Módulo de Operaciones Avanzadas

Módulo de Operaciones Avanzadas
Tema/Propósito: Comparar números con signo.
Los números positivos se leen (en algunas
ocasiones) anteponiendo la palabra “más”, por
ejemplo más siete
Los números naturales son:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .
Los números enteros incluyen a los naturales, al cero y a
los números negativos:
Los números negativos siempre van precedidos del signo Ejemplo: -6, -37, -145 son números negativos.
Los números positivos y negativos son llamados números
con signo y pueden ser representados en la recta
numérica de la forma siguiente:
Los números negativos se leen anteponiendo la
palabra “menos”, por ejemplo “menos cuatro”,
se escribe
.
Generalmente los núme3ros negativos se utilizan
para representar una disminución o decremento,
una deuda, una pérdida o algo semejante.
Cada número sobre la recta numérica tiene un
simétrico contrario y es aquel que se
encuentra a la misma distancia del cero que el
número inicial, pero en sentido opuesto.
El cero no es un número positivo ni negativo, marca la
división entre ellos. A la izquierda del cero se representan
los negativos y a la derecha del cero, los positivos.
Un número decimal o fraccionario
encuentran entre dos números enteros.
como
Comparando números enteros:
Si en la recta numérica hay dos puntos
suceder tres cosas:
Si se sobrepone a , entonces
Si está a la derecha de , entonces
Si está a la izquierda de , entonces
Nota: significado de los símbolos
se
Ejemplo:
es “simétrico contrario” de
; y su
valor absoluto con respecto al origen (cero), es
3.
¿Dónde utilizamos números positivos y
negativos?
Con los números y los signos + ó –, podemos
expresar números positivos y negativos:
, pueden
En Toluca estuvo hoy a 5 °C bajo cero -5 °C
La mina esta 70 m de profundidad
-70 m
El negocio tuvo perdidas por $ 7500 -$7500.°°
El barril de petroleo subio $10
+ $10.°°
Raúl se sumerge a 4 m bajo el nivel del mar:
Ejemplo: Si se enfría un pedazo de hielo a - Suma y resta de números con signo
4ºC y después de un tiempo su temperatura
Para sumar dos números con el mismo signo,
aumenta 3ºC. ¿En qué temperatura quedó el
se suman ambos números y se deja el mismo
pedazo de hielo?
signo. Ejemplo:
d
c)
a)
b
)
)
Para sumar dos números con signo diferente,
se resta el número de menor valor al de mayor
valor y se deja el signo del número de mayor
Ejercicios:
valor absoluto.
Resta de números con signo
Para restar números con signo, se cambia el
signo al sustraendo y se procede como en la
suma:
Multiplicación de números con signo
División de números con signo
Para multiplicar dos números con el
mismo signo, se multiplican ambos números
y queda con signo positivo. Ejemplos:
Al dividir dos números con el mismo signo,
se dividen ambos números y el cociente
(resultado) queda con signo positivo. Ejemplos:
Para multiplicar dos números que tienen
signo diferente, se multiplican ambos
números y queda con signo negativo.
Ejemplos:
Para dividir dos números que tienen signo
diferente, se dividen ambos números y queda
signo negativo. Ejemplos:
Ejercicios:
Plano cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical,
eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
Para localizar puntos en el plano cartesiano
1. Para y para se parte del punto
de origen: cero.
2. Para localizar la abscisa o valor de
x: se cuentan las unidades
horizontales.
Hacia la derecha si son
positivas.
Hacia La izquierda si son
negativas.
3. Para localizar el valor de y u
ordenadas, se cuentan las unidades
verticales.
Hacia arriba si son positivas.
Hacia abajo si son negativas.
Ejemplo: en el siguiente plano cartesiano
se ubican 4 puntos.
Cada punto tiene dos coordenadas,
La 1a corresponde al eje X
La 2a al eje Y.
El punto A, tiene las coordenadas (-5, -3).
Para el eje “X” -5 (horizontal e izquierda)
Para el eje “Y” -3 (vertical, hacia abajo)
El punto B, tiene las coordenadas (0, 3)
Buscamos horizontalmente a “x” con “0”
Y verticalmente ubicamos a “y” con “3”
La misma función en los incisos C y D
Ejercicio: Localiza las coordenadas de los
puntos A, B, C y D del plano cartesiano:
Cuadrante I
A) (
,
)
cuadrante III
C) (
E) (
,
,
)
Cuadrante II
B) ( , )
Cuadrante IV
D) (
,
)
) Cuadrante I y IV
Potencias
Cuando los factores de una multiplicación Las multiplicación se puede representar con un
son iguales, se puede escribir como punto: ● o usando paréntesis: ejemplo:
potencia.
En una potencia, la base es el número
(factor) que multiplicamos por sí mismo y
el exponente es el número que indica
cuantas veces multiplicamos la base.
Una de las ventajas es que en álgebra el signo
no se confunde con la letra .
Observar que cada vez que se
disminuye un exponente en una
unidad la potencia se divide entre 5.
