Trigonometría y Dibujo Técnico - Universidad Tecnológica Equinoccial

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN
AREA DE MATEMÁTICAS
Módulo
TRIGONOMETRÍA Y
DIBUJO TÉCNICO
Msc. Jorge Revelo Rosero
Sexto Nivel
Tercera Edición
Quito, marzo 2012
Trigonometría
Jorge Revelo Rosero
Contenido
TRIGONOMETRIA ............................................................................................................................................... iv
ÁNGULOS ............................................................................................................................................. 1
1.1
1.1.1
Medida de Ángulos .......................................................................................................................... 1
1.1.1.1
Grado Sexagesimal () ........................................................................................................... 2
1.1.1.2
Radián (rad) ............................................................................................................................. 2
1.1.2
Equivalencias ................................................................................................................................... 2
1.1.3
Ejercicios resueltos .......................................................................................................................... 3
1.1.4
Actividades de Aprendizaje No. 01 ............................................................................................... 4
1.2
Razones Trigonométricas ................................................................................................................... 5
1.2.1
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo ................................................................. 5
1.2.2
Razones trigonométricas fundamentales ..................................................................................... 5
1.2.3
Razones trigonométricas recíprocas ........................................................................................... 5
1.2.4
Razones trigonométricas de ángulos complementarios ............................................................ 6
1.3
Resolución de triángulos rectángulos ............................................................................................... 7
1.3.1
Ejercicios Resueltos ........................................................................................................................ 7
1.3.2
Actividades de Aprendizaje No. 02 ............................................................................................. 10
1.4
Razones trigonométricas de ángulos especiales .......................................................................... 12
1.4.1
Razones trigonométricas de 30 y 60 ....................................................................................... 12
1.4.2
Razones trigonométricas de 45 ................................................................................................. 13
1.4.3
Razones trigonométricas de 37 y 53 ....................................................................................... 13
1.4.4
Resumen funciones trigonométricas de ángulos especiales .................................................. 14
1.4.5
Ángulo de elevación y ángulo de depresión .............................................................................. 14
1.4.6
Ejercicios resueltos ........................................................................................................................ 15
1.4.7
Actividades de aprendizaje No. 03 .............................................................................................. 16
1.5
Sistema de coordenadas rectangulares ......................................................................................... 18
1.5.1
Razones Trigonométricas en el círculo trigonométrico ............................................................ 19
1.5.2
Signos de las Razones Trigonométricas en los Cuadrantes .................................................. 20
ii
Trigonometría
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1.6
Identidades Trigonométricas Fundamentales ................................................................................ 20
1.6.1
Recíprocas ...................................................................................................................................... 20
1.6.2
Tangenciales .................................................................................................................................. 21
1.6.3
Pitagóricas ...................................................................................................................................... 21
1.6.4
Ejercicios Propuestos .................................................................................................................... 22
1.6.5
Actividades de Aprendizaje No. 04 ............................................................................................. 24
1.7
Identidades Trigonométricas de Ángulos Compuestos ................................................................ 26
1.7.1
Suma y Diferencia de dos Ángulos ............................................................................................. 26
1.7.2
Identidades de Ángulos Múltiples ................................................................................................ 26
1.7.3
Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en producto .......................... 27
1.7.4
Ejercicios Propuestos .................................................................................................................... 27
1.7.5
Actividades de aprendizaje No. 05 .............................................................................................. 29
DIBUJO TÉCNICO .............................................................................................................................................. 30
2.1
2.2
DEFINICIONES BÁSICAS ................................................................................................................ 32
Actividades de Aprendizaje No. 06 ........................................................................................................ 46
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................ 47
iii
Trigonometría
Jorge Revelo Rosero
TRIGONOMETRIA
iv
Trigonometría
Jorge Revelo Rosero
INTRODUCCION
La Trigonometría, es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre
los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las
funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la
trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un
plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la
superficie de una esfera.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era
determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o
una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la
trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de
la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el
flujo de corriente alterna.
v
Trigonometría
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1.1
ÁNGULOS
Definición.- Angulo es la región del plano que resulta de la rotación de rayos
alrededor de un punto fijo llamado vértice. Si se toman dos rayos coincidentes, uno
permanece fijo y el otro gira alrededor del punto fijo que llamado vértice. El rayo que
permanece fijo recibe el nombre de lado inicial y el que rota el lado final. Se trabaja
con ángulos generalizados, esto quiere decir que el rayo que gira lo puede hacer
cualquier número de veces y en cualquier dirección. Si el rayo pasa más de una vez
por su posición original, suele decirse que es de más de una vuelta. Si el ángulo gira
en sentido contrario de las manecillas del reloj es positivo, y si lo hace en el mismo
sentido de las manecillas del reloj es negativo.
A
Vértice O
Lado final

