Método de Raven

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Capitulo III
Métodos analí
analíticos de aná
análisis cinemá
cinemático.
1
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Capí
Capítulo III
Aná
Análisis cinemá
cinemático de mecanismos
III.1
III.2
1.
2.
3.
4.
III.3
Aná
Análisis cinemá
cinemático de mecanismos. Mé
Métodos grá
gráficos.
Métodos analí
analíticos de aná
análisis cinemá
cinemático.
Introducció
Introducción.
Mecanismo cuadrilá
cuadrilátero articulado.
Mecanismo bielabiela-manivela.
Ejercicios propuestos.
Métodos numé
numéricos de aná
análisis cinemá
cinemático.
2
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
1
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Capí
Capítulo III: Tema 2
Métodos analí
analíticos de aná
análisis
cinemá
cinemático
1. Introducci
Introducció
ón.
cuadrilá
átero articulado.
2. Mecanismo cuadril
1. Problema de posició
posición.
2. Problema de velocidades.
3. Problema de aceleració
aceleración.
3. Mecanismo bielabiela-manivela.
1. Problema de posició
posición.
2. Problema de velocidades.
3. Problema de aceleraciones.
4. Ejercicios propuestos.
3
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Capí
Capítulo III: Tema 2
Métodos analí
analíticos de aná
análisis
cinemá
cinemático
1. Introducció
Introducción.
4
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
2
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Introducció
Introducción
Los métodos analíticos tratan de llegar a una expresión matemática de
las variables cinemáticas de posición, velocidad y aceleración, en
función de los parámetros que definen las dimensiones del mecanismo
analizado y las variables cinemáticas de entrada.
Normalmente estos métodos se basan en tres tipos de enfoques
matemáticos: trigonométrico, números complejos y análisis vectorial.
En cualquiera de los casos se trata de plantear las denominadas
ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo.
lazo Estas ecuaciones
representan las restricciones del movimiento del mecanismo de forma
matemática empleando cualquiera de los tres enfoques mencionados.
En este apartado se estudiará el método analítico de Raven, uno de los
más utilizados, y que permite obtener con relativa facilidad las
ecuaciones analíticas del mecanismo cuadrilátero articulado y bielamanivela.
5
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Capí
Capítulo III: Tema 2
Métodos analí
analíticos de aná
análisis
cinemá
cinemático
2. Mecanismo cuadrilá
cuadrilátero articulado.
1. Problema de posició
posición.
2. Problema de velocidades.
3. Problema de aceleració
aceleración.
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3
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de posició
posición
Mecanismo cuadrilá
cuadrilátero articulado:
Para la determinación de la posición inicial se plantea la ecuación de cierre
del mecanismo que tiene la siguiente expresión vectorial:
θ4
ω2
r1e
iθ 1
= r2e
iθ 2
+ r3e
r3
A
r1 = r2 + r3 + r4
iθ 3
+ r4 e
iθ 4
B
θ3
α2
r4
r2
θ2
r1 cos θ1 = r2 cos θ 2 + r3 cos θ 3 + r4 cos θ 4 

r1senθ1 = r2senθ 2 + r3 senθ3 + r4 senθ 4 
B0
r1
A0
θ1
Sistema algebraico que puede ser resuelto para obtener los valores de θ3
y θ4 en función de los valores conocidos de θ1, θ2, r1, r2, r3 y r4. Se puede
utilizar un método numérico para su resolución o métodos trigonométricos
para la resolución de este tipo de ecuaciones.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de posició
posición
Para obtener la posición inicial se puede emplear un procedimiento
trigonométrico
s=
r42
r12
+ r22
− 2r1r2 cos θ 2
2
r32
− 2sr3 cos φ
=s +
s senβ = r2senθ 2
r4senδ = r3senφ
A
φ = a cos
− r42 + s 2 + r32
r
β = asen( 2 senθ 2 )
s
δ = asen(
r3
senφ )
r4
2sr3
A0
β
r2
B θ4
r3
θ3
φ
α
r4
s
δ
θ2
r1
β
B0
Ahora podemos obtener los ángulos que definen las posiciones de las
barras como,
θ3 = φ − β
θ 4 = 360 º −( β + δ )
Hay que tener en cuenta que las expresiones planteadas pueden variar
en función de la posición relativa de los elementos. Así por ejemplo, si el
ángulo θ2 es mayor que 180º o si se considera la solución cruzada frente
a la solución abierta.
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4
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de posició
posición
Para establecer la posición de un punto cualquiera sobre un eslabón cualquiera es
necesario plantear formulación adicional. En el caso del elemento 2 se tendrá,
h2 = g2 = g 2e
i λ2
λ2 = θ 2 + φ 2
x p2 = g 2 cos λ2 = g 2 cos (θ 2 + φ2 ) 