De acuerdo con esto, al pasar del
exponente 1 al 0 hay que dividir
En álgebra también se usan literales (letras) para
representar cantidades. Ejemplos:
También el exponente se puede representar con una
letra:
Lo cual indica que el factor esta elevado n veces:
Cuando la base es negativa se procede de la misma
forma:
Signo de una potencia:
1.- Las potencias de exponente par son siempre
positivas:
Ejemplo:
26 = 64
(−2)6 = 64
2.- Las potencias de exponente impar tienen el mismo
signo de la base:
Ejemplo:
23 = 8
(−2)3 = −8
Jerarquía de operaciones
Revisa esta operación y el orden de resolución:
1° multiplicación
=25
2°
1° suma:
2° multiplicación
¿Qué operación debemos realizar primero? Para evitar esos resultados diferentes y confusiones, se
establece el siguiente orden para realizar las operaciones:
1° Potencia y raíces
2° Operaciones dentro de paréntesis (si las hay)
3° Multiplicaciones y divisiones
4° Sumas y restas
Notación científica.
La notación científica es una herramienta que permite manipular con facilidad números de tamaño
extremo, es decir, las que sean muy grandes como el volumen del sol, o las demasiado pequeñas
como el diámetro de una célula, que son normales en trabajos científicos o de ingeniería.
Es más fácil escribir y leer:
1.3 × 10-9
que 0.0000000013
Para saber la potencia de 10, hay que pensar en “¿Cuántas veces muevo el punto decimal?
Si el número es 10 o más, hay que mover el punto decimal a la izquierda, y la
potencia será positiva.
Si el número es menor que 1, el punto decimal se mueve a la derecha, y la potencia
de 10 será negativa.
Para escribir un número pequeño en notación
científica, se escribe:
1.
2.
3.
4.
La 1ª cifra significativa (diferente de cero).
El punto
Cifra significativa (diferentes de cero)
Se indica la multiplicación:
5. Exponente: N° de espacios que se recorre
el punto.
Ejemplo. Una aguja pesa:
Ejercicios: Escriba en notación científica o decimal, las medidas que faltan en la tabla:
Concepto
Número escrito en
notación decimal
Masa de la tierra
5 983 000 000 000 000 000 000 kg
Diámetro del sol
1 391 000 km
Masa de mercurio
Número escrito en
notación científica
Equivalencia de fracciones
Las fracciones que representan la misma medición Una fracción se puede simplificar:
pero con fracciones diferentes se llaman dividiendo numerador y denominador por el
mismo número
equivalencias.
multiplicar
numerador
Ejemplo: 3 pasteles divididos en rebanadas de Amplificar:
denominador por el mismo número.
diferente tamaño:
Ejemplo: Sergio compró
de pizza,
él se comió
y su hermano del
total de la pizza.
¿Qué cantidad de la pizza les sobra?
Equivalencia
Consumo
Resultado
Ejercicio: Don Pedro tiene un terreno que hereda a
sus 6 hijos en partes iguales. Su hijo Juan piensa
construir su casa en la mitad del terreno que herede.
¿En qué fracción del terreno completo construirá
Juan, su casa?
Nota: El símbolo “ ” significa “por lo tanto”, dando respuesta a la pregunta correspondiente
y
Conversión de una fracción a número decimal
Para convertir una
fracción a número
decimal, sólo hay que
dividir el numerador
entre el denominador.
Ejemplo:
convertir a decimal:
Ejercicio: Susana compró 11 bolsas
de naranjas de
kilo c/u.
¿Cuántos kilos de naranja compró?
Equivalente fraccionario de un número decimal
Para convertir un número
decimal a una fracción: La
cantidad de cifras que se
escriben a la derecha del
punto decimal determinan
el número de ceros que
forman el denominador
decimal de la fracción
Ejemplos:
Ejercicio: Karina tiene 0.750 kilogramos (kg)
de una esencia que comercializa, ella quiere
convertirla a número fraccionario.
¿Qué fracción de kg tiene Karina?
Interpretación numérica de porcentajes
Porcentaje (%): es la proporción en la que la unidad o cantidad se divide entre 100
% de una unidad
Es otra forma de representar
una parte de una unidad. En el
tanto por ciento la unidad (uno),
se ha dividido en 100 partes
iguales, por lo tanto hablar de
tanto por ciento, es hablar de
una fracción cuyo denominador
es 100.
El tanto por ciento se representa en 3 formas:
% de una cantidad
1) La cantidad se divide en 100 partes
iguales para obtener el 1% de la
cantidad.
2) El resultado e multiplica por el %
deseado
Ejemplo: Daniel tiene 16 caballos, le ofrecen la
compra del 75 %.
¿Cuántos caballos vendería?
Si dividimos
= 1% de 16
Multiplicamos
12 caballos son el 75% de los 16 que tiene
Daniel
Ejercicio: en la juguetería que atiende Marcos de lunes a viernes, recibe en
inventario 12 pelotas, el día martes vende el 25% y el jueves vende el 50%
de la cantidad que recibió. ¿Cuántas pelotas le quedan en existencia?
a) 3
b)
4
c)
5
d)
6
Regla de tres
Regla de tres: La regla de tres es un método que
permite establecer una proporcionalidad entre cuatro
datos, cuando se conocen tres de ellos.