B
Lado inicial
1.1.1 Medida de Ángulos
Para medir ángulos se utiliza dos unidades de medida:

Sistema sexagesimal (Grado sexagesimal: )

Sistema Radial (radianes: rad)
1
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1.1.1.1 Grado Sexagesimal ()
Grado Sexagesimal () es la amplitud resultado de dividir a la circunferencia en 360
partes iguales. Para medir un grado con mayor precisión también se utilizan los
submúltiplos tales como:
Minuto ('). Es el resultado de dividir 1 (un grado) en 60 partes iguales llamadas
minuto: 1 = 60´
Segundo (''). Es el resultado de dividir 1' (un minuto) en 60 partes iguales llamadas
segundos: 1´ = 60´´
1.1.1.2 Radián (rad)
Un Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud
de arco subtendido es igual a la longitud del radio del círculo.
1.1.2 Equivalencias
GRADOS ()
RADIANES (rad)
REVOLUCIONES (GIRO)
360
2
1 REV.
180

½ REV.
90
/2
¼ REV.
60
/3
2
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45
/4
30
/6
0
0
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas de
conversión:
Radianes a grados
Grados
sexagesimales
radianes
180 0


sexagesimales

180 0
a

1.1.3 Ejercicios resueltos
1.
De grados sexagesimales a radianes
Transformar: 60, transformar a radianes
 rad 
180

60
2.

De radianes a grados sexagesimales
Transformar: /6 rad a grados sexagesimales
180 


 rad
/6 rad
3
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1.1.4 Actividades de Aprendizaje No. 01
1.
Transformar a grados sexagesimales los siguientes ángulos:
a) 3 rad
b) 3/10 rad
c) 17/10 rad -  rad
d) 5/6 rad + /3 rad
e) 6/5 rad
2.
Transformar a radianes los siguientes ángulos:
a) 10
b) 316
c) 245
d) 235 + 315
e) 250 - 100
4
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1.2
Razones Trigonométricas
1.2.1 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
B
c
a
A
b
C
ELEMENTOS:
Catetos:
ayb
Hipotenusa:
c
c>ayc>b
Ángulos agudos: A y B
Ángulo recto: C
TEOREMA DE PITÁGORAS
2
2
2
c =a +b
1.2.2 Razones trigonométricas fundamentales
Razones trigonométricas fundamentales con respecto al ángulo A:
1.2.3 Razones trigonométricas recíprocas
5
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1.2.4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Ángulo A
Ángulo B
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son iguales a las cofunciones del
otro ángulo complementario:
sen A = cos B
csc A = sec B
cos A = sen B
sec A = csc B
tan A = cot B
cot A = tan B
Ejemplos:
a)
sen 30 o = cos 60 o
b)
tan 80 o = cot 10 o
c)
sec 40 o = csc 50 o
6
Trigonometría
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1.3
Resolución de triángulos rectángulos
Para resolver triángulos rectángulos se debe conocer por lo menos dos elementos
del mismo:
1. La hipotenusa y un ángulo
agudo
2. Un ángulo agudo y el lado
opuesto
B
B
x

