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TEMA 1. ANÁLISIS
VECTORIAL
1.
2.
3.
4.
5.
Sistemas Coordenados
Operador Nabla
Teoremas
Función Delta de Dirac
Ecuaciones de Maxwell
Objetivo del tema
• Presentar las herramientas analíticas
básicas para resolver problemas de
campos eléctricos y magnéticos estáticos
análisis integral y vectorial de funciones
escalares y vectoriales en ℜ3
• Enunciar las ecuaciones de Maxwell
1. Sistemas coordenados
• Permiten localizar cualquier punto del espacio
• Importantes porque facilitan la resolución de
problemas: según la simetría del problema se
debe seleccionar el sistema coordenado más
adecuado para facilitar (i) la resolución y (ii) la
interpretación de la solución
• En un sistema coordenado ortogonal, cualquier
punto es la intersección de tres superficies
perpendiculares entre sí distintos sistemas
coordenados según la definición de las
superficies: cartesiano (rectangular), cilíndrico y
esférico.
Sistema Rectangular o Cartesiano
Coordenadas
xˆ × yˆ = zˆ
Coordenadas:
Vectores unitarios:
Vector de posición:
Intersección
planos x, y y z
x, y , z
xˆ, yˆ , zˆ
r
r = xxˆ + yyˆ + zzˆ
Sistema Rectangular o Cartesiano
Diferenciales
Elementos diferenciales de línea:
dLx = dx
dLy = dy
dLz = dz
r
dL = dxxˆ + dyyˆ + dzzˆ
Elementos diferenciales de superficie:
dS x = dLy dL z = dydz
dS y = dLx dL z = dxdz
Elemento diferencial de volumen:
dS z = dLx dL y = dxdy
dV = dLx dLy dL z = dxdydz
Tanto los diferenciales de línea como los de superficie pueden ser escalares o vectoriales
(añadiendo un vector unitario de forma adecuada).
El de volumen siempre es escalar.
Sistema Cilíndrico
Coordenadas
ρˆ × ϕˆ = ẑ
Coordenadas:
Vectores unitarios:
Vector de posición:
Intersección de
cilindro de radio
ρ, semiplano
que contiene el
eje z y forma un
ángulo ϕ con el
eje x, y plano z
ρ, ϕ, z
ρˆ , ϕˆ , zˆ
r
r = ρρˆ + zzˆ
Sistema Cilíndrico
Diferenciales
Elementos diferenciales de línea:
dLρ = dρ
dLϕ = ρdϕ
dLz = dz
r
dL = dLρ ρˆ + dLϕϕˆ + dLz zˆ =
= dρρˆ + ρdϕϕˆ + dzzˆ
Elementos diferenciales de superficie:
dS ρ = dLϕ dL z = ρdϕdz
dSϕ = dLρ dL z = dρdz
dS z = dLρ dLϕ = ρdρdϕ
Elemento diferencial de volumen:
dV = dLρ dLϕ dL z = ρdρdϕdz
Sistema Esférico
Coordenadas
ρˆ × θˆ = ϕˆ
r, θ , ϕ
Vectores unitarios: rˆ, θˆ, ϕˆ
Vector de posición: rr = rrˆ
Coordenadas:
Intersección de esfera
de radio r, semiplano
que contiene el eje z y
forma un ángulo ϕ con
el eje x, y superficie
cónica con vértice en el
origen y con ángulo θ
con el eje z
Sistema Esférico
Diferenciales
Elementos diferenciales de línea:
dLr = dr
dLθ = rdθ
dLϕ = rsenθdϕ
r
dL = dLr rˆ + dLθ θˆ + dLϕϕˆ =
= drrˆ + rdθθˆ + rsenθdϕϕˆ
Elementos diferenciales de superficie:
dS r = dLθ dLϕ = r 2 senθdθdϕ
dSθ = dLr dLϕ = rsenθdrdϕ
dSϕ = dLr dLθ = rdrdθ
Elemento diferencial de volumen:
dV = dLr dLθ dLϕ = r 2 senθdrdθdϕ
Transformación de Coordenadas