Ejercicio: En la tienda hay Promoción del 15% de
descuento en celulares. Rubén acude a comprar un
celular que tiene un precio de aparador de $ 400.°°.
¿A que equivale ese descuento? R. ___$60____
¿Cuánto le costara el celular? R.
Ejercicio: Sandra tiene la
necesidad de solicitar un
préstamo de $3000.°°, el banco
le presta el capital con un rédito
mensual del 8%.
La operación que hace para saber el
rédito mensual a pagar es:
¿Cuánto pagará de
rédito al mes?
a) 266
b) 240
c) 80
d) 375
Interpretación de datos en tablas
Una tabla se utiliza para organizar información, es una manera de presentar datos y ubicarlos de
manera precisa. Una tabla está formada por un título, columnas y filas; las columnas son verticales y
las filas horizontales; el título normalmente va en la parte superior de la tabla.
Ejemplo: Juanita es la responsable de las ventas de una florería el fin de semana y para organizar
la existencia de flores, elabora la siguiente tabla con el “Título”: Inventario de plantas.
Las columnas están encabezadas
por las palabras: Flor, Sábado,
Domingo y Venta.
Las filas inician con los nombres de
las flores, por lo que la palabra
Dalia se encuentra en la primera
columna y en la tercera fila.
La existencia final de 28 margaritas
se señala en la cuarta columna y
cuarta fila.
Inventario de plantas (fin de semana)
Flor
Recibí
Sábado
Domingo
Venta
Rosa
250
110
32
218
Dalia
340
171
52
288
Margarita
150
126
28
22
Clavel
180
145
70
110
TOTAL DE VENTA $ 638
Con base en esta tabla podemos contestar preguntas sobre la existencia de las diferentes flores en
sábado y domingo, además del corte de caja, toda vez que conocemos la venta del fin de semana.
Así, podemos contestar a preguntas como:
¿Cuántos claveles se vendieron el fin de semana?____110_____
¿Cuántas Dalias recibió Juanita?_____340___
Con el costo de cada flor, la tabla nos ayuda a obtener el corte de caja en la columna de Venta.
Ejercicio: Saúl revisa la existencia de muebles de
la tienda que es de su propiedad, el contabiliza 1
sala, 2 cómodas, 3 revisteros y 1 comedor. Él
decide surtir su mueblería y compra, 3 comedores,
2 salas, 1 cómoda, 7 revisteros y 1 recamara.
Llenar la tabla con los títulos en columnas y filas.
¿Cuál es el inventario final después de la compra?
Mueble
Existencia Compra
Inventario
Comedor
1
3
4
Sala
1
2
3
Cómoda
2
2
4
Revistero
3
7
10
Recámara
0
1
1
Solución de problemas con ayuda de información presentada en tablas
Con esta estrategia puedes llevar números, datos y combinaciones en una forma organizada. En
estas tablas puedes colocar números, palabras, símbolos y cualquier otro tipo de información
Ejemplo: En la clase del profesor Torres se
estudian los números pares e impares y la
división. El profesor plantea el siguiente problema:
Número
Dos
dígitos
impares
Dígitos
diferentes
Divisible
entre 7
“El número misterioso tiene 4 dígitos y está entre
4230 y 4240. Por lo menos dos de sus dígitos son
impares y todos son diferentes, además de que la
cifra es divisible entre 7”.
4231
Si
si
no
4232
No
no
no
4233
Si
no
no
4234
No
no
no
¿Cuál es el número misterioso?
4235
Si
si
si
4236
No
si
no
4237
Si
si
no
4238
No
si
no
4239
Si
si
no
4240
No
no
no
► El número misterioso es 4235.
► Tiene dos dígitos impares: 3 y 5.
► Todos los dígitos son diferentes 4, 2, 3, 5.
► Es divisible entre 7. (al dividir entre 7: 605)
La tabla nos ayuda a visualizar que el N° 4235
cumple con un “si” en las tres columnas o
condicionantes.
Ejercicio: Juan empieza a trabajar en una tienda y le designan revisar el inventario de 300 piezas en
una mueblería. Como desconoce el proceso y sólo tendrá media hora diaria para esa actividad, su
jefe sabe por experiencia que Juan aumentará cada día el # de muebles inventariados.
Problema: Hay 300 muebles que inventariar, y Juan
los revisará diariamente a razón de 10 el 1 er día, 15
el 2° día, 20 el 3er día, etc. Quiere decir que hay un
patrón de 5 muebles más inventariados por cada día
que pasa.
Ejercicio: elaborar la tabla que permita saber en
cuantos días concluye Juan con dicha actividad,
(integrar ccolumnas para días, para muebles
inventariados y para el total de muebles)
Día
Muebles
inventariados
Total de
muebles
inventariados
1
10
10
2
15
25
3
20
45
4
25
70
5
30
100
6
35
135
7
40
175
8
45
220
9
50
270
10
30
300
Interpretación de pictogramas para comparar cantidades
Pictograma: es un gráfico con dibujos alusivos a un tema ubicados en un eje cartesiano, se utiliza
para hacer más amigable y entendibles los informes estadísticos.
Los datos se recopilan a través de una encuesta o investigación.
Los dibujos alusivos se colocan en la gráfica de forma proporcional a la frecuencia o cantidad que
representan.