A
y
x
A
C
Cateto adyacente: x = a/tan 
Hipotenusa: y = a/sen 
Cateto opuesto: x = c sen 
Cateto adyacente: y = c cos 
B
x
a

C
y el
y
y
c
3. Un ángulo agudo
cateto adyacente
A

b
C
Cateto opuesto: x = b tan 
Hipotenusa: y = b/cos 
1.3.1 Ejercicios Resueltos
1.
sen 37 = ?
Si A y B son ángulos complementarios, por definición de cofunciones: en sen A =
cos B
sen 37 = cos 53
2.
Si
, calcular
B
c
a

A
Por definición de
b
C
, de donde: a = 3 y b = 4, c = ?
7
Trigonometría
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√
Aplicando el Teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa:
y
, reemplazando en la
fórmula:
3.
Simplificar:
sen (3x – 70) = cos (2x + 60)
Por definición (3x – 70) y (2x + 60) son ángulos complementarios, entonces:
(3x – 70) + (2x + 60) = 90
5x = 100
x = 20
4.
Resolver:
tan (x – 70) cot (50 - 2x) = 1
(x – 70) = (50 - 2x)
3x = 120
x = 40
5.
Resolver el triángulo rectángulo si se conoce que: la hipotenusa c = 8 cm y  =
30
Solución:
Construimos un dibujo que se ajuste a los datos del problema:
B
a)  + B = 90
c = 8 cm
x
A
 = 30
y
B = 90 - 30
B = 60
b) sen 30 = x/8 cm
x = (8 cm) sen 30
x = 4 cm
c) cos 30 = y/8 cm
y = (8 cm) cos 30
√
C
8
Trigonometría
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6.
Calcular las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en el triángulo
rectángulo siguiente:
Solución:
a) Por el teorema de Pitágoras, calculamos el valor de
x
2
2
2
(2x + 1) = (x - 1) + (2x) = x – 6x = 0
x=6
Cateto opuesto = 5
Cateto adyacente = 12
Hipotenusa = 13
b) sen  = (x – 1)/(2x + 1) = 5/13
c) Cos  = 2x/(2x + 1) = 12/13
d) Tan  = (x – 1)/2x = 5/12
B
2x + 1
A
7.
x -1

C
2x
Un campo de golf de forma rectangular ABCD mide 500 m de largo por 300 m
de ancho, calcular la diagonal que forma desde el punto A hasta el punto C, y el
área del triángulo formado ABC.
C
300 m
A
500 m
Por el teorema de Pitágoras, calculamos el valor de x
2
2
2
̅̅̅̅
(̅̅̅̅ ) = (300) + (500)
̅̅̅̅
√
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
(
)(
)
√
B
A = 75000 m
2
9
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1.3.2 Actividades de Aprendizaje No. 02
1.
El siguiente triángulo rectángulo, calcule las
razones trigonométricas
fundamentales del ángulo .
B
c
2

A
C
3
2.
Si se conoce que
, determinar las otras razones trigonométricas.
3.
Dado el cos 135, hallar su cofunción
4.
Si tan (x – 70) = cot (20 - 2x), hallar el valor de x.
Sol. x = 30
5.
Si sen (3x – 70) csc (2x + 60) = 1, hallar el valor de x.
Sol. x = 130
6.
Resolver el triángulo rectángulo si se conoce que:  = 36,87 y la hipotenusa
c = 10 cm. Calcular además su área.
7.
Si
, calcular √
Sol. 3
10
Trigonometría
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8.
Dado el sistema:
1) sen (x + 15) = cos (y + 5), y
2) tan (50 + y) = tan x
Calcular cos x + sen y
9.
Un terreno está limitado como sigue: se parte de un ciprés que sirve como
marca inicial se recorren 402m en dirección sur luego 464m en N30o10’E y de
ahí siguiendo exactamente rumbo al Oeste hasta llegar al punto inicial. Calcular
la longitud del lado ̅̅̅̅ y el área en m2.
Sol. ̅̅̅̅
y A = 46
865 m2
A
C
402m
464m
32010’
B
10. Dado el triángulo, determinar las razones trigonométricas del ángulo :
B
√
x
A

