Unidad 2 - Funciones - parte 5

ÁLGEBRA Y
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
Unidad 2:
Funciones
Funciones trascendentes: trigonométrica.
Conceptos previos – Definición de ángulo
Se denomina ángulo a la AMPLITUD entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un
punto común llamado vértice.
Conceptos previos - Sistemas de medición de ángulos
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad.
En trigonometría existen diferentes sistemas de medición, entre ellos:
§ sexagesimal
§ circular
Conceptos previos - Sistemas de medición de ángulos
Sistema sexagesimal
Unidad de medida: grado sexagesimal, que es la noventa ava parte del ángulo recto.
Submúltiplos: minuto sexagesimal y segundo sexagesimal.
1R
1! =
90
1!
1' =
60
1 ángulo llano = 180º
1'
1' ' =
60
1R = 90 º
1º = 60'
1' = 60' '
1 ángulo de un giro = 360º
Conceptos previos - Sistemas de medición de ángulos
Sistema circular o radial
¿Qué es un radián?
Representa el ángulo central en una circunferencia y
abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.
Conceptos previos - Sistemas de medición de ángulos
Sistema circular o radial
360º = 2 p radianes
Þ
180º = p radianes
90º =
𝝅
𝟐
𝟑
radianes
270º = 𝟐 𝝅 radianes
Conceptos previos - Sistemas de medición de ángulos
Equivalencias
180º =𝜋 rad
Conceptos previos - Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas
entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados.
𝑎
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝑎𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑜𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑏
𝑜
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝑜𝑏
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑜𝑎
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
𝑎𝑏
𝑡𝑔 𝛼 =
=
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝑜𝑏
Solo se escribieron las razones trigonométricas fundamentales del ángulo a
S
seno
O
opuesto
R
hipotenusa
C
coseno
A
adyacente
R
hipotenusa
T
tangente
O
opuesto
A
adyacente
Conceptos previos - Circunferencia trigonométrica
Los ejes de coordenadas determinan cuatro cuadrantes
que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
Conceptos previos - Circunferencia trigonométrica
𝑦
§ Es una circunferencia inscripta en un sistema
de coordenadas cartesianas.
§
Su centro coincide con el origen de dicho sistema.
§ Esta circunferencia tiene como característica
fundamental, el valor del radio que es la UNIDAD.
(R=1)
𝑥
Conceptos previos - Circunferencia trigonométrica – Representación de razones trigonométricas.
Dado un punto 𝑃(𝑥; 𝑦) perteneciente a la circunferencia trigonométrica.
𝑂𝑃 forma un ángulo 𝛼 con el eje x.
𝑂𝑃𝑄 triángulo rectángulo.
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑦
𝑦
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝑃𝑄
= =𝑦
=
1
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑂𝑃
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del
arco, hacia el diámetro horizontal.
𝛼
𝑂
𝒄𝒐𝒔 𝛼
𝒕𝒈 𝛼
1
𝒔𝒆𝒏 𝛼
𝑃(𝑥; 𝑦) = 𝑃(cos 𝛼 ; sen 𝛼)
𝑄
(1; 0)
𝑥
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝑂𝑄
= =𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
=
1
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑂𝑃
𝑥
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del
arco, hacia el diámetro vertical.
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
𝑃𝑄 𝑦
𝑡𝑔 𝛼 =
=
=
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝑂𝑄 𝑥
Se empieza a medir de el punto (1;0) y termina en la intersección
de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el
extremo del arco.
Funciones trigonométricas de números reales
Dominio de las funciones trigonométricas
Conjunto de ángulos
Para considerar el dominio de una función trigonométrica como un subconjunto de R utilizamos la
siguiente definición:
El valor de una función trigonométrica de un número real 𝒕
es su valor en un ángulo de 𝒕 radianes, siempre que exista ese valor.
⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝑡
valor del seno del ángulo de t radianes
⇒ cos 𝑡
valor del coseno del ángulo de t radianes
⇒ tg 𝑡
valor de la tangente del ángulo de t radianes
Funciones trigonométricas de números reales
Podemos asociar con cada número real t, un punto ÚNICO P(x;y) en la circunferencia unitaria.
Llamaremos a P, punto sobre la circunferencia unitaria que corresponde a t.
Las coordenadas (x;y) de P se pueden utilizar para hallar los
valores de las seis funciones trigonométricas de t.
⇒ 𝒔𝒆𝒏 𝒕 =
𝒚
𝒚
=𝒚
=
𝒓
𝟏
𝑦
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑃(𝑡)
𝑡
1
𝒔𝒆𝒏 𝒕
⇒ cos 𝒕 =
𝒙
𝒙
=𝒙
=
𝒓
𝟏
𝑡
𝒄𝒐𝒔 𝒕
(1; 0)
𝑥
Análisis de la función seno
90º
•Observemos en la circunferencia trigonométrica cómo
varía el SENO, y entre qué valores !!!!!
180º
t t tttt
tt
tt
tt
0º
360º
En el Q1 el seno crece de 0 a 1
En el Q2 el seno decrece de 1 a 0
En el Q3 el seno decrece de 0 a -1
En el Q4 el seno crece de -1 a 0
270º
- 1 ≤ Sen t ≤
1
Función seno
𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏 ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
II
I
III
IV
•
•
•
•
En el 1er cuadrante, 𝑠𝑒𝑛 𝑥
En el 2do cuadrante, 𝑠𝑒𝑛 𝑥
En el 3er cuadrante, 𝑠𝑒𝑛 𝑥
En el 4to cuadrante, 𝑠𝑒𝑛 𝑥
crece de 0 a 1.
decrece de 1 a 0.
decrece de 0 a −1.
crece de −1 a 0.
Función seno
𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏 ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐷𝑚! = 𝑹
𝐼𝑚! = [−𝟏; 𝟏]
Raíces: 𝟎
𝝅
𝟐𝝅 𝟑𝝅 𝟒𝝅
Ordenada al origen: (𝟎; 𝟎)
Clasificación: No inyectiva
Sobreyectiva
Función seno
§ La función seno repite sus valores en forma regular.
§ Si k=1
⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡
§ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2𝑘𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡
§ Decimos entonces que 𝟐𝝅 es el PERÍODO de la función y= sen t
2𝞹 es la distancia entre los
valores de x donde comienza
y termina la “onda”
⇒ la próxima ”onda” a la
derecha estará comprendida
entre 2𝞹 y 4𝞹.
Y la anterior entre - 2𝞹 y 0.
Función seno
𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏 ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
Una función es periódica si existe un número real positivo 𝑘 tal que
𝑓 𝑥 + 𝑘 = 𝑓(𝑥)
para toda 𝑥 en el dominio de 𝑓.
Este número real positivo 𝑘 mínimo, si existe, es el período de 𝑓.
Notemos que:
• 𝑠𝑒𝑛 0 = 0
• 𝑠𝑒𝑛 "⁄# = 1
3𝜋\
2
𝜋\
2
𝜋
• 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 0
2𝜋
• 𝑠𝑒𝑛
$"⁄
#
= −1
• 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 = 0
⇒ 𝑠𝑒𝑛
1
𝜋 = 𝑠𝑒𝑛
2
5
𝜋
2
2𝜋
= 𝑠𝑒𝑛
1
𝜋 + 2𝜋
2
= 𝑠𝑒𝑛
1
𝜋 + 3𝜋
2
⇒ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 , ∀𝒌 ∈ ℝ.
Análisis de la función coseno
90º
•Observemos en la circunferencia trigonométrica
cómo varía el COSENO, y entre qué valores !!!!!
