mat 024 – matem ´aticas iv - Universidad Técnica Federico Santa

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Casa Central
Coordinación MAT-024
2do. Semestre 2012
MAT 024 – MATEMÁTICAS IV
Pauta del Pre Certamen 3 Forma A
Nombre:
Rol:
1. Determine la serie de Fourier para la función f (t) = 2 + sin(t) + 2 cos(t) − 4 cos(2t) de periodo T = π y
definida en [−π/2, π/2].
Solución:
La serie de Fourier de una función g(t) de periodo T = π en [−π/2, π/2] viene dada por:
a0 +
∞
X
(an cos(2nt) + bn sin(2nt))
n=1
donde:
1
a0 =
π
Zπ/2
2
an =
π
g(t) dt
−π/2
Zπ/2
g(t) cos(2nt) dt
2
bn =
π
−π/2
Zπ/2
g(t) sin(2nt) dt
−π/2
Para la función g(t) = sin(t) + 2 cos(t), tenemos:
1
a0 =
π
Zπ/2
4
(sin(t) + 2 cos(t)) dt =
π
−π/2
Zπ/2
8 (−1)n
(sin(t) + 2 cos(t)) cos(2nt) dt =
π 1 − 4n2
2
an =
π
−π/2
2
bn =
π
Zπ/2
8 (−1)n n
(sin(t) + 2 cos(t)) sin(2nt) dt =
π 1 − 4n2
−π/2
Por tanto la serie de Fourier de g(t) es:
∞
4 8 X (−1)n
(cos(2nt) + n sin(2nt))
+
π π n=1 1 − 4n2
Finalmente la serie de Fourier de f (t), es:
∞
4
8 X (−1)n
(cos(2nt) + n sin(2nt))
2 + − 4 cos(2t) +
π
π n=1 1 − 4n2
Los desarrollos con lápiz a mina NO tienen derecho a una apelación
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2. a. Determine la transformada de Fourier de la función
 −x

xe , x ≥ 0



f (x) = 


 0,
x<0
b. Verifique a través de la representación integral de Fourier que
 Aπ
π



cos x, |x| <
Z ∞


 2
2
cos(πω/2) cos(ωx)

dω = 

2

1−ω

0
π



0,
|x| >
2
con A ∈ R
Z
¿Cuál es el valor de
0
Solución:
∞
cos2 (πω/2)
dω?
1 − ω2
d fˆ
y luego
a) Método 1: Sea fˆ(ω) = F[ f (x)]. Entonces F[−ix f (x)] =
dω
F[x f (x)] = i
d fˆ
dω
Por otra parte, si µ(x) es la función escalón unitario de Heaviside, entonces
1
1
F[e−ax µ(x)] = √
2π iω + a
Luego, tomando a = 1 y utilizando lo anterior:
−i
1
i
1
F[xe−x µ(x)] = √ ·
=
√
2π (iω + 1)2
2π (iω + 1)2
Método 2: Por definición
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
1
1
−iωx
−x
−iωx
f (x)e
dx = √
xe e
dx = √
xe−x(iω+1) dx
fˆ(ω) = √
2π −∞
2π 0
2π 0
Integrando por partes:
"
#
Z ∞
−x(iω+1) x=b
1
1
ˆf (ω) = √1 lı́m − xe
e−x(iω+1) dx
+√
b→∞
iω
+
1
(iω
+
1)
0
2π |
2π
x=0
{z
}
=0
De donde se obtiene al integrar nuevamente que
1
1
fˆ(ω) = √
2π (iω + 1)2
b) Sea
 Aπ
π



cos
x,
|x|
<



2
 2
f (x) = 



π



0,
|x| >
2
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Por definición
1
fˆ(ω) = √
2π
Z
π/2
−π/2
Aπ
A cos(x)e−iωx dx
2
Dado que f es par y e−iωx = cos(ωx) − i sin(ωx) lo anterior se reduce a
r Z π/2
r Z π/2
!
π
π
cos(x(1
+
ω))
+
cos(x(1
−
ω))
fˆ(ω) = 2
A cos(x) cos(ωx) dx = 2
A
dx
2 0
2 0
2
De donde se obtiene
r
fˆ(ω) = A
π cos(πω/2)
2 1 − ω2
Al tomar transformada de Fourier inversa obtenemos
Z ∞ r
1
π cos(πω/2) iωx
f (x) = √
A
e dω
2 1 − ω2
2π −∞
Nuevamente, dado que fˆ(ω) es par y eiωx = cos(ωx) + i sin(ωx) obtenemos
Z ∞
cos(πω/2) cos(ωx)
f (x) = A
dω
1 − ω2
0
Por lo tanto A = 1
Finalmente, dado que lı́m + f (x) = lı́m − f (x) = 0 se concluye que
x→π/2
x→π/2
∞
Z
0
A cos2 (πω/2)
dω = 0
1 − ω2
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(5 puntos)
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3. Determine una expresión en serie trigonométrica de Fourier para
f (t) = sin(at)
en
[−π, π]
para a < Z
. Utilice su resultado para verificar que
2
∞
X
(−1)n+1 (2n − 1)
(4n −
n=1
2)2
−1
=
π
√
4 2
Solución:
La serie de Fourier de la función f (x) de periodo T = 2π en [−π, π] viene dada por:
a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sin(nx))
n=1
donde:
1
a0 =
2π
Zπ
f (x) dx
1
an =
π
−π
Zπ
f (x) cos(nx) dx
1
bn =
π
−π
Zπ
f (x) sin(nx) dx
−π
Dado que f (x) es impar los coeficientes an son nulos para todo n ≥ 0 . Por otra parte,
Z
Z
1 π
1 π
(cos(x(n − a)) − cos(x(n + a))) dx
bn =
sin(ax) sin(nx) dx =
π −π
π 0
De donde se obtiene al integrar que
bn =
2 sin(aπ) (−1)n n 2 sin(aπ) (−1)n+1 n
=
π
a2 − n2
π
n2 − a2
Luego, para −π < x < π se tiene la representación en serie de Fourier:
∞
2 sin(aπ) X (−1)n+1 n
sin(ax) =
sin(nx)
π
n2 − a2
n=1
Si tomamos x =
π
entonces se tiene desde la convergencia puntual (dado que f es continua allı́) que:
2
∞
2 sin(aπ) X (−1)n+1 n
sin(nπ/2)
sin(aπ/2) =
π
n2 − a2
n=1
Pero


0,
si n = 2m (par)



sin(nπ/2) = 


 (−1)m+1 , si n = 2m − 1 (impar)
De donde se concluye que
∞
X
(−1)m+1 (2m − 1)
m=1
(2m −
1)2
−
a2
=
π sin(aπ/2)
2 sin(aπ)
Al evaluar en a = 1/2 se obtiene el resultado, pues
2
∞
X
(−1)k+1 (2k − 1)
k=1
(4k −
2)2
−1
=
π
√
4 2
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