4 cm
C
11
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1.4 Razones trigonométricas de ángulos especiales
1.4.1 Razones trigonométricas de 30 y 60
Para determinar las razones trigonométricas de ángulos notables partimos de las
definiciones de:
Triángulo equilátero: es el que tienes sus lados y ángulos iguales, donde la mediana,
mediatriz, bisectriz y altura corresponde a la misma línea. Si arbitrariamente
asignamos valor de 2 a cada lado del triángulo:
B
30 30
2
2
√
60
60
A
C
1
1
De la gráfica anterior podemos establecer las razones trigonométricas de los ángulos
de 30 y 60
Raz.
Trigon.
B
60
1
A
30
30
Cat. Op. : 1
Cat. Ady. : √
Hipotenusa: 2
60
Cat. Op. : √
Cat. Ady.: 1
Hipotenusa: 2
√
sen
C
√
cos
√
tan
√
√
Partiendo de estos valores establecemos los cot
Valores de las razones trigonométricas de
30 y 60 en la siguiente tabla:
√
√
sec
√
2
csc
2
√
Aplicando el Teorema de Pitágoras
Calculamos:
√
√
12
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1.4.2 Razones trigonométricas de 45
Si a un cuadrado ABCD (lados Iguales) le trazamos una diagonal, ésta divide al
mismo en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 45. Si
arbitrariamente asignamos valor de 1 a cada lado del cuadrado:
Aplicando el Teorema de Pitágoras
√
Calculamos la hipotenusa:
√
√
√
√

B
A
C
45
√
√
1
45
C
1
D
1.4.3 Razones trigonométricas de 37 y 53
Para establecer las razones trigonométricas de los ángulos de 37 y 53, tomamos
valores tanto para los catetos como para la hipotenusa como lo muestra la gráfica.
B
53
Funciones
Trigonométricas
3
A
37
C
37
Cat. Op. : 3
Cat. Ady. : 4
Hipotenusa:
5
53
Cat. Op. : 4
Cat. Ady.: 3
Hipotenusa:
5
sen
cos
Partiendo de estos valores establecemos los
Valores de las razones trigonométricas de
37 y 53 en la siguiente tabla:
tan
cot
sec
csc
13
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1.4.4 Resumen funciones trigonométricas de ángulos especiales
Fuente: http://www.aritor.com/trigonometria/definicion_angulo.html
1.4.5 Ángulo de elevación y ángulo de depresión
ÁNGULO DE ELVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
Objeto
Línea visual
Horizontal
Observador

Ángulo de depresión
Línea visual

Observador
Ángulo de elevación
Horizontal
Objeto
14
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1.4.6 Ejercicios resueltos
Calcular los valores de las siguientes expresiones:
√
√
1.
Sen 45 + tan 37 - cos 45 =
2.
Sen 45 cos 45 + tan 53 cos 37 =
√
3.
4.
√
√
√
√
√
√
√
Resolver el sistema:
1) sen (x + y) = ½
2)
(
)
√
Solución: por definición sen 30 = ½

