Solución de actividades
ACTIVIDAD 5 ÁLGEBRA
Actividad
1) (2𝑥 𝑛 + 3𝑦 𝑚 + 2𝑥 𝑛−1 ) − (𝑥 𝑛 + 2𝑦 𝑚 − 5𝑥 𝑛−1 + 3𝑦 𝑚+1 )
Solución
= 2𝑥 𝑛 + 3𝑦 𝑚 + 2𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛 − 2𝑦 𝑚 + 5𝑥 𝑛−1 − 3𝑦 𝑚+1
= −3𝑦 𝑚+1 + 3𝑦 𝑚 − 2𝑦 𝑚 + 2𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 + 2𝑥 𝑛−1 + 5𝑥 𝑛−1
= −3𝑦 𝑚+1 + 𝑦 𝑚 + 𝑥 𝑛 + 7𝑥 𝑛−1
Actividad
1) ¿Qué expresión debe restarse de 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 8 para obtener 𝑥 − 5?
Solución
(𝑥 3 − 4𝑥 2 + 8) − (𝑥 − 5) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 8 − 𝑥 + 5 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 𝑥 + 13
Por lo tanto, debe restarse 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 𝑥 + 13.
3) (𝑎𝑚 − 3)(𝑎𝑚−1 + 2)(𝑎𝑚−1 − 1)
= (𝑎𝑚+𝑚−1 + 2𝑎𝑚 − 3𝑎𝑚−1 − 6)(𝑎𝑚−1 − 1)
= (𝑎2𝑚−1 + 2𝑎𝑚 − 3𝑎𝑚−1 − 6)(𝑎𝑚−1 − 1)
= 𝑎2𝑚−1+𝑚−1 − 𝑎2𝑚−1 + 2𝑎𝑚+𝑚−1 − 2𝑎𝑚 − 3𝑎𝑚−1+𝑚−1 + 3𝑎𝑚−1 − 6𝑎𝑚−1 + 6
= 𝑎3𝑚−2 − 𝑎2𝑚−1 + 2𝑎2𝑚−1 − 2𝑎𝑚 − 3𝑎2𝑚−2 + 3𝑎𝑚−1 − 6𝑎𝑚−1 + 6
= 𝑎3𝑚−2 − 3𝑎2𝑚−2 − 𝑎2𝑚−1 + 2𝑎2𝑚−1 − 2𝑎𝑚 + 3𝑎𝑚−1 − 6𝑎𝑚−1 + 6
= 𝑎3𝑚−2 − 3𝑎2𝑚−2 + 𝑎2𝑚−1 − 2𝑎𝑚 − 3𝑎𝑚−1 + 6
5) 3𝑥(𝑥 + 5)(𝑥 + 8) = 3𝑥(𝑥 2 + 13𝑥 + 40) = 3𝑥 3 + 39𝑥 2 + 120𝑥
1
Solución de actividades
Actividades
8. (63𝑥 3 𝑦 3 𝑧 4 ) ÷ (−7𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 ) = −9𝑥 3−2 𝑦 3−3 𝑧 4−4 = −9𝑥1 𝑦 0 𝑧 0 − 9𝑥
27𝑥𝑦 −3
3
3
3
9. 18𝑥 2𝑦 5 = 2 𝑥1−2 𝑦 −3−5 = 2 𝑥 −1 𝑦 −8 = 2𝑥𝑦 8
10. 2𝑥 + {−5𝑥 − [−2𝑦(−𝑥 + 𝑦)]} = 2𝑥 + {−5𝑥 − [2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 ]}
= 2𝑥 + {−5𝑥 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 } = 2𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 = −3𝑥 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2
11.
28𝑥 3 𝑦 2 𝑧+63𝑥 5 𝑦 5 𝑧 6 −42𝑥𝑦 7 𝑧 3
7𝑥𝑦 2 𝑧
= 4𝑥 3−1 𝑦 2−2 𝑧1−1 + 9𝑥 5−1 𝑦 5−2 𝑧 6−1 − 6𝑥1−1 𝑦 7−2 𝑧 3−1
= 4𝑥 2 𝑦 0 𝑧 0 + 9𝑥 4 𝑦 3 𝑧 5 − 6𝑥 0 𝑦 5 𝑧 2 = 4𝑥 2 + 9𝑥 4 𝑦 3 𝑧 5 − 6𝑦 5 𝑧 2
1.- (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
Como 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1, tenemos (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥. Por otro lado,
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥. Así, (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 +
𝑠𝑒𝑛(2𝑥).
