Presentación de PowerPoint

Unidad I: Sistemas de dos
Ecuaciones con dos incógnitas
Algebra Lineal
Ing. Marglorie Colina
Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así,
2𝑥 + 3𝑦 = 13
4𝑥 − 𝑦 = 5
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. La solución de un
sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las
ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es x=2, y=3.
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o
incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado
cuando tiene infinitas soluciones.
Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas
una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama Eliminación.
Métodos de Eliminación mas Usuales
Son tres: Método de igualación, de sustitución y de reducción, también llamado este ultimo
de suma o resta.
1. Método de igualación
Resolver el sistema
7𝑥
5𝑥
+ 4𝑦 = 13
− 2𝑦 = 19
(1)
(2)
Despejamos cualquiera de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.
Despejando x en (1):
13−4𝑦
7𝑥 = 13 − 4𝑦 ⇒ 𝑥 =
7
Despejando x en (2):
19+2𝑦
5𝑥 = 19 + 2𝑦 ⇒ 𝑥 =
5
Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido.
13 − 4𝑦
19 + 2𝑦
=
7
5
Ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolviendo esta
ecuación:
5 13 − 4𝑦 = 7 19 + 2𝑦
65 − 20𝑦 = 133 + 14𝑦
−20𝑦 − 14𝑦 = 133 − 65
−34𝑦 = 68
𝑦 = −2
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1)
(generalmente se sustituye en la mas sencilla), se tiene:
7𝑥 + 4 −2 = 13
7𝑥 − 8 = 13
7𝑥 = 21
𝑥=3
R.
𝑥=3
𝑦 = −2
Verificación: sustituyendo x=3, y=-2 en la dos ecuaciones dadas, ambas se
convierten en identidad
Ejercicios para Resolver
1.
𝑥 + 6𝑦 = 27
7𝑥 − 3𝑦 = 9
5.
9𝑥 + 16𝑦 = 7
4𝑦 − 3𝑥 = 0
9.
6𝑥 − 18𝑦 = −85
24𝑥 − 5𝑦 = −5
2.
6.
3𝑥 − 2𝑦 = −2
5𝑥 + 8𝑦 = −60
14𝑥 − 11𝑦 = −29
13𝑦 − 8𝑥 =
0
10.
2𝑥 + 3𝑦 = 2
−6𝑥 + 12𝑦 = 1
3𝑥 + 5𝑦 = 7
2𝑥 − 𝑦 = −4
3.
7.
15𝑥 − 11𝑦 = −87
−12𝑥 − 5𝑦 = −27
11.
5𝑥 + 2𝑦 = 11
2𝑥 − 3𝑦 = 12
7𝑥 + 9𝑦 = 42
12𝑥 + 10𝑦 = −4
4.
8.
12.
7𝑥 − 4𝑦 = 5
9𝑥 + 8𝑦 = 13
5𝑥 − 𝑦 = 3
−2𝑥 + 4𝑦 = −12
2. Método por sustitución
Resolver el sistema
2𝑥 + 5𝑦 = −24 (1)
8𝑥 − 3𝑦 = 19 (2)
Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a
despejarla en la ecuación (1). Tendremos:
2𝑥 = −24 − 5𝑦 ⇒ 𝑥 =
−24 − 5𝑦
2
Este valor de x se sustituye en la ecuación (2).
8
−24 − 5𝑦
2
− 3𝑦 = 19
Ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolvemos esta
ecuación. Simplificando 8 y 2, queda:
4 −24 − 5𝑦 − 3𝑦 = 19
−96 − 20𝑦 − 3𝑦 = 19
−20𝑦 − 3𝑦 = 19 + 96
−23𝑦 = 115
𝑦 = −5
Sustituyendo y =-5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
2𝑥 + 5 −5 = −24
2𝑥 − 25 = −24
2𝑥 = 1
1
𝑥=
2
1
𝑅.
2
𝑦 = −5
𝑥=
Verificación: sustituyendo x=1/2, y=-5 en la dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en
identidad
Ejercicios para Resolver
1.
𝑥
5𝑥
5.
15𝑥 + 11𝑦 = 32
7𝑦 − 9𝑥 = 8
9.
12.
+ 3𝑦 = 6
− 2𝑦 = 13
−13𝑦
−8𝑥
2.
5𝑥 + 7𝑦 = −1
−3𝑥 + 4𝑦 = −24
6.
10𝑥 + 18𝑦 = −11
16𝑥 − 9𝑦 = −5
+ 11𝑥 = −163
+ 7𝑦 = 94
𝑥 + 2𝑦 = 1
−3𝑥 + 𝑦 = −10
10.
3.
7.
3𝑥 − 2𝑦 = −4
2𝑥 + 𝑦 = 2
4𝑦 + 3𝑥 = 8
8𝑥 − 9𝑦 = −77
4.
𝑥 − 5𝑦 = 8
−7𝑥 + 8𝑦 = 25
32𝑥 − 25𝑦 = 13
4𝑥 + 5𝑦 = 5
8.
−10𝑦 − 4𝑥 = −7
16𝑥 + 15𝑦 = 1
11.