√
x + y = 30

Simplificando tenemos que: x = 45 e y = 15
5.
Desde un punto situado en una línea horizontal a 452m de la base de un edificio
se encuentra que el ángulo de elevación a la parte más alta es de 32o 10’
calcular la altura del edificio.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
C
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
A
32010
’
452m
B
15
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1.4.7 Actividades de aprendizaje No. 03
Calcular los valores de las siguientes expresiones:
1.
Sen 53 + tan 30 - cos 60
2.
Sen 45 cos 45 + tan 53 cos 37
3.
Sen 30 csc 45 + sec 45 tan 2 30 cot 45
Sol.
√
Sol.
√
4.
5.
Resolver el sistema:
1) sen (x + y) =
(
2)
)
Sol. 5230´
√
√
6.
7.
Un avión parte de un aeropuerto A y viaja durante 3 horas a razón de 180Km/h
en la dirección 125 o y aterriza en el aeropuerto B después sigue un rumbo de
270 o para aterrizar en C situado exactamente al sur de A. Calcular la distancia
de B a C
Sol. ̅̅̅̅
1250
A
550
B
C
2700
16
Trigonometría
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8.
Si desde un automóvil que va a una velocidad a 20 m/s en dirección norte se
arroja a una pelota en dirección al este con una velocidad de 15 m/s.
Determinar la velocidad de la pelota y la dirección de su trayectoria.
Sol. ̅̅̅̅
0
25m/s; N36 52’E
D
B
20m/s
α
A
9.
15m/s
C
Un avión se mantiene rumbo al norte con una velocidad de 184Km/h si el viento
proviene del Este, tiene una velocidad de 27,3Km/h; determinar la dirección y la
velocidad del avión.
Sol. ̅̅̅̅ 185,7km/h;  = 351033’
C
B
α
A
10. Desde un punto al nivel del suelo, a 211 m de la base de un edificio, se observa
la parte más alta del mismo con un ángulo de 57º 20´. Calcular la altura del
edificio.
Sol. 135 m
11. Un árbol de 50 m del alto, proyecta una sombra de 60 m de largo. Calcular el
ángulo de elevación con respecto al sol en ese momento.
12. Un observador se encuentra en la parte más alta de un edificio de 100 pies de
altura. Desde ese punto observa aproximarse un auto con un ángulo de
depresión de 25º, luego de un instante vuelve a observar al auto más cerca
pero con un ángulo de presión de 40º. Calcular la distancia entre el primer y
segundo punto de observación.
Sol. 95 pies
17
Trigonometría
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1.5
Sistema de coordenadas rectangulares
Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas es el que está formado por dos
rectas perpendiculares, una horizontal y una vertical llamadas ejes de coordenadas.
Su punto de corte, llamado origen del sistema es denotado por 0. La recta horizontal
es el eje x o eje de las abscisas y la vertical es el eje y, eje de las ordenadas. La
mitad positiva del eje x se extiende hacia la derecha y la mitad positiva del eje y se
extiende hacia arriba. Los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas
cuadrantes, usualmente señalados con I, II, III y IV.
Par Ordenado P(a,b), es que está formado por dos compontes donde la primera
componente a es una abscisa, mientras que la segunda componente y es una
ordenada. Un par ordenado no tiene la propiedad conmutativa
Los signos de las componentes dependerán del cuadrante donde se encuentren los
puntos.
(-, +)
(+,+)
r
(-, -)
(+,-)
Ejemplos: Graficar los puntos A(4,3), B(-2,3), C(-3,-2), D(5,-2) y E(3,0)
18
Trigonometría
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1.5.1 Razones Trigonométricas en el círculo trigonométrico
Si  es un ángulo arbitrario en la posición normal en un sistema de coordenadas
cartesianas y P(x,y) es un punto que se encuentra a r (radio vector) unidades del
origen en el lado terminal de , entonces podemos establecer las siguientes razones
trigonométricas:
y
P(x,y)
Hipotenusa: r
Cateto opuesto: y
ELEMENTOS:
Cateto opuesto (ordenada): x
Cateto adyacente (abscisa): y
Hipotenusa (radio vector): r = √