4.- (−3√7𝑥 + 2√𝑦)(−3√7𝑥 − 2√𝑦) = (−3√7𝑥)2 − (2√𝑦)2 = 9(7𝑥) − 4𝑦 = 63𝑥 − 4𝑦
6.- (𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 )3 = (𝑎 𝑥 )3 + 3(𝑎 𝑥 )2 (𝑏 𝑦 ) + 3(𝑎 𝑥 )(𝑏 𝑦 )2 + (𝑏 𝑦 )3 = 𝑎3𝑥 + 3𝑎2𝑥 𝑏 𝑦 + 3𝑎 𝑥 +
𝑏 2𝑦 + 𝑏 3𝑦
8.- (𝑦 + √𝑥)(2 + √𝑥) = (√𝑥)2 + (2 + 𝑦)√𝑥 + 2𝑦 = 𝑥 + (2 + 𝑦)√𝑥 + 2𝑦
1.-
6𝑥 2 −3−3𝑥
2𝑥+1
=
6𝑥 2 −3𝑥−3
2𝑥+1
= 3𝑥 − 3, pues SI LLEGAN AL RESULTADO POR MEDIO
DE FACTORIZACIÓN TAMBIEN ES CORRECTO
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2
I. −4𝑥 + 7 𝑦 = 0
1
2𝑥 − 7 𝑦 + 5 = 0
Despejando y en las ecuaciones anteriores obtenemos:
𝑦 = 14𝑥
𝑦 = 14𝑥 + 35
Las rectas que se obtienen al graficar las ecuaciones anteriores tienen la
misma pendiente, 14, pero la primera recta corta al eje y cuando 𝑦 = 0 y la
segunda recta lo corta en 𝑦 = 35, entonces las rectas no se cortan. Por lo
tanto, el sistema de ecuaciones anterior es incompatible.
II. 2𝑦 + 𝑥 = 2𝑥
𝑦 − 4𝑥 = 0
Método de sustitución.
Despejamos 𝑦 de la segunda ecuación.
𝑦 − 4𝑥 = 0
𝑦 = 4𝑥
Sustituimos el valor anterior en la primera ecuación.
2𝑦 + 𝑥 = 2𝑥
2(4𝑥) + 𝑥 = 2𝑥
8𝑥 + 𝑥 = 2𝑥
Resolvemos la nueva ecuación.
8𝑥 + 𝑥 = 2𝑥
8𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 = 0
7𝑥 = 0
𝑥=0
Sustituimos el valor encontrado en la ecuación que tiene a 𝑦 despejada.
3
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𝑦 = 4𝑥
𝑦 = 4(0)
𝑦=0
La solución del sistema de ecuaciones es 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0.
III. 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 10 (1)
2𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 1
(2)
𝑥 + 3𝑦 − 9𝑧 = −9 (3)
Método de sustitución.
Despejamos 𝑥 de la ecuación (1).
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 10
𝑥 = 10 + 2𝑦 − 3𝑧
Sustituimos el valor anterior en las ecuaciones (1) y (2).
2𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 − 9𝑧 = −9
2(10 + 2𝑦 − 3𝑧) + 𝑦 − 6𝑧 = 1
(10 + 2𝑦 − 3𝑧) + 3𝑦 − 9𝑧 = −9
20 + 4𝑦 − 6𝑧 + 𝑦 − 6𝑧 = 1
10 + 2𝑦 − 3𝑧 + 3𝑦 − 9𝑧 = −9
20 + 5𝑦 − 12𝑧 = 1
5𝑦 − 12𝑧 = −19
10 + 5𝑦 − 12𝑧 = −9
5𝑦 − 12𝑧 = −19
𝑦=−
19+12𝑧
5
Ya que se obtuvieron dos ecuaciones iguales, el sistema de ecuaciones tiene
una infinidad de soluciones, las cuales tienen la forma 𝑥 = 10 + 2𝑦 − 3𝑧, 𝑦 =
−
19+12𝑧
5
y 𝑧, con 𝑧 un número real.
IV. 𝑎 − 𝑐 = 8
(1)
𝑏 − 2𝑐 = 4
(2)
𝑎+𝑏 =3
(3)
Método de sustitución.
