Hurtado Balcazar Diego Alejandro. Martínez Díaz José Rodrigo

Hurtado Balcazar Diego Alejandro.
Martínez Díaz José Rodrigo Alejandro.
Méndez Díaz Francisco Antonio.
Solución a la Ecuación de Schrödinger para el Oscilador Armónico Cuántico.
Introducción.
El movimiento vibracional de una molécula diatómica puede ser descrito mediante la
aproximación del oscilador armónico cuántico; los resultados obtenidos son de gran
utilidad en la descripción de sistemas químicos y moleculares, a continuación se presenta
un breve resumen del tratamiento del oscilador armónico en su tratamiento clásico,
posteriormente la solución desde el punto de vista de la mecánica cuántica y para finalizar
se presentan los resultados derivados de dicho tratamiento una vez que se ha logrado
obtener la ecuación de onda para el oscilador armónico.
Tratamiento Clásico del Oscilador Armónico.
El oscilador armónico clásico constituye el modelo utilizado para describir el movimiento
de un cuerpo de masa m sujeto a un resorte, cuando este ultimo se elonga o comprime
desde una posición de equilibrio, dicho movimiento se rige por la ley de Hooke. Esta ley
establece que dada una masa m, el desplazamiento a partir de una posición de equilibrio
tiene una fuerza F proporcional al desplazamiento que actúa para restituir la masa hacia
el punto de equilibrio. Esta afirmación se encuentra dada por la siguiente ecuación:
F = -kx = m d²x/dt²
Donde t es el tiempo y k recibe el nombre de constante de fuerza. Cuando k>1 el resorte
no es fácilmente deformable, mientras que cuando k<1, la deformación se realiza con
mayor facilidad. Obsérvese que el signo negativo indica que la fuerza y el desplazamiento
van en sentido inverso tomando como referencia el punto de la posición de equilibrio. Las
unidades de la fuerza se expresan en Newton, el desplazamiento en m y la constante de
fuerza en N/m.
La solución de esta ecuación esta dada por la siguiente expresión:
x = A sen (2πvt + b)
Donde A es la amplitud de vibración, b es una constante de integración y v es la
frecuencia de vibración dada por:
v = (1/2π) (k/m)(1/2)
Debido a la periodicidad de la función seno, el movimiento de la partícula sujeta al resorte
oscila entre A y -A.
Figura 1. Imagen que representa el desplazamiento del resorte durante la oscilación.
El tiempo necesario para que el resorte complete una oscilación completa se denomina
periodo. Integrando esta ecuación obtenemos la energía potencial U del oscilador
armónico:
U(x) = - ∫ Fdx = (1/2) kx²
Figura 2. Gráfica de la energía potencial para el oscilador armónico.
La solución general del sistema como función del tiempo es la siguiente:
x(t) = c1senωt + c2cosωt
Donde la frecuencia de oscilación esta descrita por la siguiente expresión:
ω = (k/m) (1/2)
Ejemplo. Para desplazamientos pequeños, el péndulo de un reloj puede considerarse
como un oscilador armónico. Un péndulo posee una frecuencia de 1s⁻¹. Si la masa del
péndulo es 5Kg. ¿Cuál es la constante de la fuerza del resorte?
Con la siguiente expresión obtenemos la frecuencia: ν=
√
1 K
2π m
Sustituyendo los valores del problema en la ecuación anterior tenemos:
1 s−1=
√
1
K
2π 5Kg
Despejando a K, obtenemos finalmente el valor de la constante del resorte:
K =1s−2 × 4 π 2 × 5Kg
K =197N/m
Tratamiento Mecánico Cuántico del Oscilador Armónico.
El oscilador armónico cuántico es el análogo mecánico cuántico del oscilador armónico
clásico. Es uno de los sistemas modelo más importante en mecánica cuántica, ya que
cualquier potencial interatómico se puede aproximar mediante un potencial armónico en
las proximidades del mínimo o punto de equilibrio. Además, es uno de los sistemas
mecánico cuánticos que tiene solución analítica exacta.