Rectangulares-Cilíndricas
Coordenadas
x = ρ cosϕ
y = ρsenϕ
z=z
ρ = (x + y
2
2
y
ϕ = arctan
x
z=z
)
1
2
[0, π ]
∈
(π ,2π )
si y ≥ 0
si y < 0
Vectores unitarios
xˆ = cos ϕρˆ − senϕϕˆ
yˆ = senϕρˆ + cos ϕϕˆ
zˆ = zˆ
zˆ = zˆ
ρˆ = cos ϕxˆ + senϕyˆ
ϕˆ = − senϕxˆ + cos ϕyˆ
Transformación de Coordenadas
Rectangulares-Esféricas
Coordenadas
x = rsenθ cosϕ
y = rsenθsenϕ
z = r cosθ
r = (x + y + z
2
2
(x
θ = arctan
2
y
ϕ = arctan
x
2
)
1
+y
z
2
2
)
1
2
[0, π ] si y ≥ 0
∈
(π ,2π ) si y < 0
Vectores unitarios
xˆ = senθ cos ϕrˆ + cos θ cos ϕθˆ − senϕϕˆ
yˆ = senθsenϕrˆ + cos θsenϕθˆ + cos ϕϕˆ
rˆ = senθ cos ϕxˆ + senθsenϕyˆ + cos θzˆ
θˆ = cos θ cos ϕxˆ + cos θsenϕyˆ − senθzˆ
zˆ = cos θrˆ − senθθˆ
ϕˆ = − senϕxˆ + cos ϕyˆ
Transformación de Coordenadas
Cilíndricas-Esféricas
Coordenadas
ρ = rsenθ
r = (ρ + z
2
ϕ =ϕ
θ = arctan
z = r cosθ
ϕ =ϕ
2
ρ
)
1
2
z
Vectores unitarios
ρˆ = senθrˆ + cos θθˆ
ϕˆ = ϕˆ
rˆ = senθρˆ + cos θzˆ
θˆ = cos θρˆ − senθzˆ
zˆ = cos θrˆ − senθθˆ
ϕˆ = ϕˆ
2. El operador Nabla
Es un operador vectorial y diferencial
Expresión en cartesianas:
∂
∂
∂
∇=
xˆ +
yˆ + zˆ
∂x
∂y
∂z
Reglas de aplicación del operador nabla:
∇ o (c1 A + c2 B ) = c1∇ o A + c2∇ o B
↓
↓
∇ o ( A ∗ B ) = ∇ o ( A ∗ B )+ ∇ o ( A ∗ B )
↓ indica la función a la que hay que aplicar la derivación, manteniendo las demás constantes
2. El operador Nabla
3.
∇( f + g ) = ∇f + ∇g
r r
r
r
∇⋅ A+ B = ∇⋅ A+∇⋅B
r r
r
r
∇× A+ B = ∇× A+∇× B
4.
∇( fg ) = g∇f + f∇g
1.
2.
Propiedades
(
)
(
)
5. ∇(Ar ⋅ Br ) = (Br ⋅ ∇ )Ar + Br × (∇ × Ar )+ (Ar ⋅ ∇ )Br + Ar × (∇ × Br )
( )
( )
( )
r
r
r
∇ ⋅ fA = A ⋅ ∇ f + f∇ ⋅ A
r r r
r r
r
∇ ⋅ A× B = B ⋅∇ × A − A⋅∇ × B
r
r
r
∇ × fA = − A × ∇ f + f ∇ × A
6.
7.
8.
9.
(
) (
)
(
) (
) (
)
r r
r r
r r
r
r
r
r
∇ × A× B = B ⋅∇ A − B ∇ ⋅ A + A ∇ ⋅ B − A⋅∇ B
Aplicaciones del operador Nabla
(derivadas de primer orden)
1. Gradiente: ∇f
r
2. Divergencia: ∇ ⋅ A
r
3. Rotacional: ∇ × A
Gradiente ∇f
-Siempre se aplica sobre una función escalar f
-El resultado es una magnitud vectorial
-Indica la rapidez de variación de un campo escalar en
diferentes direcciones del espacio
-El vector resultante apunta en la dirección de máxima
variación positiva del campo escalar, siendo normal a
las superficies equiescalares de f
Ejemplo:
gradiente del
campo escalar
“oscuridad”
r
Divergencia ∇ ⋅ A
-Siempre se aplica sobre una función vectorial
r
A
-El resultado es una magnitud escalar
-Indica la tendencia que presenta un campo vectorial
en un punto determinado a dirigirse hacia el punto
(divergencia negativa) o a alejarse de él (divergencia
positiva). Es decir, mide la tendencia de dicho campo
vectorial a originarse en o a converger hacia dicho
punto.
r
Rotacional ∇ × A
-Siempre se aplica sobre una función vectorial
r
A
-El resultado es una magnitud vectorial
-Indica la tendencia que presenta un campo vectorial
en un punto determinado a girar alrededor de ese
punto.
