resumen de trigonometra

RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA
El grado sexagesimal y el radián
o El grado sexagesimal es la medida que resulta al dividir un ángulo recto en 90 partes iguales.
o El radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el
radio.
CONVERSIÓN
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
∝
sen B =
cateto opuesto a α
hipotenusa
cosec B =
cos B =
cateto contiguo a α
hipotenusa
sec B =
hipotenusa
cateto contiguo a α
ctg B =
cateto contiguo a α
cateto opuesto a α
tg B =
cateto opuesto a α
cateto contiguo a α
hipotenusa
cateto opuesto a α
En un triángulo rectángulo de hipotenusa unidad ( a = 1)
o
sen α. = cateto opuesto al ángulo α
o
cos α. = cateto contiguo al ángulo α
Algunas relaciones entre razones trigonométricas
1) Fórmula fundamental: sen2 α + cos2 α = 1
2
3) tg α + 1 =
2) tg α =
1
= sec 2 α
2
cos α
sen α
cos α
2
4) ctg α + 1 =
1
= cosec2 α
2
sen α
Razones trigonométricas de algunos ángulos:
º
0º
30º
π
6
45º
π
4
60º
π
3
RAD
0
SEN
0
1
2
COS
1
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
TG
0
3
3
1
3
90º
π
2
120º
2π
3
3
2
1
2
1
0
--
-
3
135º
3π
4
150º
5π
6
1
2
2
2
2
3
2
2
-1
-
3
3
180º
π
0
-1
0
210º
7π
6
1
2
225º
5π
4
240º
4π
3
2
3
2
2
1
3
2
2
2
2
-
3
3
-
1
3
270º
3π
2
-1
300º
5π
3
-
0
--
-
315º
7π
4
330º
11π
6
3
2
2
2
1
2
2
2
3
-1
-
1
2
3
2
-
3
3
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Empleando la circunferencia goniométrica (radio = 1, centrada en el
origen de coordenadas) se puede definir las razones trigonométricas
de cualquier ángulo.
Sean P(x, y) las coordenadas del punto que recorre toda la
circunferencia:
α
M
El coseno coincide con el valor de la abscisa, x.
El seno coincide con el valor de la ordenada, y.
La tangente es igual al cociente de y entre x.
Relaciones entre razones de ángulos diferentes
ángulos suplementarios
ángulos que difieren en 180º
sen (180º - α) = sen α
sen (180º + α) = -sen α
cos ( 180º - α) = - cos α
cos ( 180º + α) = - cos
α
tg ( 180º - α)= - tg α
tg ( 180º + α)= tg α
ángulos opuestos
ángulos complementarios
sen (360º - α) = - sen α
sen ( 90º - α) = cos α
cos ( 360º - α) = cos α
cos ( 90º - α) = sen α
tg ( 360º - α)= - tg α
tg ( 90º - α) = ctg α
Teorema de los senos:
En cualquier triángulo de ángulos A , B y C y lados a, b y c, se cumple que:
a
b
c
=
=
sen A senB senC
Teorema de los cosenos:
En cualquier triángulo de ángulos A , B y C y lados a, b y c, se cumple que:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Razones trigonométricas de la suma o resta de dos ángulos
sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β
tg(α ± β) =
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sen α sen β
tgα ± tgβ
1∓ tgα·tgβ
Razones trigonométricas del ángulo doble
sen (2α) = 2 sen α · cos α
cos (2α) = cos2 α – sen2 α
tg2α =
2 tgα
1- tg 2 α
Razones trigonométricas del ángulo mitad
⎛α⎞
sen ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
1- cos α
2
⎛α⎞
cos ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
1+ cos α
2
⎛α⎞
tg ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
1- cos α
1+ cos α
Suma y diferencia de senos y cosenos
⎛ A +B ⎞
⎛ A -B ⎞
sen A + sen B = 2 sen ⎜
⎟ ·cos ⎜ 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
⎛ A +B ⎞
⎛ A -B ⎞
cos A + cos B = 2 cos ⎜
·cos ⎜
⎟
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ A +B ⎞
⎛ A -B ⎞
sen A – sen B = 2 cos ⎜
⎟ ·sen ⎜ 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
⎛ A +B ⎞
⎛ A -B ⎞
cos A – cos B = -2 sen ⎜
·sen ⎜
⎟
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