y p2 = g 2 sin λ2 = g 2 sin (θ 2 + φ2 ) 
En el caso del punto P3 y P4 sobre el P2
elemento 3 y 4 respectivamente,
h2 =g2
h3 = r2 + g 3 e
i λ3
λ3 = θ 3 + φ 3
Y
x p3 = r2 cos θ 2 + g 3 cos(θ 3 + φ3 )
y p3 = r2senθ 2 + g 3 sen(θ 3 + φ3 )
h4 = r1 + g 4 e
i λ4
λ4 = θ 4 − φ4 + 180
P3
g3
φ3
A
r3
α2
ω2
φ2
r2
θ4
θ3
r4
h3
P4
φ4
h4
θ2
A0
B
g4
r1
B0
X
x p4 = r1 + g 4 cos(θ 4 − φ4 + 180)
y p4 = g 4sen(θ 4 − φ4 + 180)
En esta expresión se ha considerado un signo (-) afectando al ángulo φ4 dado su sentido.
Este signo puede ser positivo en otros casos.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de velocidades
Para la determinación de las velocidades se considera de nuevo la ecuación de
cierre,
r1e iθ 1 = r2e iθ 2 + r3e iθ 3 + r4 e iθ 4
Sin pérdida de generalidad se puede considerar que el elemento fijo forma un
ángulo θ1=0. Entonces, reordenando la ecuación queda como,
r2e iθ2 + r3e iθ3 + r4 e iθ4 − r1 = 0
θ4
Derivando con respecto al tiempo,
A
dθ
dθ
dθ
ir2 2 e iθ2 + ir3 3 e iθ3 + ir4 4 e iθ4 = 0
dt
dt
dt
ω2
θ3
α2
B
r4
r2
ir2ω2e iθ2 + ir3ω3e iθ3 + ir4ω 4e iθ 4 = 0
r3ω3senθ 3 + r4ω 4senθ 4 = −r2ω2senθ 2 

r3ω3 cos θ 3 + r4ω4 cos θ 4 = −r2ω2 cos θ 2 
r3
θ2
A0
r1
B0
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de velocidades
r3ω3 senθ 3 + r4ω4senθ 4 = −r2ω2senθ 2 