Estados de México con mayor producción forestal
Sin
Camp
el año 2000.
Oax
república mexicana en
Q.
Roo
algunos estados de la
Yuc
árboles existentes en
Ver
sobre los millones de
Chiap
pictograma tiene datos
Millones de árboles
Ejemplo: el siguiente
Con este pictograma se puede redactar información como:
En el año 2000 Campeche tenía la mayor área forestada con 7 millones de árboles, seguida por
Chiapas con 5 millones y medio de árboles en su territorio, etc.
Ejercicio: la demanda de un
tipo de vehículo en algunos
países de Sudamérica se
muestra en el siguiente
pictograma.
Llenar la siguiente tabla con los datos del pictograma
correspondiente.
Demanda
anual
de
vehículo
en
países
Sudamérica
Valor del pictograma
Colombia
20000
Venezuela
40000
Argentina
120000
Chile
150000
Brasil
160000
un
de
Países
Pictograma: “Demanda anual de un vehículo en países de Sudamérica”
Demanda
Análisis: el caso de Chile la demanda equivale a
(140,000+10000)
Sucesión numérica
Una sucesión es un conjunto de números donde uno es designado como el 1°; otro como el 2° y así
sucesivamente. Cada número de la sucesión es un término.
Las sucesiones pueden ser crecientes, cuando van en aumento: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, . . .
Son decrecientes cuando van disminuyendo: 50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, . .
Cada sucesión se nombran con
una letra y un subíndice (n) cuyo
valor depende del lugar que el
término ocupa en la sucesión (ese
valor empieza siempre en 1, y sigue
2, 3 ,4 ,5, 6, 7, etc.:
El término general de una sucesión
es una expresión (fórmula o patrón
o regla) que permite conocer el valor
de cualquiera de los términos en
función del lugar que ocupa.
El coche de Jorge recorre 5 km por cada litro de gasolina.
Jorge compra 12 litros de gasolina.
¿Cuántos kilómetros recorrerá el coche?
El recorrido en km, lo podemos plantear en una tabla:
Término general
litros
5n
(gasolina) n
Recuerda que en esta expresión
algebraica 5 multiplica a n
1
2
3
4
...
11
12
5
10
15
20
..
55
60
kilómetros
.
Sucesión de figuras
En un grupo de figuras como la siguiente puede
haber una sucesión. ¿Podrías determinar
cuantos puntos integra la figura N° 6?
Figura
1
2
3
4
5
6
N°
puntos
4
8
12
16
20
?
2° Notar cuantos puntos hay de diferencia en
cada figura:
a) Cada figura aumenta 4 puntos a la
anterior (múltiplos del 4).
b) El lado de cada figura aumenta un
punto de cada lado
Para encontrar el término general:
1° Tomamos nota del # de puntos que tiene 3° La figura 6 tendría 24 puntos, porque
6x4=24.
cada figura, los anotamos en una tabla:
Sucesión numérica
Procesos para la sucesión 7, 13, 19, 25, . .
Término general representado con literales:
an+b
n
1
2
3
4
5
...
9
Sucesión
3
5
7
9
11
…
?
Para encontrar el término general:
1º La sucesión aumenta de 2 en 2. Por lo
tanto, a = 2 Sustituimos en la fórmula 2n+b
2º El primer término de la sucesión es 3
Para n =1
2(1) + b = 2 + b =3
El único valor de b que hace que el primer
término sea 3 es 1, así que, b = 1
Para n=12(1)+1=3
Para n=22(2)+1=5
Para n=32(3)+1=7
Para n=92( ? ) + 1 =__________ . .
Ejercicios:
¿Cuál sería el resultado de la sucesión en
n=9?
___________________________________-
¿Cuál sería el resultado de la sucesión en
n=101?
Lenguaje algebraico
Literal: una literal puede representar una incógnita, un número o una variable de una función.
Expresiones algebraicas
Ejemplos
Ejercicios
Un número más 15
Un número divido entre otro
Un número menos 20
La multiplicación de 2 números
El doble de un número
La multiplicación de 2 números más 5
El triple de un número
5 menos un número
La suma de 2 números
2000 menos un número
El doble de un número más 12
6 más un número
El triple de un número menos 4
Un número más la mitad del mismo
La mitad de un número
Un número al cuadrado
La mitad de un número menos 7
Un número al cubo
Gráfica de una ecuación de primer grado
Cuando hay una cantidad que cambia de
valor cuando cambia el valor de otra, se dice
que una depende de la otra:
Cuando una ecuación tiene dos literales
que representan números desconocidos,
dichas literales son “Variables”.
Ejemplo
La “x” puede tomar muchos valores, como:
Si “x” vale 1, “y” vale 3,
S i “x” vale 2, “y” vale 6.
El valor de “y” en la ecuación depende del
valor de “x”, por lo que:
“x” es la variable independiente
“y” es la variable dependiente
Para resolver una ecuación con dos
variables
1° Asignar
independiente
valores
a
la
variable
2° Calcular los valores de la variable
dependiente
Ejemplo: la cantidad de kilómetros que recorre un
automóvil depende de la cantidad de gasolina
Litros (l)
1
2
3
4
5
6
Km (d)
6
12
18
24
30
36
Entonces se dice que la variable independiente es
“ ” y la dependiente es “d”.
