1. Tensor de curvatura en grupos compactos

1
1.
Tensor de curvatura en grupos compactos
Definición 1 El tensor de curvatura R de G es el tensor de tipo (1, 3) determinado por
R (X, Y ) Z = ∇[X,Y ] Z − ∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z.
Se observa que el convenio de signos no es único. Dependiendo de la fuente, el tensor de curvatura
puede estar definido como −R. Otras formas alternativas de presentar este tensor es a través
del tensor covariante de orden 4 definido por
R0 (X, Y, Z, W ) = g (R (X, Y ) Z, W ) .
Para el estudio de curvaturas de una variedad (grupo) en un punto, es en ocasiones más fácil
recurrir a las llamadas curvaturas seccionales, que determinan el tensor R evaluado en un punto
p.
Definición 2 Dados u, v ∈ Tp G, el operador lineal Ruv : Tp G → Tp G recibe el nombre de
operador de curvatura.
Las principales simetrı́as del tensor de curvatura vienen dadas en la siguiente
Proposición 1 Sea X, Y, Z, W ∈ X (G). Se verifican
1. R (X, Y ) + R (Y, X) = 0.
2. g (R (X, Y ) Z, W ) + g (R (X, Y ) W, Z) = 0,
3. g (R (X, Y ) Z, W ) = g (R (Z, W ) X, Y ) ,
4. R (X, Y ) Z + R (Y, Z) X + R (Z, X) Y = 0.
5. (∇Z R) (X, Y ) + (∇X R) (Y, Z) + (∇Y R) (Z, X) = 0.
Las dos últimas propiedades reciben comúnmente el nombre de identidades de Bianchi.
Lema 1 Sea P ⊂ Tp G un subespacio de dimensión dos y sean u, v dos vectores de P que generan
una base. El escalar
g (R (u, v) u, v)
Kp (u, v) =
g (u, u) g (v, v) − g (u, v)2
no depende de la elección de los vectores, y se llama curvatura seccional de P en p.
La importancia de las curvaturas seccionales radica en la posibilidad de determinar el tensor de
curvatura en un punto.
Teorema 1 El tensor de curvatura R en p está unı́vocamente determinado por las curvaturas
seccionales de 2.planos de Tp G en p.
La curvatura seccional se dice constante si Kp coincide para todos los 2.planos de Tp G, cualquiera
que sea el punto p. En el caso de ser nula, se dice que la variedad (grupo) es plana.
2
Definición 3 La curvatura de Ricci Ric(X, Y ) de G se define como la traza del operador de
curvatura R (X, Y ) .
Se sigue de forma inmediata que Ric(X, Y ) da lugar a un tensor covariante de orden dos y
simétrico. En una referencia ortonormal {E1 , .., En } de Tp G, la curvatura de Ricci viene dada
por
X
Ric (X, Y ) =
g (Ric (X, Ei ) Y, Ej ) .
En particular, puede tomarse el operador traza para X = E1 :
X
X
K (X, Ei ) .
g (Ric (X, Ei ) X, Ei ) =
Ric (X, X) =
i≥2
i≥2
De este operador se deduce la llamada curvatura escalar
X
S (p) = 2
K (Ei , Ej ) .
i<j
Para el caso especial de los grupos compactos, las anteriores nociones se reducen a expresiones
simplificadas que pueden describirse en dependencia del tensor de estructura.
Teorema 2 Todo grupo de Lie compacto posee una métrica bi-invariante. Existe una correspondencia 1:1 entre métricas bi-invariantes y productos escalares Ad-invariantes en g. De ella se
deduce además la condición g ([X, Y ] , Z) = g (X, [Y, Z]).
La existencia de la métrica bi-invariante se deduce de los productos internos invariantes por las
representaciones. Dado X ∈ g, se tiene que Ad (g) X = dRa−1 X con a ∈ G, y como consecuencia
de la invariancia a la derecha se tiene
g (Ad (g) X, Ad (g) Y ) = g (dRa−1 X, dRa−1 Y ) = g (X, Y ) .
Por otra parte, el flujo de X viene dado a través de la exponencial. Por tanto
d
g ([X, Y ] , Z) = g (adX (Y ) , Z) = g
Ad (exp (tX) Y, Z) |t=0
dt
d
= g (Y, Ad (exp (−tX)) Z) |t=0 = −g (Y, [X, Z]) .
dt
El prototipo para la métrica bi-invariante en un grupo compacto viene dado por el opuesto de
la métrica de Killing κ.
Proposición 2 Sea G un grupo de Lie compacto dotado de una métrica bi-invariante g. Se
verifican
1. La conexión de Levi-Civita viene determinada por ∇X Y =
2. el tensor de curvatura R viene dado por R (X, Y ) Z =
1
4
1
2
[X, Y ] ,
[[X, Y ] , Z] ,
3. la curvatura seccional es
K (X, Y ) =
1
g ([X, Y ] , [X, Y ])
,
4 g (X, X) g (Y, Y ) − g (X, Y )2
3
4. la curvatura de Ricci es
Ric (X, Y ) =
1X
g ([X, Ei ] , [Y, Ei ]) ,
4
i
donde {E1 , .., En } es referencia ortonormal de g.
5. Si g = −κ, la curvatura escalar viene dada por S =
1
4
dim G.
6. Si G es un grupo semisimple, entonces Ric (X, Y ) = − 41 κ (X, Y ).
Referencias
1. J. M. Lee. Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer Verlag, New
York, 1997.
2. A. N. Petrov. Einstein Spaces, Fizmatlit, Moscú, 1960.