0º
360º
180º
En el Q1 el coseno decrece de 1 a 0
En el Q2 el coseno decrece de 0 a -1
En el Q3 el coseno crece de -1 a 0
En el Q4 el coseno crece de 0 a 1
270º
- 1 ≤ Cos t ≤ + 1
Función coseno
𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏 ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
II
I
III
IV
•
•
•
•
En el 1er cuadrante, 𝑐𝑜𝑠 𝑥
En el 2do cuadrante, 𝑐𝑜𝑠 𝑥
En el 3er cuadrante, 𝑐𝑜𝑠 𝑥
En el 4to cuadrante, 𝑐𝑜𝑠 𝑥
decrece de 1 a 0.
decrece de 0 a −1.
crece de −1 a 0.
crece de 0 a 1.
Función coseno
𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏 ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝐷𝑚! = 𝑹
𝐼𝑚! = [−𝟏; 𝟏]
𝝅 𝟑
Raíces:
𝝅
𝟐 𝟐
𝝅
𝟓
−
𝝅
𝟐
𝟐
Ordenada al origen: (𝟎; 𝟏)
Clasificación: No inyectiva
Sobreyectiva
Función coseno
𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏 ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
§ La función coseno repite sus valores en forma regular.
§ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 2𝑘𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡
§ Si k=1
⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡
§ Decimos entonces que 𝟐𝝅 es el PERÍODO de la función y= cos t
Función coseno
𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏 ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
Notemos que:
• 𝑐𝑜𝑠 0 = 1
3𝜋\
2
𝜋\
2
𝜋
• 𝑐𝑜𝑠 !⁄" = 0
2𝜋
• 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = −1
• 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
#!⁄
"
= 0.
• 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 = 1
⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 , ∀𝒌 ∈ ℝ.
Análisis de la función tangente
+∞
90º
•Observemos en la circunferencia trigonométrica
cómo varía la TANGENTE, y entre qué valores !!!!!
0º
360º
180º
0
En el Q1 la Tangente crece de 0 a +∞
En el Q2 la Tangente crece de
-∞
En el Q3 la Tangente crece de 0 a
En el Q4 la Tangente crece de - ∞ a
270º
-∞
- ∞ < Tg α < +∞
a
+∞
0
0
Función tangente
𝒇: ℝ −
𝜋
2𝑘 + 1 , 𝑘𝜖ℤ → ℝ ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙
2
• Como t𝑔 𝑥 =
$%& '
()* '
, debe ser cos 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑡𝑔). Pero
cos 𝑥 = 0 cuando 𝑥 =
"+,- !
, ∀𝑘
"
∈ ℤ.
• Para valores muy pequeños de cos 𝑥 , tan 𝑥 asume
valores muy grandes.
Función tangente
𝒇: ℝ −
1
𝑥=− 𝜋
2
1
𝑥= 𝜋
2
𝜋
2𝑘 + 1 , 𝑘𝜖ℤ → ℝ ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙
2
3
𝑥= 𝜋
2
5
𝑥= 𝜋
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥
t𝑔 𝑥 =
cos 𝑥
cos 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑡𝑔).
Pero cos 𝑥 = 0 cuando 𝑥 =
Si 𝑘 = 0 ⇒ 𝑥 =
!.&$# %
Si 𝑘 = 1 ⇒ 𝑥 =
!.#$# %
Si 𝑘 = 2 ⇒ 𝑥 =
!.!$# %
!
!
!
#%&' "
#
, ∀𝑘 ∈ ℤ.