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Solución de actividades
Despejamos 𝑎 de la ecuación (1).
𝑎−𝑐 =8
𝑎 =8+𝑐
(4)
Sustituimos el resultado en las ecuaciones (2) y (3).
𝑏 − 2𝑐 = 4
(2)
𝑎+𝑏 =3
(8 + 𝑐) + 𝑏 = 3
𝑏+𝑐+8=3
𝑏 + 𝑐 = −5
(5)
Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (2) y (5). Usaremos el
método de igualación. Primero despejaremos 𝑏 de ambas ecuaciones.
𝑏 − 2𝑐 = 4
𝑏 + 𝑐 = −5
𝑏 = 4 + 2𝑐
𝑏 = −5 − 𝑐
Igualaremos las expresiones obtenidas y resolveremos la ecuación
resultante.
4 + 2𝑐 = −5 − 𝑐
3𝑐 = −9
2𝑐 + 𝑐 = −5 − 4
𝑐 = −3
Sustituimos el resultado en una de las ecuaciones donde 𝑏 está despejada.
𝑏 = 4 + 2𝑐
𝑏 = 4 + 2(−3)
𝑏 =4−6
𝑏 = −2
Sustituimos los valores que encontramos en la ecuación (4)
𝑎 =8+𝑐
𝑎 = 8 + (−3)
𝑎=5
La solución del sistema de ecuaciones es 𝑎 = 5, 𝑏 = −2 y 𝑐 = −3.
1. Una persona invierte en una cuenta a plazo fijo una cantidad de dinero,
obteniendo un 6% de intereses. En otro banco invierte otra cantidad
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Solución de actividades
obteniendo 4% de intereses. Si en total invirtió 10000 pesos, y los intereses
de la primera inversión superan en 200 pesos a los de la segunda, ¿cuánto
dinero invirtió en cada cuenta? Respuesta: $6000 en el primer banco y
$4000 en el segundo.
Sean 𝑥 la cantidad de dinero que invirtió en el primer banco y 𝑦 la cantidad
de dinero que invirtió en el segundo banco.
𝑥 + 𝑦 = 10000
6
4
𝑥−
𝑦 = 200
100
100
Método de igualación.
Despejamos 𝑥 de ambas ecuaciones.
6
𝑥 + 𝑦 = 10000
4
𝑥 − 100 𝑦 = 200
100
6
𝑥 = 10000 − 𝑦
100
4
𝑥 = 200 + 100 𝑦
𝑥=
𝑥=
100
6
10000
3
4
(200 + 100 𝑦)
2
+ 3𝑦
Igualamos las expresiones anteriores y resolvemos la nueva ecuación.
10000 − 𝑦 =
10000
3
2
+ 3𝑦
30000 − 3𝑦 = 10000 + 2𝑦
−3𝑦 − 2𝑦 = 10000 − 30000
−5𝑦 = −20000
𝑦 = 4000
Sustituimos el resultado en una de las ecuaciones donde 𝑥 está despejada.
𝑥 = 10000 − 𝑦
𝑥 = 10000 − 4000
𝑥 = 6000
Así que se invirtieron $6000 en el primer banco y $4000 en el segundo.
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Solución de actividades
6. En un rancho de 3 000 metros cuadrados de superficie rectangular se
utilizaron 220 metros de cerca para guardar el ganado, ¿cuáles son las
dimensiones del rancho?
Sean 𝑥 el ancho del terreno y 𝑦 su largo.
Sabemos que 𝑥𝑦 = 3000
(1)
2𝑥 + 2𝑦 = 220 (2)
De la ecuación (2) obtenemos
𝑦 = 110 − 𝑥
(3)
Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación (1) obtenemos
𝑥(110 − 𝑥) = 3000
110𝑥 − 𝑥 2 = 3000
𝑥 2 − 110𝑥 + 3000 = 0
(𝑥 − 50)(𝑥 − 60) = 0
Entonces 𝑥1 = 50 y 𝑥2 = 60
Si 𝑥 = 50, al sustituir este resultado en (3) tenemos que 𝑦 = 60.
Si 𝑥 = 60, al sustituir este resultado en (3) tenemos que 𝑦 = 50.
Por lo tanto, las dimensiones del terreno son 50 m y 60 m
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