4𝑥 − 𝑦 = −9
2𝑥 + 2𝑦 = −2
3. Método de reducción
1) Resolver el sistema
5𝑥 + 6𝑦 = 20 (1)
4𝑥 − 3𝑦 = −23 (2)
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas . Vamos a igualar los
coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo mas sencillo.
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2x3=6, y tendremos:
5𝑥 + 6𝑦 = 20
8𝑥 − 6𝑦 = −46
Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas
ecuaciones porque con ello se elimina la y:
5𝑥 + 6𝑦 = 20
8𝑥 − 6𝑦 = −46
13𝑥
= −26
26
𝑥=−
= −2
13
Sustituyendo x=-2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se
tiene:
5 −2 + 6𝑦 = 20
−10 + 6𝑦 = 20
6𝑦 = 30
𝑦=5
𝑅.
𝑥 = −2
𝑦=5
3. Método de reducción
Ejercicios para Resolver
1.
6𝑥 − 5𝑦 = −9
4𝑥 + 3𝑦 = 13
5.
10𝑥 − 3𝑦 = 36
2𝑥 + 5𝑦 = −4
9.
12.
12𝑥
12𝑦
2.
6.
− 14𝑦 = 20
− 14𝑥 = −19
12𝑥 − 17𝑦 = 104
15𝑥 + 19𝑦 = −31
7𝑥 − 15𝑦 = 1
−𝑥 − 6𝑦 = 8
11𝑥 − 9𝑦 = 2
13𝑥 − 15𝑦 = −2
10.
3.
7.
3𝑥 − 4𝑦 = 41
11𝑥 + 6𝑦 = 47
4.
9𝑥 + 11𝑦 = −14
6𝑥 − 5𝑦 = −34
9𝑥 + 7𝑦 = −4
18𝑥 + 5𝑦 = −11
8.
11𝑥 − 13𝑦 = −48
12𝑥 + 11𝑦 = 31
15𝑥 − 𝑦 = 40
36𝑥 − 11𝑦 = −14
11.
19𝑥 + 8𝑦 = 236
24𝑥 − 17𝑦 = 10
Resolución de sistemas numéricos de dos ecuaciones fraccionarias con dos
incógnitas
𝑥−
Resolver el sistema
3𝑥+4
2𝑦 −
=
7
5𝑥+4
11
𝑦+2
=
3
𝑥+24
2
(1)
(2)
Resolviendo la suma y resta de las fracciones
7𝑥−(3𝑥+4)
𝑦+2
=
7
3
22𝑦−(5𝑥+4)
𝑥+24
=
11
2
Ejecutando las operaciones:
Agrupando las variables:
Uniendo las variables:
Ordenando las variables:
3 7𝑥 − 3𝑥 − 4 = 7(𝑦 + 2)
2 22𝑦 − 5𝑥 − 4 = 11 𝑥 + 24
21𝑥 − 9𝑥 − 12 = 7𝑦 + 14
44𝑦 − 10𝑥 − 8 = 11𝑥 + 264
21𝑥 − 9𝑥 − 7𝑦 = 14 + 12
44𝑦 − 10𝑥 − 11𝑥 = 264 + 8
12𝑥 − 7𝑦 = 26
44𝑦 − 21𝑥 = 272
12𝑥 − 7𝑦 = 26
−21𝑥 + 44𝑦 = 272
Continuación
Obtenidas las ecuaciones se resuelve el sistema por cualquiera de los métodos:
12𝑥 − 7𝑦 = 26
−21𝑥 + 44𝑦 = 272
Aplicando el método de reducción, como la variable x tiene diferentes signos eliminaremos dicha variable.
Multiplicamos por 21 a la primera ecuación y por 12 a la segunda.
12𝑥 − 7𝑦 = 26
(21)
−21𝑥 + 44𝑦 = 272 (12)
252𝑥 − 147𝑦 = 546
−252𝑥 + 528𝑦 = 3264
381𝑦 = 3810
3810
𝑦=
381
𝑦 = 10
Sustituyendo y=10 en la primera ecuación, tenemos:
12x − 7 10 = 26
12𝑥 = 26 + 70
12𝑥 = 96
96
𝑥=
12
𝑥=8
𝑅.
𝑥=8
𝑦 = 10
Ejercicios para Resolver
1)
3𝑥
+ 𝑦 = 11
2
𝑦
𝑥+ =7
2
4)
𝑥 𝑦
=
5 4
𝑦 𝑥
= −1
3 3
7)
𝑥−1 𝑦−1
13
−
=−
2
3
36
𝑥+1 𝑦+1
2
−
=−
3
2
3
2)
5𝑥
−𝑦=9
2
3𝑦
𝑥−
= 15
4
5)
𝑥 𝑦
+ =0
7 8
𝑥 3𝑦
−
=7
7 4
3)
𝑥 𝑦
+ =5
7 3
𝑥
3𝑦 −
= 26
14
6)
𝑥−3 𝑦−4
−
=0
3
4
𝑥−4 𝑦+2
+
=3
2
5