1
𝜋
2
3
= 𝜋
2
5
= 𝜋
2
=
⇒ Para los valores de x que verifican que cos 𝑥 = 0
La representación gráfica de la función
tangente presenta una asíntota vertical
Función tangente
𝒇: ℝ −
𝜋
2𝑘 + 1 , 𝑘𝜖ℤ → ℝ ∣ 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙
2
𝐷𝑚! = ℝ −
2𝑘 + 1
𝜋
, 𝑘𝜖ℤ
2
𝐼𝑚! = ℝ
Raíces:
𝟎
𝝅
𝟐𝝅 𝟑𝝅 𝟒𝝅
Ordenada al origen: (𝟎; 𝟎)
Período: 𝝅
Imagen extraída del libro “Álgebra y
Trigonometría con Geometría
Analítica” de Swokowski, Earl y otros
Transformaciones de la función seno y coseno
𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
e
𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
¿Cómo afecta el valor de D a las gráficas de las funciones?
Si D>0 ⇒ la gráfica va hacia arriba D unidades
Si D<0 ⇒ la gráfica va hacia abajo D unidades
D= DESPLAZAMIENTO vertical de la curva (hacia arriba o hacia abajo)
Imagen extraída del libro “Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica”
de Swokowski, Earl y otros
Transformaciones de la función seno y coseno
𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
e
𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
¿Cómo afecta el valor de A a las gráficas de las funciones?
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐷𝑚) = 𝑅
𝒚 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐷𝑚) = 𝑅
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐷𝑚) = 𝑅
𝒚 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐷𝑚) = 𝑅
𝐼𝑚) = [−1; 1]
𝐼𝑚) = [−2; 2]
𝐼𝑚) = [−1; 1]
𝐼𝑚) = − ;
A = AMPLITUD = mayor distancia de la gráfica al eje x
1 1
2 2
𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
e
𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
¿Cómo afecta el valor de A a las gráficas de las funciones?
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝐷𝑚) = 𝑅
𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝐷𝑚) = 𝑅
𝟏
𝒚 = − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟐
𝐷𝑚) = 𝑅
𝐼𝑚) = [−1; 1]
𝐼𝑚) = [−3; 3]
𝐼𝑚) = − ;
A = AMPLITUD = mayor distancia de la gráfica al eje x
1 1
2 2
Imagen extraída del libro “Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica”
de Swokowski, Earl y otros
Transformaciones de la función seno y coseno
Imagen extraída del libro “Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica” de Zill,
Dennisy otro
Transformaciones de la función seno y coseno
𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
e
𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
¿Cómo afecta el valor de B a las gráficas de las funciones?
Período→
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙
𝟐𝝅
𝝅
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟐𝝅
El período de cada función es
𝟐𝝅
𝑩
B= PULSO = número de ondas completas en un tramo 2𝝅
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙
𝝅
𝟐
Imagen extraída del libro “Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica”
de Zill, Dennisy otro
Transformaciones de la función seno y coseno
𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
e
𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
¿Cómo afecta el valor de C a las gráficas de las funciones?
C= FASE= Desplazamiento hacia la derecha o izquierda de la curva
Transformaciones de la función seno y coseno
⇒Las gráficas de:
𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
e
𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
Se desplazan hacia la arriba si D > 0 y hacia la abajo si D < 0.
Se desplazan hacia la derecha si 𝐶 < 0 y hacia la izquierda si 𝐶 > 0.
La amplitud de cada gráfica es 𝐴 (estiramiento o estrechamiento)
El período de cada gráfica es
#"
+
.
Transformaciones de la función seno y coseno
PULSO: número
de ondas
completas en un
tramo 2𝝿
Desplaza la
función con
respecto al eje y
𝒇 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 − 𝑪 + 𝑫
Modifica la
AMPLITUD de
la onda.
desFASE de la gráfica
(desplaza la función
con respecto al eje x)
BIBLIOGRAFÍA
§
Larson, Ron y otros. .”Cálculo esencial”. Ed. Cengage.. 2010. México.
§
STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”. Ed. Cengage. 2012. México.
§
Zill, Dennis y otro. “Álgebra, trigonometría y geometría analítica”. Ed Mc Graw Hill. 2012. México.
§
Swokowski, Earl y otro. “Álgebra y trigonometría con geometría analítica”. Ed Cengage Learning. 2014.
