Presentación de PowerPoint

OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA
MÓDULO 1: OSCILACIONES
Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen
al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple
(MAS o MHS)
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.
3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario.
3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.
3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
1.1 Cinemática del MAS.
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos,
sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.
1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1
2.2
2.3
2.4
Lección 4. Superposición de varios MAS
Fuerza de fricción viscosa.
Ec. diferencial de las osc. amort.
Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.
2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
4.1 Principio de superposición.
Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS:
Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS:
Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de
direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple
(MAS o MHS)
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.
3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario.
3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.
3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
1.1 Cinemática del MAS.
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos,
sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.
1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1
2.2
2.3
2.4
Lección 4. Superposición de varios MAS
Fuerza de fricción viscosa.
Ec. diferencial de las osc. amort.
Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.
2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
4.1 Principio de superposición.
Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS:
Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS:
Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de
direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 3: Movimiento armónico forzado.
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica
Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica
Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica
Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica
Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica
Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica
Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica
Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F el = − k x
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F el = − k x
Fr = − b v
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F osc = F 0 cos t
F el = − k x
Fr = − b v
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
• Es una expresión sencilla
• Se puede generar fácilmente
F osc = F 0 cos t
F el = − k x
Fr = − b v
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
• Es una expresión sencilla
• Se puede generar fácilmente
F osc = F 0 cos t
La 2 ley de Newton queda:
da
∑ F =− k
x − b ẋ  F 0 cos t  = m ẍ
F el = − k x
Fr = − b v
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
• Es una expresión sencilla
• Se puede generar fácilmente
F osc = F 0 cos t
La 2 ley de Newton queda:
da
∑ F =− k
x − b ẋ  F 0 cos t  = m ẍ
F el = − k x
Fr = − b v
F0
b
k
ẍ 
ẋ 
x=
cos t
m
m
m
Ec. diferencial de las
oscilaciones forzadas
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
• Es una expresión sencilla
• Se puede generar fácilmente
F osc = F 0 cos t
F el = − k x
La 2 ley de Newton queda:
da
∑ F =− k
x − b ẋ  F 0 cos t  = m ẍ
Fr = − b v
F0
b
k
ẍ 
ẋ 
x=
cos t
m
m
m
Ec. diferencial de las
oscilaciones forzadas
F0
2
ẍ  2  ẋ  0 x =
cos  t
m
Donde:
v
β = b/2m es el parámetro de amortig..
ω02 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado.
ω : es la frecuencia angular de la fuerza
oscilante
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una
fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
• Es una expresión sencilla
• Se puede generar fácilmente
F osc = F 0 cos t
F el = − k x
La 2 ley de Newton queda:
da
∑ F =− k
x − b ẋ  F 0 cos t  = m ẍ
Fr = − b v
F0
b
k
ẍ 
ẋ 
x=
cos t
m
m
m
Ec. diferencial de las
oscilaciones forzadas
F0
2
ẍ  2  ẋ  0 x =
cos  t
m
Donde:
Es una ecuación diferencial
de segundo orden, lineal,
a coeficientes constantes y
no homogénea.
v
β = b/2m es el parámetro de amortig..
ω02 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado.
ω : es la frecuencia angular de la fuerza
oscilante
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
ẍ  2  ẋ  20 x = 0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
ẍ  2  ẋ  20 x = 0
x t = A e−t cos1 t
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
ẍ  2  ẋ  20 x = 0
x t = A e−t cos1 t
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
ẍ  2  ẋ  20 x = 0
x t = A e−t cos1 t
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
Probaremos con:
x t  = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
ẍ  2  ẋ  20 x = 0
x t = A e−t cos1 t
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
Probaremos con:
x t  = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
ẍ  2  ẋ  20 x = 0
Probaremos con:
x t  = A cos t−
x t = A e−t cos1 t
+
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos  t
m
2
0
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
Solución general
de la ec. diferencial
no homogénea
=
Solución de la
ec. diferencial
homogénea
+
Solución particular
de la ec. diferencial
no homogenea
ẍ  2  ẋ  20 x = 0
Probaremos con:
x t  = A cos t−
x t = A e−t cos1 t
Estado
transitorio
Estado
estacionario
+
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Estado transitorio y estado estacionario.
+
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Estado transitorio y estado estacionario.
+
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Estado transitorio y estado estacionario.