Los números que no cambian
constantes, en este caso, es el 6
Gráfica de la ecuación
se
llaman
Tema: gráfica de una ecuación de primer grado
Ejemplo: Los taxis cobran $4.°° por cada
kilómetro recorrido más $9.°° por servicio.
¿Cuánto cobran por un viaje?
Nos podemos auxiliar de una tabla.
X
Y
1
13
2
17
3
21
4
25
5
29
6
33
7
37
8
41
La ecuación que representa esta relación de las
variables es:
(independiente)
(dependiente)
Podemos graficar los datos de la tabla
Ejercicio: Olivia va a rentar un coche. En la arrendadora “Suárez” en la que cobran $180.°° más $5
por kilómetro recorrido. En la “Comodidad” cobran $50.°° por kilómetro recorrido.
Considerando qué:
¿Cuál es la ecuación que representa el precio de “Suárez”?
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la ecuación que representa el precio de “Comodidad”?
a)
b)
c)
d)
Completar los datos de la siguiente tabla
Elaborar la gráfica respectiva
Km
“Suárez” “Comodidad”
recorrido
10
630
500
20
1080
1000
30
1530
1500
40
1980
2000
50
2880
2500
Medidas lineales, cuadradas y cúbicas
Metro lineal
Metro cuadrado
Metro cúbico
Cálculo del área de superficies
Para medir el área de cuadrados y
rectángulos, generalmente se utilizan
unidades cuadradas. El metro cuadrado es
una de las unidades que más se utilizan
para medir superficies.
Ejercicio: ¿Cuál es el área del campo?
El área es una medida agraria, equivale al área
de un cuadrado de 10m X 10m, es decir 100
metros cuadrados (100m2).
La hectárea equivale a 100 áreas, es decir
10000 metros cuadrados (10000m2), su símbolo
es ha.
La centiárea es la centésima parte de un área.
Perímetro:
se
refiere
al
contorno de la figura y se
determina
en
medidas
lineales como el cm, m o km.
Área: es la superficie interior
de la figura (lo coloreado), lo
que se desea cubrir con
algo, por ejemplo pintura en
la pared.
Notas: Cuando dos literales (letras) se encuentran unidas como en la fórmula para obtener el área del rectángulo “
significa que se multiplica:
.
Cuando un número o una literal elevada al cuadrado como la fórmula para obtener el área del cuadrado”
que esa letra se multiplica por sí misma 2 veces:
. Otro ejemplo:
”
”, significa
Área de un círculo:
Para conocer la circunferencia o perímetro del círculo:
Ejemplos:
Para conocer el área de un rectángulo que tiene 6.8 cm de base y 4.9 cm de altura:
Si un círculo tiene 8 m de radio, su área será:
Ejercicios:
Figura
Fórmula
Datos
Despeje
Área
¿Cuál es el área?
¿Cuál es el área?
¿Cuál es el área?
Clases de cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos ocupan un volumen en el espacio, por lo tanto, tienen tres dimensiones:
alto, ancho y largo, y están formados por figuras geométricas.
Los cuerpos geométricos están formados por caras, aristas y vértices. Algunas de sus caras son
laterales y otras son basales o bases.
Las aristas son líneas en las que se unen dos caras del cuerpo geométrico.
Los vértices son los puntos donde se unen 3 o más caras de un cuerpo geométrico.
Una diagonal es la recta que une dos vértices no consecutivos de una figura cerrada de 4 o más
lados.
Características de un cuadrado
Características de un triángulo
Los cuerpos geométricos se pueden clasificar de varias formas, una de ellas es por la estructura de
sus partes. Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos con volumen:
Los poliedros: o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos con volumen, compuestos
exclusivamente por figuras planas, por ejemplo el cubo
Los cuerpos geométricos redondos: que son cuerpos geométricos compuestos total o
parcialmente por figuras geométricas curvas, por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
Poliedros regulares:
Poliedros irregulares
Volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo, objeto o material, se mide generalmente
en unidades cúbicas, lo cual significa que para medir el volumen se cuenta la cantidad de cubos que
ocupan el mismo espacio que el objeto o material que se mide.
Las unidades cúbicas más comunes son el metro cúbico (
) y el centímetro cúbico (
obtener el volumen revisa las fórmulas que se encuentran en cada figura volumétrica.
). Para
Para calcular el volumen de un prisma es, multiplicando la superficie de la base por la altura;
entonces multiplicamos:
Ejemplo: una tablilla de chocolate tiene las siguientes medidas. ¿Cuál es su volumen?
2 cm
Fórmula:
3.5 cm
12 cm
FÓRMULAS
Ejercicio
SUSTITUCIÓN
DATOS
RESULTADO
Área de figuras compuestas
4m
Un carpintero requiere conocer el área de un par de puertas, para saber la cantidad de material
que empleara en su elaboración. Ya tiene el área de la primera puerta.
¿Cuál es el área de la segunda puerta?