r3ω3 cos θ 3 + r4ω4 cos θ 4 = −r2ω2 cos θ 2 
que es un sistema de ecuaciones donde las únicas incógnitas son ω3 y ω4, y por
tanto puede resolverse empleando, por ejemplo, la regla de Cramer,
− r2ω2senθ 2 r4senθ 4
− r2ω2 cos θ 2 r4 cos θ 4
− r ω senθ 2 r4 cos θ 4 + r4senθ 4 r2ω2 cos θ 2
= 2 2
r3 senθ 3 r4senθ 4
r3senθ 3 r4 cos θ 4 − r4senθ 4 r3 cos θ 3
r3 cos θ 3 r4 cos θ 4
ω3 =
Operando,
ω3 =
−r2sen(θ 2 − θ 4 )
ω2
r3sen(θ3 − θ 4 )
e igualmente para ω4,
ω4 =
r2sen(θ 2 − θ 3 )
ω2
r4sen(θ 3 − θ 4 )
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de velocidades
En el caso de un punto cualquiera sobre el eslabón 2 será necesario formular,
g2 = g 2e iλ2
Derivando respecto del tiempo se obtiene la
velocidad. Es decir,
VP2 =
dg2
dλ
= ig 2 2 e iλ2
dt
dt
donde,
dλ2 d (θ 2 + φ2 )
=
= ω2
dt
dt
Por tanto,
h2 =g2
Y
A0
VP2 = ig 2ω2e i (θ 2 +φ2 )
φ3
A
P2
P3
g3
r3
α2
ω2
φ2
θ2
θ4
θ3
r4
h3
r2
B
P4
φ4
h4
r1
g4
B0
X
Separando en parte real e imaginaria,
VP2 x = −g 2 ω 2 sen(θ 2 + φ 2 )
VP2 y = g 2 ω 2 cos(θ 2 + φ 2 )
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6
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de velocidades
En el caso del punto P3 la velocidad será,
VP3 =
dg3
= ir2ω2e iθ 2 + ig 3ω3e i (θ 3 +φ 3 )
dt
Separando en parte real e imaginaria,
VP3x = −r2ω2senθ 2 − g 3ω3sen(θ 3 + φ3 )
VP4
h2 =g2
Y
dg 4 dr1
dλ
=
=
+ ig 4 4 e iλ4 = ig 4ω 4 e iλ4
dt
dt
dt
Separando parte real e imaginaria,
A0
φ3
A
P2
VP3y = r2ω2 cos θ 2 + g 3ω3 cos(θ 3 + φ3 )
De la misma forma para el punto P4,
P3
g3
r3
α2
ω2
φ2
B
θ4
θ3
r4
h3
r2
θ2
VP4 x = −g 4ω4sen(θ 4 − φ4 + 180)
P4
φ4
h4
r1
g4
B0
X
VP4 y = +g 4ω4 cos(θ 4 − φ4 + 180)
Las velocidades de cada punto se pueden obtener determinado el módulo y
argumento. Esto es,
Vi = Vix2 + Viy2
ϕ i = a tan
Viy
Vix
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Problema de aceleraciones
Considerando de nuevo la expresión,
ir2
dθ
d θ 2 iθ 2
dθ 4 iθ4
e + ir3 3 e iθ3 + ir4
e =0
dt
dt
dt
Derivando otra vez respecto del tiempo,
2
2
2
d 2θ 2 iθ2
d 2θ 3 iθ3
d 2θ 4 iθ4
 dθ 
 dθ 
 dθ 
− r2  2  e iθ2 − r3  3  e iθ3 − r4  4  e iθ 4 + ir2
e + ir3
e + ir4
e =0
dt 2
dt 2
dt 2
 dt 
 dt 
 dt 
O en forma compacta,
− r2ω2 2e iθ2 − r3ω3 2e iθ3 − r4ω4 2e iθ 4 + ir2α 2e iθ2 + ir3α 3e iθ3 + ir4α 4e iθ4 = 0
Reordenando y separando en parte real e imaginaria se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones algebraicas,
− r3α 3senθ 3 − r4α 4 senθ 4 = r2ω2 2 cos θ 2 + r3ω3 2 cos θ 3 + r4ω4 2 cos θ 4 + r2α 2senθ 2 