+
Estado
transitorio
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Estado transitorio y estado estacionario.
+
Estado
transitorio
Estado
estacionario
x t  = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Estado transitorio y estado estacionario.
+
Estado
transitorio
• El estado transitorio es muy
Estado
estacionario
complejo.
x t  = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Estado transitorio y estado estacionario.
+
Estado
transitorio
• El estado transitorio es muy
complejo.
Estado
estacionario • Transcurrido un tiempo t ≈ 5 el
x t  = A cos t−
estado transitorio desaparece y
queda sólo el MAS estacionario.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
Estado transitorio y estado estacionario.
+
Estado
transitorio
• El estado transitorio es muy
complejo.
Estado
estacionario • Transcurrido un tiempo t ≈ 5 el
x t  = A cos t−
estado transitorio desaparece y
queda sólo el MAS estacionario.
• La frecuencia del MAS estacionario
es la misma que la de la fuerza
oscilante.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
2
0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
x = A cost−
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
2
0
ẋ = − A  sin t−
ẍ = − A ² cos t −
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
x = A cost−
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
2
0
ẋ = − A  sin t−
ẍ = − A ² cos t −
ẍ = − A ² cos t −  2 [− A  sin t−]  20 [ A cost −] =
F0
cost 
m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
x = A cost−
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
2
0
ẋ = − A  sin t−
ẍ = − A ² cos t −
ẍ = − A ² cos t −  2 [− A  sin t−]  20 [ A cost −] =
F0
cost 
m
cos t−=cos t cos sin t sin 
sin  t −=sin  t cos−cos t  sin 
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
x = A cost−
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
ẋ = − A  sin t−
2
0
ẍ = − A ² cos t −
ẍ = − A ² cos t −  2 [− A  sin t−]  20 [ A cost −] =
usando:
F0
cost 
m
cos t−=cos t cos sin t sin 
sin  t −=sin  t cos−cos t  sin 
{
se llega a:
sin t  A {20 −2 sin −2  cos  }  cos t  A 20 −2  cos2 A  sin −
}
F0
=0
m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
x = A cost−
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
ẋ = − A  sin t−
2
0
ẍ = − A ² cos t −
ẍ = − A ² cos t −  2 [− A  sin t−]  20 [ A cost −] =
usando:
F0
cost 
m
cos t−=cos t cos sin t sin 
sin  t −=sin  t cos−cos t  sin 
{
se llega a:
sin t  A {20 −2 sin −2  cos  }  cos t  A 20 −2  cos2 A  sin −
}
F0
=0
m
Para poder cumplir esta ecuación
en todo tiempo, lo que aparece
entre corchetes debe ser nulo
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
x = A cost−
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
ẋ = − A  sin t−
2
0
ẍ = − A ² cos t −
ẍ = − A ² cos t −  2 [− A  sin t−]  20 [ A cost −] =
usando:
F0
cost 
m
cos t−=cos t cos sin t sin 
sin  t −=sin  t cos−cos t  sin 
{
se llega a:
sin t  A {20 −2 sin −2  cos  }  cos t  A 20 −2  cos2 A  sin −
tan  =
2
2
2
0−
Fase inicial del mov.
es el desfase entre F y x
}
F0
=0
m
Para poder cumplir esta ecuación
en todo tiempo, lo que aparece
entre corchetes debe ser nulo
Osc. Ondas y Termodinámica
3.2 Solución de la ecuación diferencial
La solución estacionaria del movimiento es:
x t  = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
x = A cost−
F0
ẍ  2  ẋ   x =
cos t 
m
ẋ = − A  sin t−
2
0
ẍ = − A ² cos t −
ẍ = − A ² cos t −  2 [− A  sin t−]  20 [ A cost −] =
usando:
F0
cost 
m
cos t−=cos t cos sin t sin 
sin  t −=sin  t cos−cos t  sin 
se llega a:
{
sin t  A {20 −2 sin −2  cos  }  cos t  A 20 −2  cos2 A  sin −
tan  =
2
2
2
0−
Fase inicial del mov.
es el desfase entre F y x
Para poder cumplir esta ecuación
en todo tiempo, lo que aparece
entre corchetes debe ser nulo
A=
}
F0
=0
m
F0 / m
 −  4  
2
0
2 2
2
2
Amplitud del mov.
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple
(MAS o MHS)
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.
3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario.
3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.