Aplicaciones del operador Nabla
(derivadas de segundo orden)
1. Laplaciano de Función Escalar: ∇ ⋅ (∇f ) = (∇ ⋅ ∇ ) f
2.
∇ × (∇f ) = (∇ × ∇ ) f = 0
3.
r
∇ ∇⋅ A
4.
r
r
∇ ⋅ ∇ × A = (∇ × ∇ ) ⋅ A = 0
5.
r
r
r
r
r
2
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − (∇ ⋅ ∇ ) A = ∇∇ ⋅ A − ∇ A
(
(
= ∇2 f
)
)
(
) (
)
Laplaciano de Función Vectorial:
r
r
r
∇ A = ∇∇ ⋅ A − ∇ × ∇ × A
2
Operadores Diferenciales en
Rectangulares
 ∂
∂
∂
∇ o A =  xˆ + yˆ + zˆ  o A
∂y
∂z 
 ∂x
∂f
∂f
∂f
+ yˆ + zˆ
∂x
∂y
∂z
Gradiente
∇f = xˆ
Divergencia
r ∂Ax ∂Ay ∂Az
∇⋅ A =
+
+
∂x
∂y
∂z
Rotacional
r
 ∂Az ∂Ay   ∂Ax ∂Az   ∂Ay ∂Ax 
 + yˆ 

∇ × A = xˆ
−
−
−
 + zˆ
∂z   ∂z
∂x   ∂x
∂y 
 ∂y
Laplaciano
∂2 f ∂2 f ∂2 f
∇ f = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
2
Operadores Diferenciales en Cilíndricas
∇f = ρˆ
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
1 ∂f
∂f
∂f
+ ϕˆ
+ zˆ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
r 1 ∂
1 ∂Aϕ ∂Az
(
)
∇⋅ A =
ρAρ +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
r
 1 ∂Az ∂Aϕ 
 ∂Aρ ∂Az 
1
 + ϕˆ 
 + zˆ
∇ × A = ρˆ 
−
−
∂z 
∂ρ 
ρ
 ρ ∂ϕ
 ∂z
1 ∂  ∂f  1 ∂ 2 f ∂ 2 f
 ρ
 + 2
∇ f =
+
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ ∂ϕ 2 ∂z 2
2
∂Aρ 
∂
 (ρAϕ ) −

∂
ρ
∂
ϕ


Operadores Diferenciales en Esféricas
∂f ˆ 1 ∂f
1 ∂f
+θ
+ ϕˆ
r ∂θ
r sen θ ∂ϕ
∂r
Gradiente
∇f = rˆ
Divergencia
r 1 ∂ 2
∂
1
1 ∂Aϕ
∇⋅ A = 2
r Ar +
( Aθ sen θ ) +
∂
r
r
sen
θ
∂
θ
r sen θ ∂ϕ
r
(
)
Rotacional
r
∇ × A = rˆ
1
r sen θ
∂Aθ
∂
(
)
A
sen
−
θ
 ∂θ ϕ
∂ϕ

 ˆ 1  1 ∂Ar ∂

∂Ar 
1 ∂
ˆ
(
)
(
)
+
−
rA
+
rA
−
θ
ϕ

 sen θ ∂ϕ ∂r ϕ 
 ∂r θ
r
r
∂θ 




Laplaciano
1 ∂  2 ∂f 
1
∂ 
∂f 
1
∂2 f
∇ f = 2
r
+ 2
 sen θ
+ 2
∂θ  r sen 2 θ ∂ϕ 2
r ∂r  ∂r  r sen θ ∂θ 
2
Campo irrotacional
r
Se dice que un campo vectorial A es irrotacional en un
volumen V si en todos los puntos del volumen se
cumple:
r
∇× A = 0
Ejemplo: campo electrostático.
Además, se cumple:
r r
1. A ⋅ dL = 0 para cualquier L dentro de V
∫
L
r r
2. A ⋅ dL
∫
L
r
3. A = −∇f
no depende del recorrido L sino de los extremos
Campo solenoidal
r
Se dice que un campo vectorial A es solenoidal en un
volumen V si en todos los puntos del volumen se
cumple:
r
∇⋅ A = 0
Ejemplo: campo magnetostático.