r3α 3 cos θ 3 + r4α 4 cos θ 4 = r2ω2 2senθ 2 + r3ω3 2sen θ 3 + r4ω 4 2senθ 4 − r2α 2 cos θ 2 
donde las incógnitas son α3 y α4.
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7
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de aceleraciones
Resolviendo por Cramer se obtiene,
2
α3 =
2
2
r2ω 2 cos θ 2 + r3ω3 cos θ 3 + r4ω 4 cos θ 4 + r2α 2senθ 2
2
2
2
r2ω 2 senθ 2 + r3ω 3 senθ 3 + r4ω 4 senθ 4 − r2α 2 cos θ 2
− r3 senθ 3
r3 cos θ 3
− r4 senθ 4
r4 cos θ 4
− r4senθ 4
r4 cos θ 4
=
=
(r2ω 2 2 cos θ 2 + r3ω3 2 cos θ 3 + r4ω 4 2 cos θ 4 + r2α 2senθ 2 )r4 cos θ 4
+
− r3senθ 3 r4 cos θ 4 + r4 senθ 4 r3 cos θ 3
+
r4senθ 4 (r2ω 2 senθ 2 + r3ω 3 senθ 3 + r4ω 4 senθ 4 − r2α 2 cos θ 2 )
=
− r3senθ 3 r4 cos θ 4 + r4senθ 4 r3 cos θ 3
=
r2ω 2 cos θ 2 cos θ 4 + r3ω3 cos θ 3 cos θ 4 + r4ω 4 cos 2 θ 4 + r2α 2senθ 2 cos θ 4
+
r3sen(θ 4 − θ 3 )
+
r2ω 2 2senθ 2senθ 4 + r3ω3 2senθ 3 senθ 4 + r4ω 4 2sen 2θ 4 − r2α 2 cos θ 2senθ 4
=
r3 sen(θ 4 − θ 3 )
=
r2ω 2 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω 3 2 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω 4 2 + r2α 2sen(θ 2 − θ 4 )
=
r3sen(θ 4 − θ 3 )
=
r2ω 2 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω 3 2 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω 4 2 α 2r2sen(θ 2 − θ 4 )
−
=
r3sen(θ 4 − θ 3 )
r3sen(θ 3 − θ 4 )
=
α ω
r2ω 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω 3 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω 4
+ 2 3
r3sen(θ 4 − θ 3 )
ω2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
15
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de aceleraciones
Reordenando,
α3 =
r ω 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω32 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω42
ω3
α2 − 2 2
r3 sen(θ 3 − θ 4 )
ω2
De la misma forma para α4,
α4 =
r ω 2 cos(θ 2 − θ 3 ) + r4ω 42 cos(θ 3 − θ 4 ) + r3ω32
ω4
α2 − 2 2
r4 sen(θ 3 − θ 4 )
ω2
A
ω2
θ4
r3
θ3
α2
B
r4
r2
θ2
A0
r1
B0
16
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de aceleraciones
Para el punto P2 la aceleración será,
A P2 = ig 2α 2e i (θ 2 +φ2 ) − g 2ω22e i (θ 2 +φ2 )
Separando parte real e imaginaria,
P3
g3
P2
h2 =g2
AP2x = −g 2α 2sen (θ 2 + φ2 ) − g 2ω22 cos(θ 2 + φ2 )
Y
φ3
A
B
r3
θ3
α2
ω2
φ2
θ4
r4
h3
r2
AP2y = g 2α 2 cos(θ 2 + φ2 ) − g 2ω 22sen (θ 2 + φ2 )
A0
φ4
h4
θ2
P4
g4
r1
B0
X
En el caso del punto P3,
A P3 = ir2α 2e iθ 2 − r2ω22e iθ 2 + ig3α 3e i (θ 3 +φ3 ) − g3ω32e i (θ 3 +φ3 )
Separando en parte real e imaginaria,
AP3 x = −r2 (α 2senθ 2 + ω22 cos θ 2 ) − g 3 (α 3sen (θ 3 + φ3 ) + ω32 cos(θ 3 + φ3 ))
AP3 y = r2 (α 2 cos θ 2 − ω22senθ 2 ) + g 3 (α 3 cos(θ3 + φ3 ) − ω32sen(θ 3 + φ3 ))
17
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de aceleraciones
Finalmente, para el punto P4 se obtiene,
A P4 = ig 4α 4e iλ4 − g 4ω42e iλ4
Separando parte real e imaginaria,
2
AP4 x = −g 4α 4 sen (θ 4 − φ4 + 180 ) − g 4ω4 cos (θ 4 − φ4 + 180 )
2
AP4 y = + g 4α 4 cos (θ 4 − φ4 + 180 ) − g 4ω4 sin (θ 4 − φ4 + 180 )
P2
Las componentes globales de
aceleración se determinan de la h2 =g2 α2
misma forma que en el caso de las Y ω2
φ2
velocidades, esto es,
r
2
Ai =
Aix2
ϕ i = a tan
+
Aiy2
A0
θ2
P3
g3
φ3
A
r3
B
θ4
θ3
r4
h3
P4
φ4
h4
r1
g4
B0
X
Aiy
Aix
18
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
9
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Capí
Capítulo III: Tema 2
Métodos analí
analíticos de aná
análisis
cinemá
cinemático
3. Mecanismo bielabiela-manivela.
1. Problema de posició
posición.
2. Problema de velocidades.
3. Problema de aceleraciones.
19
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de posició
posición
Mecanismo bielabiela-manivela:
Únicamente se considera en este apartado la velocidad y aceleración del elemento 3 y la
deslizadera. No se ha incluido el caso de un punto cualquiera. Si fuese necesario
obtener la velocidad y aceleración de un punto cualquiera de un elemento del
mecanismo se procederá como en el caso anterior en el mecanismo cuadrilátero
articulado.
Para el análisis de la posición se parte de la
ecuación vectorial de lazo cerrado siguiente.
θ3
r1 + r4 = r2 + r3
r1e iθ 1 + r4e iθ 4 = r2e iθ 2 + r3e iθ 3
r 4 = r2 cos θ 2 + r3 cos θ 3 

