivable en x = 0 pues hay 2 rectas tangentes en x = 0, según x tienda a 0 por la izquierda
o por la derecha.
Para x < 0 es derivable ya que se trata de una función polinómica sencilla y para x > 0 es
derivable ya que se trata de otra función polinómica. No es derivable en x = 0.
2
Continuidad y derivabilidad de una función en un punto