Además, se cumple:
r r
1. A ⋅ dS = 0 para cualquier S dentro de V
∫∫
S
r r
2. ∫∫ A ⋅ dS no depende de S, sino de la línea L que la delimita
S
r
r
3. A = ∇ × B
3. Teoremas
Teorema Gauss:
r r
r
∫∫ A ⋅ dS = ∫∫∫∇ ⋅ AdV
S
V
Teorema Stokes:
r r
r r
∫ A ⋅ dL = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS
L
S
Teorema de Gauss
r r
r
∫∫ A ⋅ dS = ∫∫∫∇ ⋅ AdV
S
V
Flujo de una función vectorial
a través de una superficie cerrada
Demostración:
∞
r r ∞
r r
r
r
∫∫ A ⋅ dS = ∑ ∫∫ A ⋅ dS i = ∑ ∇ ⋅ AVi = ∫∫∫ ∇ ⋅ AdV
S
i =1
Si
V
i =1
r
∫∫ dS o =
Generalización:
S
Corolarios:
∫∫
S
− ∫∫
S
∫∫∫ dV∇ o
V
r
fdS = ∫∫∫ ∇fdV
r
r
A × dS =
V
r
∫∫∫ ∇ × AdV
V
-Permite relacionar integrales de volumen y superficie
-Válido para superficies cerradas y disjuntas
Aplicaciones del Teorema de Gauss
1. Integración por Partes:
∫∫∫
V
( )
r
r
r
r
r
A → fA, ∇ ⋅ fA = A ⋅ ∇f + f∇ ⋅ A
r
r
r r
A ⋅ ∇fdV + ∫∫∫ f∇ ⋅ AdV = ∫∫ fA ⋅ dS
V
S
2. Primera Identidad de Green:
r
A → g∇ f , ∇ ⋅ ( g∇ f ) = ∇ g ⋅ ∇ f + g∇ 2 f
∫∫∫ (g∇
2
V
)
f + ∇g ⋅ ∇f dV = ∫∫ g
S
∂f
dS
∂n
3. Segunda Identidad de Green:
∫∫∫ (g∇
V
2
∂g 
 ∂f
f − f∇ 2 g dV = ∫∫  g − f
dS
S
∂n 
 ∂n
)
Teorema Stokes
r r
r r
∫ A ⋅ dL = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS
L
S
Demostración:
∞
r r ∞
r r
r r
r r
∫ A ⋅ dL = ∑ ∫ A ⋅ dLi = ∑ ∇ × A ⋅ S i = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS
L
i =1
Li
r
r
∫ dL o = ∫∫ ( dS × ∇) o
Generalización:
L
Corolarios:
S
i =1
S
r
r
∫L φdL = − ∫∫S ∇φ × dS
r
r
r
∫ A × dL = − ∫∫ ( n$ × ∇) × AdS
L
S
4. Función Delta de Dirac
5. Ecuaciones de Maxwell: forma
diferencial
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0
r
r r ∂D
∇× H = J +
∂t
r
E
r
D
ρ
r
B
r
H
r
J
campo eléctrico
desplazamiento eléctrico
densidad de carga
inducción magnética
campo magnético
densidad de corriente
Ecuaciones de Maxwell: forma
integral
r
r r
∂B r
∫CE ⋅ dl = ∫∫S − ∂t ⋅ dS
r r
∫∫SD ⋅ dS = ∫∫∫V ρdV
r r
∫∫SB ⋅ dS = 0
r
r r
r r
∂D r
∫CH ⋅ dl = ∫∫SJ ⋅ dS + ∫∫S ∂t ⋅ dS
Relaciones constitutivas
r
r r
D = ε0E + P
r
r r
B = µ0 H + M
(
Medios conductores
r
r
J = σE
σ
conductividad
)
r
P polarización
r
M magnetización
Medios lineales
r
r
r
r
P = ε 0 χ e E ⇒ D = εE
r
r
r
r
M = χ m H ⇒ B = µH
χe, χm
ε,µ
susceptibilidades eléctrica y magnética
permitividad eléctrica y permeabilidad
magnética
Ecuaciones de Maxwell en estática
Forma diferencial
r
∇× E = 0
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0
r r
∇× H = J
Forma integral
r r
∫CE ⋅ dl = 0
r r
∫∫SD ⋅ dS = ∫∫∫V ρdV
r r
∫∫SB ⋅ dS = 0
r r
r r
∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS
C
S
Anexo I: Integrales
Distinguimos:
-por el dominio espacial
línea
superficie
volumen
-según el integrando
escalares
vectoriales
Línea
1. Simple: ∫ f ( x ) dx
L
2. Curvilínea (1er tipo):
∫
L
r
3. ∫ AdL
L
r
4. ∫ fdL
fdL
Uso: obtención de la carga
total de una distribución
lineal de carga
L
∫ AdL = lim ∑ A(P )∆L
L
→∞
i =1
i
i
5. Circulación (Curvilínea 2o tipo):
r r
∫ A ⋅ dL
r
r
∫ A o dL = lim ∑ A(Pi ) o ∆Li
L
→∞
i =1
r
r
ˆ
dL = t dL, ∆Li = tˆ(Pi )∆Li
L
r
r
6. ∫ A × dL
L
Uso: trabajo realizado por
una fuerza sobre una
trayectoria L
Superficie
1. Doble:
∫∫
S
f ( x, y)dxdy
2. Superficie (1er tipo):
r
3. ∫∫SAdS
r
4.