1° área del semicírculo:
1° Calcular el área
rectangular
4.5 m
4m
2.5 m
3m
2° Calcular el área de la
parte triangular:
2° área del rectángulo
2.2 m
3° Suma de las dos áreas
3° Sumar las dos áreas:
Probabilidad
La probabilidad de que un evento ocurra puede expresarse como la fracción. La probabilidad es una
rama de las matemáticas que estudia los fenómenos del azar.
A la probabilidad de que ocurra un evento o hecho se le asocia un número que va del cero al 1.
Cuando es seguro que ocurra un evento o suceso se le asocia el número 1, cuando es seguro que
no ocurra un evento o suceso se le asocia el número cero (0).Cuando se toman decisiones se
analizan todas las posibilidades que tienes; como al vestirse, se elige la ropa en función de la
probabilidad de lluvia. El número asociado a la probabilidad es cero, uno o un número fraccionario o
decimal, pudiendo expresarse en porcentaje.
Club sociocultural
Elija el deporte que más le gusta y una
actividad recreativa por $250.°° al mes
Ejemplo: Rosa y Leticia quieren tomar un
curso de verano en donde les ofrecen
distintas opciones
para practicar un
deporte y una actividad recreativa.
Deportes: Tenis, fútbol, voleibol, basquetbol,
natación
Actividad recreativa: Baile de salón, ajedrez,
dominó
Para saber cuántas opciones tenían organizaron la información en una tabla:
Actividades
Deporte
Tenis
Fútbol
Voleibol
Basquetbol
Natación
Baile de salón
X
X
X
X
X
Ajedrez
X
X
X
X
X
Dominó
X
X
X
X
X
1. ( )
Con ella pudieron ver todas las opciones, por ejemplo, puede ser tenis y baile de salón, tenis
y ajedrez, o tenis y dominó. En total se pueden contar con un total de 15 opciones diferentes.
Expresiones y ecuaciones algebraicas (utilidad de literales en álgebra)
En algebra se usan letras para representar cantidades y se
llaman literales como es:
Su empleo es parecido al de los números en la aritmética.
En el siguiente ejemplo Cada segmento pequeño mide , la
medida del segmento AB es:
Multiplicación de número y literal:
Son expresiones algebraicas:
Coeficiente: número que multiplica una literal,
Nota: recordar que el exponente determina cuantas veces se debe
multiplicar la literal o coeficiente por sí mismo: ejem.
En álgebra se usan letras para representar
cantidades y se llaman literales como es:
Su empleo es parecido al de los números en la
aritmética. En el siguiente
ejemplo Cada
segmento pequeño mide
, la medida del
segmento AB es:
Si el coeficiente
escribe.
Ejemplo:
y exponente es 1, no se
No toda expresión algebraica es una ecuación.
La igualdad se cumple sólo para algunos
valores de las incógnitas llamados soluciones.
Multiplicación de número y literal:
Son expresiones algebraicas:
Coeficiente: número que multiplica una literal,
Una Identidad
Nota: recuerda que el exponente determina cuantas
veces se debe multiplicar la literal o coeficiente por sí
mismo: ejem.
En una identidad no tiene
sentido calcular el valor de
la incógnita, ya que una
identidad se cumple para
cualquier valor.
Monomios, binomios, polinomios y su reducción
A los sumandos se les llama términos,
4 términos
Una expresión algebraica compuesta por un
solo término se llama monomio.
Ejemplos:
3 ,
5
,
-x
Una expresión algebraica compuesta por dos
términos se denomina binomio.
Ejemplos:
,
Un polinomio puede reducirse al sumar o
restar los términos semejantes que lo forman:
Ejemplos:
Signo en el paréntesis
Si el signo antes del paréntesis es positivo, se
quita el paréntesis sin cambiar signo de
sumandos que están dentro del paréntesis.
Ejemplo:
Polinomios: son expresiones algebraicas que
se componen de dos o más monomios.
Simplificación de términos semejantes:
Cuando dos términos tienen las mismas
literales y exponentes, se dice que son
semejantes:
Simplificando:
Si el signo que le antecede es negativo, se
cambia el signo a los sumandos del polinomio
encerrado dentro del paréntesis y se quita el
paréntesis.
Ejemplo:
Simplificando:
Suma, resta y multiplicación de monomios y polinomios
Eliminación de paréntesis
Multiplicación:
Cuando hay varios paréntesis se eliminan paso Se multiplican los coeficientes de ambos y
a paso, iniciando con los interiores. Ejemplo:
después las literales
Ejemplo:
Cambio signo y sumo
+
Simplificando:
Suma de polinomios
Se localizan los términos semejantes, se Multiplicación:
acomodan y se realiza la suma de coeficientes
+
Para multiplicar un polinomio por un monomio. Se
multiplica el monomio por cada término del
polinomio.
+
11. ( ) Ejercicio:
Nota: es más fácil si se acomodan en filas los Ejemplos:
términos semejantes:
+
Ejercicio
+
+
Resta de polinomios
Para restar polinomios, se cambia el signo a todos los
términos que forman el sustraendo y después se
suma:
Cambio signo y sumo
-
+
+
+
Ejercicio:
Multiplicación:
Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se
multiplica cada término de un polinomio por cada
término de otro polinomio y se suman para
simplificar.
