Cálculo

Cálculo
Problemas 3
El problema 12 es para entregar el sábado 9/03/13
1. Hallar las pendientes de las siguientes curvas en los puntos indicados
a) y = sx2 en el punto (1, 2)
b) y = x2 + 1 en el punto (−1, 2).
d) y = x3 en el punto (1/2, 1/8).
c) y = 2x − 7 en el punto (2, −3).
e) y = 1/x en el punto (2, 1/2).
g) y = cos(3x) en x = π/3
f) y = x2 + 2x en el punto (−1, −1).
h) y = sen x + cos x en x = 3π/4
2. Sea f (x) = |x| + x. ¿Existe f 0 (0)? ¿Existe f 0 (x) para valores de x distintos de 0?
3. Determinar si las siguientes funciones tienen derivadas en 0. En caso afirmativo, hallar la derivada
(b) f (x) = x2 |x|
(a) f (x) = x|x|
(c) f (x) = x3 |x|.
4. Hallar las derivadas de las siguientes funciones en los puntos indicados.
(a) f (x) = x1/4 en x = 5,
(b) f (x) = x−1/4 en x = 7,
√
(c) f (x) = x
2
en x = 10,
f (x) = xπ en x = 7.
5. Hallar la derivadas de las siguientes funciones
(1) 25x−1 + 12x1/2 ,
(5)
t−5/4
t2 +3t+2 ,
(11)
x1/2 −x−1/2
x3/4
3
(2) (x + 1)(x2 + 5x3/2 )
(6) log(ex + sen x)
(15) log(sen(x + 1))
(12)
3x4 +x5/4
4x3 −x5 +1
(7)
(3) (2x + 3)( x12 + x1 )
x+1
sen x
(10) 1/(sen 2x)2
(14) sen[(x + 1)(x2 + 2)]
(17) cos(3x2 − 2x + 8)
6. Halle la cuarta derivadas de las siguientes funciones
√
√
2
(e) a2 − x2
(a) sen x,
(b) cos x
(c) ex
(d) 2 x
t2 +2t−1
(t+1)(t−1)
(9) sen(ex )
(8) cos(sen 5x)
(13) 5(x − 1)(x + 2)(x3 + 1)
(16) sen(log(2x + 1))
(4)
(18) log(4x3 − 2x)
(f) log(sen(x))
(g) log(1 + x)
7. Demostrar que la función y = C1 e−x + C − 2e−2x satisface la ecuación y 00 + 3y 0 + 2y = 0, donde c1 y C2 son
constantes.
8. Suponiendo que y = ex sen x, z = ex cos x, demostrar que y 00 = 2z, z 00 = −2y.
9. ¿Cuál es la pendiente de la curva
t
t+5
en el punto t = 2? ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en este punto?
y=
10. Demostrar que la función y = sen(m arc sen x) satisface la ecuación (1 − x2 )y 00 − xy 0 + m2 y = 0.
11. Demostrar que la recta y = 9x − 15 es tangente a la curva y = x3 − 3x + 1. Hallar el punto de tangencia.
12. Considere la función f (x) = e−|x| .
a) ¿Es diferenciable esta función en x = 0?
b) Halle las derivadas de esta función hasta el orden 4.
c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esta función en el punto x = 1.
d ) Si consideramos esta función para x > 0, la función es estrı́ctamente decreciente y tiene una inversa. Halle
la derivada de la función inversa.
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