∫∫ fdS
∫∫
S
fdS
Uso: obtención de la carga
total de una distribución
superficial de carga
S
∫∫ AdS = lim ∑ A(P )∆S
S
→∞
i
i =1
i
r
r
∫∫ A o dS = lim ∑ A(Pi ) o ∆S i
5. Flujo (Superficie 2o tipo):
r r
∫∫ A ⋅ dS
S
S
→∞
i =1
r
r
dS = nˆdS , ∆S i = nˆ (Pi )∆S i
r
r
6. ∫∫S A × dS
Volumen
1.
∫∫∫
V
fdV
r
2. ∫∫∫ AdV
V
∫∫∫ AdV = lim ∑ A(P )∆V
V
→∞
i =1
i
i
Uso: obtención de la carga
total de una distribución
volumétrica de carga
Anexo II: Derivadas
Volumen
lim
V →0
r
∫∫ dS o A
S
V
dydzxˆ o [ A(x + dx, y, z ) − A(x, y, z )]
+
dxdydz
dxdzyˆ o [ A(x, y + dy, z ) − A(x, y, z )]
+
+
dxdydz
dxdyzˆ o [ A(x, y, z + dz ) − A(x, y, z )]
+
dxdydz
∂A
∂A
∂A
= xˆ o
+ yˆ o
+ zˆ o
∂x
∂y
∂z
=
 ∂
∂
∂
=  xˆ + yˆ + zˆ  o A
∂y
∂z 
 ∂x
lim
V →0
r
∫∫ dS o A
S
V
= ∇ o A ⇒ ∇o = lim
1. Gradiente:∇f
r
2. Divergencia:∇ ⋅ A
r
3. Rotacional:∇ × A
V →0
r
∫∫ dS o
S
V
Superficie
lim
S →0
r
∫ dL o A
L
S
dzzˆ o [ A(x, y + dy, z ) − A( x, y, z )]
−
dydz
dyyˆ o [ A(x, y, z + dz ) − A(x, y, z )]
−
dydz
∂A
∂A
= zˆ o
− yˆ o
∂y
∂z
r
∫ dL o A
= ( xˆ × ∇ ) o A ⇒
(nˆ × ∇ )o = lim
S →0
r
∫ dL o
=
lim
 ∂
∂
=  zˆ − yˆ  o A
∂z 
 ∂y
1. (nˆ × ∇ ) f = nˆ × ∇f
r
r
2. ( n$ × ∇) ⋅ A = n$ ⋅ ∇ × A
r
r
r
r
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3. (n × ∇ )× A = n × (∇ × A) + (n ⋅ ∇ )A − n(∇ ⋅ A)
S →0
L
S
L
S
Línea
{
} [A]
P = P ini , P fin ,
lim
L →0
[ A]P
L
=
L
( ) ( )
= A P fin − A P ini
A( x + dx, y, z ) − A( x, y , z ) ∂A
=
dx
∂x
[A]P = (xˆ ⋅ ∇)A
L →0
lim
P
⇒
(tˆ ⋅ ∇ ) = lim [ ]P
L →0
L
1. Derivada Direccional de Función
Escalar: (tˆ ⋅ ∇ ) f = tˆ ⋅ ∇f
2. Derivada Direccional de Función
Vectorial:
[( )
(
)
(
)
r 1
r
r
r
(tˆ ⋅ ∇ )A = ∇ A ⋅ tˆ + ∇ × A × tˆ − tˆ × ∇ × A −
2
r
r r
− A × (∇ × tˆ ) + tˆ ∇ ⋅ A − A(∇ ⋅ tˆ )
(
)
]
Anexo III: Aplicaciones de la Delta de Dirac
Electrostática
Magnetostática