Ejemplo:
Cambio signo y sumo
+
Ejercicio:
12a
Ecuaciones de primer y segundo grado
Regla de operatividad para dejar a “x” sola en el primer miembro de una ecuación:
Para pasar un término del otro lado del signo igual (=), si está sumando pasa restando, si está
restando pasa sumando, si está dividiendo pasa multiplicando y si está multiplicando pasa dividiendo
Suma
Resta
Multiplica
Divide
=
Restando
Sumando
Dividiendo
Multiplicando
Grado de una ecuación: exponente de la incógnita.
Ecuaciones de 1er grado
Ecuaciones de 2° grado:
Incógnitas elevadas al cuadrado:
Incógnitas con exponente 1
Para la búsqueda de incógnitas es importante:
1° Leer con detenimiento el problema
2° Analizar los datos y su relación;
3° Buscar qué nos preguntan y elegir una letra que represente a esa pregunta o incógnita (emplear
tantas incógnitas como cosas nos pregunten);
4° Plantear la ecuación que represente el problema.
Ecuaciones de primer grado
En las siguientes ecuaciones
miembro.
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: Beto pagó $190.°° por unos tenis
que
costaban
$240.°°
¿Cuánto
le
descontaron?
y el objetivo es dejar sola a “x” como un
Ejercicio: Celeste compra abarrotes en la tienda
por $122.°°, paga con un billete de $200.°° y la
cajera le pide $22.°° más. ¿Cuánto es de cambio?
¿Cuál es la ecuación a desarrollar?
a)
b)
c)
d)
¿Cuánto dinero le deben dar de cambio?
a) 100
b) 72
c) 22
d) 122
Le descontaron $50.°°
Ecuaciones de la forma:
Ejercicio: Liliana tiene 7 años, quiere saber en
cuántos años emitirá su voto.
¿Qué ecuación expone el problema?
Ejemplo: Juanita tiene 39 años y su hija de
11 años le pregunta ¿Cuántos años tenías
cuando nací?
a)
c)
b)
d)
¿Cuántos años le faltan para votar?
(-1)
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: La revista del consumidor calcula que
una familia de 4 integrantes malgasta 436 litros
de agua.
a)
b)
c)
d)
Ejercicio:
Una hoja de triplay es cuatro veces más larga
que ancha y tiene un perímetro de 12.8 m.
¿Cuáles son sus medidas?
¿Cuántos litros malgasta en promedio cada
integrante de la familia?
a) 3.2 m
b) 2.13 m
c) 1.6 m
Ejercicio: Sandra tiene experiencia en su trabajo, ¿Cuánto gana Sandra?
su sobrina gana $72.°° al día, la tercera parte de c) 185
d) 220
c) 216
lo que gana Sandra.
d) 1.28 m
d) 238
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: Sergio recibió de salario $9800.°° por
cuatro
semanas
de
trabajo
y
una
compensación de $400°°, ¿Cuánto gana
semanalmente?
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: se colocan 3 focos, juntos consumen
280 watts de energía, el 1er foco es de 70 watts,
los otros dos focos consumen la misma cantidad
de energía. ¿Cuántos watts consumen el 2° y
3er foco?
Ejercicio: El hermano mayor de una familia
tiene 4 años más que el 2° hermano, si entre
los dos tienen la edad del padre de 38 años.
¿Qué edad tiene el hermano menor?
a) 23
b) 17
c) 25
d) 19
Ejercicio: fórmula para convertir grados
Fahrenheit a centígrados es:
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: La tercera parte de la caja de
chocolates más 5 son 17 chocolates. ¿Cuántos
chocolates tiene la caja?
Sistema de ecuaciones
Método de sustitución
Convertir 85°F a °C
.
Un sistema de ecuaciones de primer grado (o lineales), implica la relación de valores de las
incógnitas de ambas ecuaciones.
Para resolver un sistemas de 2 ecuaciones con
dos incógnitas de primer grado:
1° Despejar una variable y encontrando su valor
(1)
(2)
Despejo
en la ecuación (1)
en términos de la otra
2° Sustituir dicho valor en la ecuación (2) y se
Sustituyo el valor de
en la ecuación (2)
Sustituyo el valor de
en la ecuación (1)
obtiene una ecuación con una incógnita
3° Conocido el valor de
lo sustituyo en la
ecuación (1)
4° Compruebo en las ecuaciones
(1)
Ejemplo: Don miguel es ganadero; vendió 1 becerro y 1
(1)
borrego en $1650.°° a un comprador. Al mismo precio por
(2)
cabeza, vendió a otro comprador 3 becerros y 5 borregos Despejo :
por los que recibió $6050.°°.
Sustituyo
¿En cuánto vendió cada becerro y borrego?
y
Comprobando
(1)
(2)
=6050
Cada becerro lo vendió en $1100.°°
Cada borrego lo vendió en $550.°°
Sustituyo
(1)
(2)
Ejercicio: La entrada al circo cuesta $28.°° para niño y
$55.°° para adulto y hoy recaudaron $8615.°° por 245
boletos vendidos.
¿Cuántos boletos para adulto y cuántos para niño
vendieron?