La solución para este sistema implica resolver la siguiente ecuación diferencial:
- (2π/h)² d²Ψ/dx² + U(x)Ψ(x) = EΨ(x)
Con Ux) = (1/2)kx².
Esta ecuación solo tiene solución exacta si la energía esta cuantizada, es decir se
consideran valores discretos de la energía, obteniendo la siguiente expresión para la
energía del sistema:
En = hν(n+(1/2))
Una consecuencia de esto es que los niveles se encuentran igualmente espaciados con
separación hν. Dicho espaciamiento es característico de un potencial cuadrado en un
oscilador armónico.
Figura 3. Valores de energía potencial.
La energía del estado base con n=0 es (½) hv, correspondiente a la energía del punto
cero.
Función de Onda del Oscilador Armónico Cuántico
La función de onda correspondiente a la energía del oscilador armónico es no
degenerada, es decir, porta diferentes valores de energía y esta dada por:
Ψn(x) = NnHn(α(1/2)x) e(-αx⁽z/2)
Donde α = (2πkμ/h²) (1/2) y n es el número cuántico principal.
Por otra parte el termino Hn, corresponde a los polinomios de Hermite, a continuación se
muestra la expresión para los primeros 5 términos de esta serie.
Clásicamente sabemos que a una energía dada E, |x| no puede ser mayor a la amplitud A
que define el máximo desplazamiento desde el punto de equilibro. Es decir el
desplazamiento promedio de un oscilador armónico es cero para todos los estados
cuánticos del mismo, en otras palabras la separación internuclear promedio es igual a la
distancia de equilibrio. La mecánica cuántica sin embargo permite cierta penetración en
las regiones clásicamente prohibidas, sin embargo la probabilidad de que la partícula se
encuentre en dichas regiones disminuye a medida que la partícula se adentra en las
mismas, esto es debido a que el termino exponencial de la función de onda esta elevado
a la menos 1. Por tanto cuando |x| → ∞, Ψ → 0.
Figura 4. Función de onda para los primeros 4 niveles de energía del oscilador armónico
cuántico.
De la figura 4, podemos ver que la oscilación de la partícula se encuentra entre los
valores maximales de la función de onda, además estos coinciden con el periodo de
oscilación de la misma. La siguiente gráfica muestra el cuadrado de la función de onda,
aquí se ve claramente que la máxima probabilidad de oscilación se encuentra entre los
valores donde la partícula cumple un periodo de oscilación completa para cada nivel de
energía dado por el numero cuántico n.
Figura 5. Cuadrado de la función de onda, probabilidad de oscilación entre los niveles que
definen el periodo de oscilación.
A medida que n aumenta, la discretización de la energía comienza a perder importancia y
las predicciones del tratamiento clásico y cuántico coinciden en sus predicciones.
Figura 6. Cuadrado de la función de onda cuando n=10.
Esto es evidente cuando se superponen las gráficas de la energía potencial del
tratamiento clásico y del tratamiento cuántico (figura 7), en la cual solo para valores de
energía pequeños las curvas coinciden, sin embargo, cuando la energía de oscilación
aumenta deja de existir concordancia entre los resultados de ambas predicciones. Cabe
recalcar que en general aun cuando la forma de ambas curvas difiere, la región en la cual
coinciden arroja buenos resultados para el estudio de vibraciones a nivel atómico, por
tanto siendo de utilidad en el estudio de sistemas químicos.
Figura 7. Gráfica de la energía potencial para el oscilador armónico (clásico) y cuántico.
Referencias.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc2.html (Consultado el 10 de
marzo de 2014).
I. Levin, Quantum Chemistry, Prentice Hall, 2000. pag. 65.
P. Atkins and R. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 3th. Edition, Oxford University
Press, 2005. pag. 51,52.
Physical Chemistry: A Molecular Aproach; McQuarrie, D. A.; Simon J.D. Cap 5. pag. 157