México.
Ejercicio 15
Uso de la calculadora
Una calculadora se puede configurar para que calcule las
funciones trigonométricas en grados sexagesimales o en radianes:
Al pulsar la combinación de teclas
(no simultáneamente) obtendremos el siguiente menú de opciones:
3: Deg
Sexagesimales
En la parte superior de la pantalla aparecerá la letra “D”
Radianes
4: Rad
En la parte superior de la pantalla aparecerá la letra “R”
Ojo!!! Utilizar combinando con 𝞹
Número 𝞹:
Presionar las teclas
Uso de la calculadora
Una calculadora se puede configurar para que calcule las
funciones trigonométricas en grados sexagesimales o en radianes:
Al pulsar la combinación de teclas
(no simultáneamente) obtendremos el menú de opciones que aparece en la
imagen.
Presionar “1” si se quiere trabajar son el sistema sexagesimal.
Presionar “2” si se quiere trabajar son el sistema circular.
Sea la función 𝑓q 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1.
a) Graficala, determinando amplitud, período, fase e intersección con el eje de
ordenadas. Determinar Dominio e Imagen.
𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥 − 𝐶 + D
𝐴 : Amplitud
#"⁄ : Período
+
𝐶 : Fase
𝐷: Desplazamiento vertical
• Amplitud: 1
• Período:
• Fase:
2𝜋
= 2𝜋
𝐵
0
• Int con eje y :
• Dominio:
• Imagen:
0,1
ℝ
0,2
x
y
0
𝑠𝑒𝑛 0 + 1 = 0 + 1 = 1
1
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 1 = 1 + 1 = 2
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 1 = 0 + 1 = 1
3
𝜋
2
2𝜋
*
+
𝑠𝑒𝑛
,
𝜋
+
+ 1 = −1 + 1 = 0
𝑠𝑒𝑛 2𝜋 + 1 = 0 + 1 = 1
Sea la función 𝑓s 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 .
a) Graficala, determinando amplitud, período, fase e intersección con el eje de
ordenadas. Determinar Dominio e Imagen.
𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥 − 𝐶 + D
𝐴 : Amplitud
#"⁄ : Período
+
𝐶 : Fase
𝐷: Desplazamiento vertical
• Amplitud: 2
• Período:
• Fase:
2𝜋
= 2𝜋
𝐵
0
• Int con eje y:
• Dominio:
• Imagen:
0,2
ℝ
−2,2
x
0
y
2𝑐𝑜𝑠 0 = 2
1
𝜋
2
2𝑐𝑜𝑠 𝜋 = 2. 0 = 0
𝜋
2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = 2. −1 = −2
3
𝜋
2
2. 𝑐𝑜𝑠 + 𝜋 = 2. 0 = 0
2𝜋
2. 𝑐𝑜𝑠 2. 𝜋 = 2.1 = 2
*
+
,
Sea la función 𝑓t 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 .
a) Graficala, determinando amplitud, período, fase e intersección con el eje de
ordenadas. Determinar Dominio e Imagen.
𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥 − 𝐶 + D
𝐴 : Amplitud
#"⁄ : Período
+
𝐶 : Fase
𝐷: Desplazamiento vertical
• Amplitud: 1
• Período:
• Fase:
2𝜋 2𝜋
=
=𝜋
𝐵
2
0
• Int con eje y:
• Dominio:
• Imagen:
0,0
ℝ
−1,1
x
0
1
𝜋
4
1
𝜋
2
3
𝜋
4
𝜋
y
𝑠𝑒𝑛 0 = 0
*
-
𝑠𝑒𝑛 2. 𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 ½ 𝜋 = 1
𝑠𝑒𝑛 2. ½ 𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 0
,
,
𝑠𝑒𝑛 2. - 𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 + 𝜋 = -1
𝑠𝑒𝑛 2. 𝜋 = 0