(1)
(2)
Despejo
Sustituyo
(1)
(2)
y
Se vendieron 180 boletos para niño
Se vendieron 65 boletos para adulto
Comprobando
Sustituyo valor de y en (1)
Sistema de ecuaciones
Método de suma o resta
Para resolver un sistemas de 2 ecuaciones con
(1)
dos incógnitas de primer grado:
(2)
1° Hay que sumar o restar los términos Sumo o resto términos de las ecuaciones
semejantes de ambas ecuaciones, de tal
(1)
+/forma que se elimine una incógnita
(2)
2° Resolver la ecuación obtenida
con una sola incógnita
3° Conocido el valor de lo sustituyo en la
cualquiera de las ecuaciones.
Es este caso (1)
4° Compruebo sustituyendo valores de
(1)
y
Sustituyo el valor de
(2)
en la ecuación (1)
Ejemplo: Don miguel vende pollitas de postura de dos
(1)
variedades: rojas y avadas, con distinto precio cada una.
(2)
Su hijo nota que en una venta un señor le compra 8 Sumo o resto
pollas avadas y 6 rojas y le pagan $174.°°.
Minutos más tarde el mismo cliente quiere regresar las 6 Resuelvo nueva ecuación:
pollitas rojas y comprar 10 pollas avadas, a lo cual
accede Don Miguel y le cobra sólo $42°° descontando el
costo de las pollitas rojas. Su hijo que le ayuda ve esas
compras y quiere saber el precio de cada variedad de
pollitas.
Sustituyo el valor de
en la ecuación (1)
¿Cuál es el costo de venta de cada variedad de pollitas?
y
Comprobando
La pollita avada se vende en $12.°°
La pollita roja se vende en $13.°°
Ejercicio: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
Los valores de “ ” y “ ” son:
a)
b)
24
12
c)
d)
25
20
Sistema de ecuaciones
Método de suma o resta (con multiplicación de una ecuación)
En caso de que ninguna incógnita tenga igual el valor
absoluto de sus coeficientes puede multiplicarse alguna de
las ecuaciones por el número que sea necesario para que
los 2 coeficientes de alguna de las incógnitas tengan el
mismo valor absoluto.
1°
(1)
(2)
Se puede multiplicar la Multiplico por 2 la ecuación (2).
ecuación (2) por 2 y obtener
(2)
lo siguiente:
2° Resolver por suma o resta el
nuevo sistema de ecuaciones
(2)
(1)
(2)
16
3° Resuelvo la ecuación
resultante de suma y resta
4° Sustituyo el valor de x en
cualquiera de las ecuaciones
5° Compruebo
sustituyendo valores de
y
(1)
(1)
Sistema de ecuaciones
Hay sistemas que pueden tener muchas
soluciones, debido a que si se grafican las
ecuaciones del sistema, todos los puntos
de una línea pertenecen a la otra. Hay
sistemas que no tienen solución y las
líneas que corresponden a las ecuaciones
son paralelas, por lo tanto no se cruza.
Para resolver un sistema de 2 ecuaciones
de primer grado con 2 incógnitas
mediante el método de graficación, hay
que graficar las dos ecuaciones y localizar
las coordenadas del punto donde se
cruzan.
(2)
Método gráfico)
x
y
x
y
1
2
3
4
5
6
10.5
9
7.5
6
4.5
3
1
2
3
4
5
6
18
14
10
6
2
-2
Gráfica de valores
(1)
(2)
1° Despejar
en ambas ecuaciones
Como las líneas se Comprobando
cruzan en el punto
(4,6),la solución del
sistema es :
Ejercicio: resolver el siguiente sistema de ecuaciones con el
método de gráfica.
(1)
(2)
Despejar las ecuaciones
Elaborar la tabla de datos “
y
de ambas ecuaciones
Elaborar la gráfica correspondiente
x
y
X
y
1
-2
1
6
2
1
2
5
3
4
3
4
4
7
4
3
Comprobar los resultados
8
7
y
6
Comprobación
5
4
3
y1
2
y2
1
0
-1
-2
-3
y
0
1
2
3
4
5
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en
un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa (el lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo) es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos (los dos lados
menores del triángulo, los que conforman el
ángulo recto).
De manera concreta el “Teorema de
Pitágoras” dice: “En todo triángulo rectángulo
el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.”
Para ello recuerda:
2° Cómo se obtiene
el
área
de
un
1° Qué el triángulo cuadrado:
rectángulo es aquel
que tiene un ángulo
recto.
Ejercicio: Se necesita construir una
escalera para lavar un tanque de agua que
se encuentra a cinco (05) metros de altura
y la escalera será inclinada desde una
distancia de 3 metros.
¿Cuánto debe medir la escalera?
Fórmula:
Ejercicio:
Román comprará un terreno que tiene forma triangular, lo que
suele llamarse como cuchilla, pero el vendedor no conoce una de
las medidas (la hipotenusa) de ese lote y le pide obtener ese dato
para conocer el perímetro y tratar el costo del terreno. Los catetos
(lados) miden 15 m (a) y 26 m (b).
Si la incógnita se resuelve mediante el teorema de Pitágoras. ¿Cuál es la fórmula para obtener la
1. c2=a2+b2
3. c2=2a+2b
4.
2. c =
Hipotenusa
(c)?