r1 = r2 senθ 2 + r3 senθ 3 
θ 3 = asen(
r3
r2
θ2
r1 r2
− senθ 2 )
r3 r3


r
r
r4 = r2 cos θ 2 + r3 cos asen( 1 − 2 senθ 2 )
r3 r3


r1
r4
20
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
10
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de velocidades
Para la obtención de las velocidades se deriva la ecuación de lazo cerrado
expresada en forma compleja respecto del tiempo. Es decir,
V4e iθ 4 = ir2ω2e iθ 2 + ir3ω3e iθ 3
que separada en parte real e imaginaria produce el siguiente sistema de ecuaciones,
V4 = −r2ω 2sen θ 2 − r3ω3 sen θ 3
0 = r2ω 2 cos θ 2 + r3ω3 cos θ 3
Su resolución conduce a,
ω3 =
−r2ω2 cos θ 2
r3 cos θ 3
V4 = −r2ω2senθ 2 + r2ω2 cos θ 2 tan θ 3
que son las velocidades del mecanismo en función de la velocidad de entrada.
21
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Problema de aceleraciones
De nuevo se toma la ecuación de lazo cerrado expresada en forma compleja y se
deriva esta vez dos veces respecto del tiempo obteniendo la siguiente expresión,
A4 e iθ 4 = −r2ω 22 e iθ2 + ir2α 2 e iθ2 − r3ω32 e iθ3 + ir3α 3 e iθ3
Expresando es expresión compleja en forma algebraica produce,
A4 = −r2ω22 cos θ 2 − r2α 2 senθ 2 − r3ω32 cos θ 3 − r3α 3senθ 3 

0 = −r2ω22senθ 2 + r2α 2 cos θ 2 − r3ω32senθ 3 + r3α 3 cos θ 3 
que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución produce,
α3 =
r2ω22senθ 2 − r2α 2 cos θ 2 + r3ω32senθ3
r3 cos θ 3
A4 = −r2ω22 cos θ 2 − r2α 2senθ 2 − r3ω32 cos θ 3 − ( r2ω 22senθ 2 − r2α 2 cos θ 2 + r3ω32senθ 3 ) tan θ 3
Con lo que queda resuelto el problema de aceleraciones.
22
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
11
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Capí
Capítulo III: Tema 2
Métodos analí
analíticos de aná
análisis
cinemá
cinemático
4. Ejercicios propuestos.
23
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Ejercicios propuestos
Considerando como elemento de entrada el elemento 2, determinar empleando el
método de Raven la posición, velocidad y aceleración de P.
r5
θ3
P
ϕ
r3
r2
θ2
r1
r4
24
R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica
12
Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático
Ejercicios propuestos
Considerando como elemento de entrada el elemento 2 (coordenada r1), determinar
empleando el método de Raven la posición, velocidad y aceleración de los puntos A,
B y P, y la velocidad angular del triángulo ABC.
2
A
r1
1
θ3
r4
ϕ
3
r3
C
C
4
B
r2
25
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