Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
3x + 2 y + 5 z − λ = 2
2x − y − z + λ = 3
x + y + 3 z − 2λ = 4
λ es un número real cualquiera
Se trata de un sistema de ecuaciones 3x3 (tres ecuaciones con tres incógnitas) y
un parámetro,
λ , en función del cual obtendremos las soluciones x, y, z .
De la tercera ecuación despejamos la x y el valor obtenido lo sustituiremos en las 2
primeras ecuaciones, logrando así un sistema 2x2.
x + y + 3 z − 2λ = 4 → x = 4 − y − 3 z + 2λ
Sustituyendo en la primera ecuación:
3(4 − y − 3 z + 2λ ) + 2 y + 5 z − λ = 2 → 12 − 3 y − 9 z + 6λ + 2 y + 5 z − λ = 2
y agrupando: − y − 4 z = −10 − 5λ → y + 4 z = 10 + 5λ
Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:
2(4 − y − 3 z + 2λ ) − y − z + λ = 3 → 8 − 2 y − 6 z + 4λ − y − z + λ = 3
,
y
agrupamos: − 3 y − 7 z = −5 − 5λ → 3 y + 7 z = 5 + 5λ
Tenemos pues un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas:
y + 4 z = 10 + 5λ ⎫
⎬ → multiplicamos la 1ª por 3
3 y + 7 z = 5 + 5λ ⎭
3 y + 12 z = 30 + 15λ ⎫
⎬→y
3 y + 7 z = 5 + 5λ ⎭
restamos: 5 z = 25 + 10λ , con lo que z = 5 + 2λ
Sustituyo este valor en la primera ecuación del sistema anterior para calcular la y
y + 4 z = 10 + 5λ → y + 4(5 + 2λ ) = 10 + 5λ → y + 20 + 8λ = 10 + 5λ , con lo
que y = −10 − 3λ
Finalmente sustituimos los valores obtenidos en la expresión de x
x = 4 − y − 3 z + 2λ → x = 4 − (−10 − 3λ ) − 3(5 + 2λ ) + 2λ
→ x = 4 + 10 + 3λ − 15 − 6λ + 2λ
Y agrupando: x = −1 − λ
L. Roche Ramón, 2007-11-29
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Para comprobar las soluciones, sustituimos los valores obtenidos en el sistema
del principio y deberemos obtener identidades:
3x + 2 y + 5 z − λ = 2
→ 3(− 1 − λ ) + 2(− 10 − 3λ ) + 5(5 + 2λ ) − λ = −3 − 3λ − 20 − 6λ + 25 + 10λ − λ = 2
2x − y − z + λ = 3
→ 2(− 1 − λ ) − (− 10 − 3λ ) − (5 + 2λ ) + λ = −2 − 2λ + 10 + 3λ − 5 − 2λ + λ = 3
x + y + 3 z − 2λ = 4
→ (− 1 − λ ) + (− 10 − 3λ ) + 3(5 + 2λ ) − 2λ = −1 − λ − 10 − 3λ + 15 + 6λ − 2λ = 4
L. Roche Ramón, 2007-11-29
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