Page 1 Capítulo 5 / Sección 5.4 11 SOLUCIONES 1. En cada uno

Capítulo 5 / Sección 5.4
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SOLUCIONES
1. En cada uno de los siguientes casos determine la amplitud, el período, el cambio en fase, el máximo
y el mínimo absoluto, y el valor promedio de la función dada.
a.
 1   
y  2 cos   x   
4 
 3
Amplitud = |−2| = 2
Período =
2𝜋
1
3
= 6𝜋
Cambio de fase =
𝜋
4
Máximo = 2
Mínimo = -2
Valor promedio = 0
b.


y  4 sen   x 


3
Amplitud = |4| = 4
Período = 2𝜋
𝜋
Cambio de fase = 3
Máximo = 4
Mínimo = -4
Valor promedio = 0
2. En cada uno de los siguientes casos encuentre la amplitud, el período, el valor promedio, dominio y
rango de la función dada y grafique exactamente dos ciclos de la función.
1 
y  2 cos  x 
2 
Amplitud = |−2| = 2
a.
Período =
2𝜋
1
2
= 4𝜋
Valor promedio = 0
Dominio = ℝ
Rango = [−2,2]
12
b.
5.4 Gráficas de Seno y Coseno
y  3sen  3 x   1
Amplitud = |3| = 3
Período =
2𝜋
3
Valor promedio = -1
Dominio = ℝ
Rango = [−4,2]
3. a. Encuentre b tal que la función y 
𝑃=
𝜋
8
entonces
𝜋
8
=
2𝜋
𝑏
1
sen  bx  tenga período
2
por lo tanto 𝑏 = ±16

8
.
b. Encuentre b tal que la función y  3cos  b  x     tenga período 2 .
𝑃 = 2𝜋 entonces 2𝜋 =
2𝜋
𝑏
por lo tanto 𝑏 = ±1
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4. Para cada una de las siguientes gráficas encuentre una ecuación de la forma y  a sen  bx  c  y
también una ecuación de la forma y  a cos  bx  c  que le corresponda, donde a  0 , b  0 , y c es
lo más pequeño posible en magnitud. Así para cada gráfica se deben hallar dos ecuaciones, una con la
función seno y la otra con coseno.
a
𝑃=𝜋
𝐴=2
𝜋
))
12
𝜋
𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 (2 (𝑥 + ))
3
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (2 (𝑥 +
.
b.
𝑃=2
𝐴=3
𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
1
𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠 (𝜋 (𝑥 − ))
2
14
5.
5.4 Gráficas de Seno y Coseno


I  120 sen  40 t 

, t  0
4
¿Cuál es el período? ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es el cambio en fase? ¿Cuál es la corriente en
1
t
segundos?
20
Grafique dos períodos de esta función.
Solución
1
20𝜋
1
Como 𝐼 = 120 sin (40𝜋 (𝑡 − 160)), entonces 𝑃 = 40𝜋 = 20.
1
𝐴 = |120| = 120 y el cambio de fase es 160.
1
1
1
𝐼 ( ) = 120 sin (40𝜋 ( −
)) = −60√2
20
20 160
6. Indique donde comienza y donde termina un ciclo completo de la función y   cos  5 x  4  .
La función se puede reescribir de la forma 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 (5 (𝑥 +
cambio de fase es
4𝜋
− 5.
Un ciclo completo empieza en −
4𝜋
5
y termina en −
2𝜋
.
5
4𝜋
))
5
por lo tanto el período es
2𝜋
5
y el