Cateto adyacente: x
Funciones recíprocas
19
Trigonometría
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1.5.2 Signos de las Razones Trigonométricas en los Cuadrantes
Razones trigonométricas positivas
y
Sen
Csc
CUADRANTE
Todas
II
II
x
1.6
III
IV
Tan
Cot
Cos
Sec
Razones
Positivas
Razones
Negativas
I
todas
ninguna
II
sen, csc
cos, sec, tan, cot
III
tan, cot
sen, csc, cos, sec
IV
cos, sec
sen, csc, tan, cot
Identidades Trigonométricas Fundamentales
1.6.1 Recíprocas
1)
sen Ѳ * csc Ѳ = 1
2)
cos Ѳ sec Ѳ = 1
3)
tan Ѳ . cot Ѳ = 1
20
Trigonometría
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1.6.2 Tangenciales
Partiendo del cociente:
7)
8)
1.6.3 Pitagóricas
( )
( )
4)
( )
5)
√
( )
( )
( )
6)
√
√
√
√
√
21
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1.6.4 Ejercicios Propuestos
1.
Demostrar que: Tan x + cot x = sec x . csc x
Solución:
Transformamos la tan x, cot x, sec x y csc x en términos de sen x y cos x, así:
2.
Dada la expresión,
, comprobar si se cumple la igualdad
Solución:
(
)
(
)
22
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3.
Simplificar la expresión:
Solución:
4.
(
5.
√ , calcular S
Si: S
)
(√ )
–
, en este caso trabajamos con el lado
izquierdo
–
–
–
–
, pero
, entonces
–
23
Trigonometría
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1.6.5 Actividades de Aprendizaje No. 04
Simplificar las siguientes expresiones:
1.
√
Sol. Cos x
2.
√
Sol. 2Csc x
Sol. Sen α
3.
√
4.
Si: tan2 A + cot2 A = 7, calcular Tan A
Sol.
5.
Si: Sec B + Tan B = 4, calcular 17 Cos B + 15 cot B
Sol. 16
6.
Si: Sen C + Sen2 C = 1, calcular: Cos2 C + Cos4 C
Sol. 1
Demostrar que:
7.
8.
Sen4 x – Cos4 x = Sen2 x – Cos2 x
9.
(Cot x . Sen x)2 + (Tan x . Cos x)2 = 1
10.
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11.
12.
(sen x + cos x)2 + (sen x - cos x)2 = 2
13.
(1 + sen 2x)(1 – sen 2x) = cos2 2x
14.
(1 – cos2 y)(1 + cot2 y) = 1
15.
cos  (1 + tan ) = sen  + cos 
16.
(cot A + csc A)(tan A – sen A) = sec A – cos A
17.
(tan x + cot x) cot x = csc2 x
18.
sec2 y csc2 y = sec2 y + csc2 y
19.
sec x = sen x(tan x – cot x)
20.
21.
22.
–
(
)
Sen3 y cos y + cos3 y sen y = sen y cos y
23.
25
Trigonometría
Jorge Revelo Rosero
1.7 Identidades Trigonométricas de Ángulos Compuestos
1.7.1
Suma y Diferencia de dos Ángulos
SUMA
DIFERENCIA
sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos x
sen (x – y) = sen x cos y – sen y cos x
cos (x + y) = cos x cos y – sen x sen y
cos (x – y) = cos x cos y – sen x sen y
(
(
1.7.2
)
)
(
(
)
)
Identidades de Ángulos Múltiples
ANGULOS DOBLES
ANGULOS MITAD
sen 2x = 2sen x cos x
cos 2x = cos2 x – sen2 x
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Trigonometría
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1.7.3
Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos
en producto
FORMULAS DE PRODUCTO A SUMA Y
DIFERENCIA
FORMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA A
PRODUCTO
sen x cos y = ½ [sen (x + y) + sen (x – y)]
(
)
(
)
cos x sen y = ½ [sen (x + y) - sen (x – y)]
(
)
(
)
cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos (x – y)]
(
)
(
)
(
sen x sen y = ½ [cos (x + y) - cos (x – y)]
1.7.4
1.
)
(
)
Ejercicios Propuestos
Hallar el sen 15, sin usar la calculadora
Solución:
Podemos establecer que: 15 = 45 - 30, y son ángulos especiales estudiados
anteriormente, por lo tanto podemos establecer directamente sus funciones
trigonométricas, entonces:
Sen 15 = sen (45 - 30) = sen 45 cos 30 - cos 45 sen 30
√
√
√
√
√
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Trigonometría
