La regla de L`Hôpital

DERIVADAS
LECCIÓN 12
Índice: La regla de L'Hôpital. Problemas.
1.- La regla de L'Hôpital
Sea x0 un número real, y sean f y g dos funciones que cumplen las
cuatro condiciones siguientes:
f(x) 0
1ª) lím g(x) = 0.
x→x0
2ª) f y g son derivables en un entorno reducido de x0.
3ª) g'(x)≠0 en dicho entorno reducido.
f'(x)
4ª) existe lím g'(x).
x→x0
Entonces:
f(x)
f'(x)
lím g(x) = lím g'(x)
x→x0
x→x0
* * *
Aplicaremos esta regla sin comprobar (salvo que se pida) las condiciones segunda y tercera (las otras dos son inevitables).
Por ejemplo, calculemos el siguiente límite:
xn-1 1
n·xn-1 n·1n-1
lím x-1 = lím
1 = 1 =n
x→1
x→1
* * *
En algunos problemas se requiere aplicar la regla de L'Hôpital más
de una vez.
Por ejemplo:
1+sen x-ex 2
1+sen x-ex 1
cos x-ex 1
-sen x-ex
1
lím (arc tg x)2 = lím
=
lím
=
lím
=-2
2
2x
2
x
x→0
x→0
x→0
x→0
* * *
La regla de L'Hôpital vale también cuando se trata de un límite
lateral y cuando x0 es +∞ o -∞. Y es cierta si en lugar de 0/0 sale
∞/∞.
Por ejemplo:
ex 3
ex
lím ln x = lím 1/x = lím (x·ex)= +∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
1
Como sale la indeterminación 0/0, aplicamos L'Hôpital.
Ya que arc tg x ~ x en x=0. Observa que de este modo simplificamos la aplicación de la regla de L'Hôpital, ya que la derivada del denominador resulta ser más sencilla.
3
Como sale la indeterminación ∞/∞, aplicamos L'Hôpital.
2
- 1 -
* * *
En algunas ocasiones se reduce el número de veces que se requiere
aplicar la regla de L'Hôpital si previamente se trasforma la función
adecuadamente.
Por ejemplo:
xn
lím ex = lím
x→+∞
x→+∞
n
n
n
n
1
 x  =1  lím x  =2  lím
 =  1  = 0
ex/n
x→+∞ ex/n
x→+∞ ex/n·1/n +∞
Si no hubiésemos hecho la transformación, tendríamos que haber
aplicado L'Hôpital n veces consecutivas.
* * *
La regla de L'Hôpital también permite resolver las indeterminacio-
nes ∞-∞, 0·∞, 00, 1∞ y (+∞)0, si bien antes hay que transformarlas3
en 0/0 o ∞/∞.
Por ejemplo:
lím
x→0
=
e
x
x 4
= lím+
x→0
ln x
lím+ 1/x 2
x→0
=
e
e
x·ln x 5
=
1/x
lím+ -1/x2
x→0
=
e
e
lím+(x·ln x) 6
x→0
lím+ (-x)
x→0
=
=
e
0
=1
* * *
Conviene señalar que la regla de L'Hôpital no siempre funciona,
aun cumpliéndose las hipótesis.
Por ejemplo:
ex+e2x 2
ex+2e2x 2
ex+4e2x 7
lím ex+e3x = lím ex+3e3x = lím ex+9e3x = …
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Por tanto, no hay que olvidar los procedimientos elementales de
cálculo de límites.
* * *
Hay algunos límites que no requieren de la regla de L'Hôpital,
pues basta para calcularlos aplicar la definición de derivada de una
función en un punto:
lím
x→a
f(x)-f(a)
= f'(a)
x-a
1
Por las propiedades de los límites.
Como sale la indeterminación ∞/∞, aplicamos L'Hôpital.
3
Ver el apartado 4 de la lección L-5.
4
Transformamos la indeterminación 00 en 0·∞. Como el dominio de la función es (0,+∞),
este límite coincide con el límite lateral derecho.
5
Por las propiedades de los límites.
6
Transformamos la indeterminación 0·∞ en ∞/∞.
7
Como se ve, lo único que conseguimos aplicando la regla de L'Hôpital es complicar cada
vez más el límite.
2
- 2 -
D-12
Por ejemplo:
lím
x→a
sen x-sen a 1
f(x)-f(a)
= lím
=f'(a)=cos a
x-a
x-a
x→a
Lo mismo sucede en límites del siguiente tipo:
f(x)-f(a)
lím g(x)-g(a)
x→a
En efecto, dividiendo numerador y denominador entre x-a, resultan
ser un cociente de derivadas:
f(x)-f(a)
f(x)-f(a)
lím
x-a
x-a
f(x)-f(a)
f'(a)
x→a
lím g(x)-g(a) = lím g(x)-g(a) =
=
g(x)-g(a) g'(a)
x→a
x→a
lím
x-a
x-a
x→a
Por ejemplo:
lím
x→0
cos x-1 2
f(x)-f(0) f'(0) 3 -sen 0 0
=
= e0 = 1 =0
ex-1 = lím
x→0 g(x)-g(0) g'(0)
* * *
Por último, hay que tener especial cuidado con la última de las
condiciones de la regla de L'Hôpital.
Por ejemplo:
lím
x→+∞
x-sen x 4
1-cos x
= lím
x
1
x→+∞
Evidentemente, este segundo límite no existe. Lo cual no significa
que el primero no exista. Lo único que quiere decir es que en este
caso, al no cumplirse la cuarta condición de la regla de L'Hôpital,
no se puede aplicar ésta. De hecho, el primer límite sí que existe:
1
x·1- x·sen x
x-sen x
1