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2.
Hallar el cos 75
Si 75 = 30 + 45, entonces:
cos 75 = cos (30 + 45) = cos 30 cos 45 - sen 30 sen 45
√
3.
√
√
√
√
Hallar la tan 16
Si 16 = 53 - 37
tan 16 = tan (53 - 37) =
4.
Expresar sen 7x – sen 5x como producto
(
5.
)
)
Demostrar que:
(
)
(
6.
(
(
)
)
(
)
(
)
Demostrar que: cos 60 + cos 30 = √
(
√
( )
)
√
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1.7.5
Actividades de aprendizaje No. 05
Hallar el valor de:
1.
cos 105
2.
sen 113
3.
sen 8
4.
cot 16
Demostrar que:
5.
sen 3x = 3 sen x – 4 sen3 x
6.
cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x
7.
(
)
8.
(
)
9.
√
√
Sen 32 + sen 28 = cos 2
10. Sen 50 - sen 10 = √ sen 20
11. Sen 40 - cos 70 = √ sen 10
12. Cos 5x + cos 9x = 2 cos 7x cos 2x
13.
14.
15. Tan (45 + A) - tan (45 - A) = 2 tan 2A
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DIBUJO TÉCNICO
1
1
Lema P., Miguel A. Dibujo Técnico para bachillerato con orientación universitaria. 2a. ed. Quito: Ed. Códice, 2001. Unidad 2
y9
30
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INTRODUCCION
Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o
dibujos. La Evolución del Dibujo Técnico en la historia es como muchos de los
cambios que ha sufrido nuestra sociedad y es, por la concepción de lo que es de ser
la expresión comunicativa quizás más dilocuente ya que siempre nos va a dar a
entender algo que por la diversidad ideológica para cada persona nunca va a ser lo
mismo. En el campo arquitectónico o generacional de lo que se denomina técnico el
dibujo tiene diversas formas de proyectar objetos reales y situaciones en las que se
envuelve el hombre para la satisfacción plena de la necesidad de espacios que este
tiene para el desenvolvimiento cotidiano de su vida.
Dibujo es el lenguaje del que proyecta, con él se hace entender universalmente, ya
con representaciones puramente geométricas destinadas a personas competentes,
ya con perspectivas para los profanos. También se puede decir en otras palabras
que es una representación gráfica de un objeto real de una idea o diseño propuesto
para construcción posterior.
En este capítulo, encontramos los procedimientos que se debe seguir para la
construcción de las diferentes trazos de rectas paralelas, perpendiculares, ángulos,
triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares, empalme de rectas, cónicas, etc.
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2.1
DEFINICIONES BÁSICAS
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Fig. 2.22
7. El mismo problema segundo procedimiento.
Fig. 2.23
Trácense las paralelas AB y CD, de acuerdo con la
Fig. 2.11 la intersección de estas paralelas forman un
ángulo de vértice E. Proceder a trazar la bisectriz a
dicho ángulo, la misma que será también bisectriz
del ángulo sin vértice.
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2.2 Actividades de Aprendizaje No. 06
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BIBLIOGRAFIA
1.
Gran Ville. Trigonometría plana y esférica
2.
Trigonometría. Col. Schaum
3.
Trigonometría. Colección Mi Academia. Perú: Ed. San Marcos
4.
http://www.virtual.unal.edu.co/unvPortal/index.do
5.
es.wikipedia.org/wiki/Función_trigonométrica
6.
http://www.aritor.com/trigonometria/definicion_angulo.html
7.
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm
8.
Lema p., Miguel A. Dibujo Técnico para bachillerato con orientación
universitaria. 2a. ed. Quito: Ed. Códice, 2001. 200 p.
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