lím
= lím
= lím 1- x·sen x = 1-0=1
x
x
x→+∞
x→+∞
x→+∞ 

2.- Problemas
1) Calcula:
ax-1
a) lím x
x→0
b) lím
x→0
ax-bx
x
c) lím
x→0
x-sen x
x
1
Si f(x)=sen x.
Si f(x)=cos x y g(x)=ex.
3
Ya que f'(x)=-sen x y g'(x)=ex.
4
Como sale la indeterminación ∞/∞, aplicamos L'Hôpital. Para ver que el numerador tiende
a +∞, basta sacar factor común x y fijarse que el sustraendo de la resta que resulta es
el producto de un infinitésimo por una función acotada.
2
- 3 -
D-12
n
d) lím
x→1
m
x-1
x-1
ex-e
g) lím x2-1
x→1
arc sen x
e) lím arc tg x
x→0
ln x
f) lím x2+2x-3
x→1
x-sen x
h) lím x+sen x
x→0
i) lím
x→0
1-cos x
ex-1
2) Halla:
e2x-1
x
x→0
ln(ex+x2)
d) lím
x
x→0
ln(1+ax)
g) lím ln(1+bx)
x→0
4x-2x
j) lím sen(4x)
x→0
a) lím
ln(1+x)
x
x→0
sen(π+x)-sen π
e) lím
x
x→0
sen(3x)+sen x
h) lím sen(3x)-sen x
x→0
sen(3x-6)
k) lím tg(4x-8)
x→2
b) lím
ex-e-x
x
x→0
sen x
f) lím ln(1+x)
x→0
tg(4x)
i) lím tg x
x→0
c) lím
l) lím [x(a1/x-1)]
x→+∞
3) Calcula el límite en +∞ de las siguientes funciones:
(log3x)5
32x
x3
5x
a) y= x7
b) y= 2x
c) y= (log x)3
d) y=
7x
2
2
7
x
log x
x
πx
e) y= ln3x
f) y= x
g) y= log x
h) y= (log x)3
1/2
1/3
4) Halla el límite en +∞ de las siguientes funciones:
x3
a) y= x
e
e3x
e) y=
x
3
2x
b) y= x4
4
2x
c) y= (ln x)3
3
x
f) y= 2x
g)
ln3x
x
d) y=
log2x
4x
ln x
h) y= 32x
5) Calcula el límite en +∞ de las siguientes funciones:
a) y=x3-3x
b) y=4x- x4+1
c) y=ln x2-2x3
d) y=ex-x4
x3
ln(x3+8)
3x
e) y=x4-ln x
f) y=2x- x+1
g) y= 4x3-7
h) y= ln(x2+1)
x4+8
x+ln2x
5x3-2x2
ln(x3+1)
i) y= ex
j) y= ln x
k) y= ex+x
l) y= x2+6
- 4 -
D-12