3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
1.1 Cinemática del MAS.
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos,
sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.
1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1
2.2
2.3
2.4
Lección 4. Superposición de varios MAS
Fuerza de fricción viscosa.
Ec. diferencial de las osc. amort.
Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.
2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
4.1 Principio de superposición.
Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS:
Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS:
Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de
direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
−k x
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
La máquina, de masa total M, realiza una
fuerza F sobre m:
F =m
2da ley de Newton
−k x
d²
 x  x' 
dt²
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
La máquina, de masa total M, realiza una
fuerza F sobre m:
2da ley de Newton
−k x
d²
 x  x' 
dt²
d²
F = m ẍ  m
a cos t 
dt²
F =m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
La máquina, de masa total M, realiza una
fuerza F sobre m:
d²
 x  x' 
dt²
d²
F = m ẍ  m
a cos t 
dt²
2da ley de Newton
−k x
F =m
2
F = m ẍ − m a  cost 
Fuerza de la
máquina sobre m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
La máquina, de masa total M, realiza una
fuerza F sobre m:
2da ley de Newton
d²
 x  x' 
dt²
d²
F = m ẍ  m
a cos t 
dt²
−k x
F =m
Por la 3ra ley de Newton,
sobre M­m actúa una fuerza:
2
F = m ẍ − m a  cost 
2
−F = − m ẍ  m a  cos t 
Fuerza de la
máquina sobre m
Fuerza de m
sobre M­m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
La máquina, de masa total M, realiza una
fuerza F sobre m:
2da ley de Newton
d²
 x  x' 
dt²
d²
F = m ẍ  m
a cos t 
dt²
−k x
F =m
Por la 3ra ley de Newton,
sobre M­m actúa una fuerza:
2
F = m ẍ − m a  cost 
2
−F = − m ẍ  m a  cos t 
Fuerza de la
máquina sobre m
Fuerza de m
sobre M­m
Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de M­m es:
∑ F = − k x − b ẋ  [ − m ẍ  m a 2 cos  t ] =  M −m ẍ
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
La máquina, de masa total M, realiza una
fuerza F sobre m:
2da ley de Newton
d²
 x  x' 
dt²
d²
F = m ẍ  m
a cos t 
dt²
−k x
F =m
Por la 3ra ley de Newton,
sobre M­m actúa una fuerza:
2
F = m ẍ − m a  cost 
2
−F = − m ẍ  m a  cos t 
Fuerza de la
máquina sobre m
Fuerza de m
sobre M­m
Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de M­m es:
∑ F = − k x − b ẋ  [ − m ẍ  m a 2 cos  t ] =  M −m ẍ
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y
no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
−b v
La máquina, de masa total M, realiza una
fuerza F sobre m:
2da ley de Newton
d²
 x  x' 
dt²
d²
F = m ẍ  m
a cos t 
dt²
−k x
F =m
2
F = m ẍ − m a  cost 
Por la 3ra ley de Newton,
sobre M­m actúa una fuerza:
2
−F = − m ẍ  m a  cos t 
Fuerza de la
máquina sobre m
Fuerza de m
sobre M­m
Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de M­m es:
∑ F = − k x − b ẋ  [ − m ẍ  m a 2 cos  t ] =  M −m ẍ
2
b
k
ma
ẍ 
ẋ 
x=
cos t 
M
M
M
2
• Es una oscilación forzada con F 0 = m a 
• M es la masa total de la máquina
• m es la masa del rotor descentrado
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ejercicio (prob. 27): después de colocar un motor eléctrico de
masa m=18kg sobre una viga horizontal, ésta se flexiona un
Δx=6mm. Determinar:
a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el
sistema no entre en resonancia.
b) Si el rotor del motor tiene una masa M=8kg y está descentrado
una distancia a=0.5cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de
la viga cuando el motor gire a 350 rpm? (suponer β << ω0)
Solución:
 = 386 rpm
A = 1.03 cm
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ejercicio (prob. 27): después de colocar un motor eléctrico de
masa m=18kg sobre una viga horizontal, ésta se flexiona un
Δx=6mm. Determinar:
a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el
sistema no entre en resonancia.
b) Si el rotor del motor tiene una masa M=8kg y está descentrado
una distancia a=0.5cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de
la viga cuando el motor gire a 350 rpm? (suponer β << ω0)
A=
F0 / m
 −  4  
2
0
2 2
F0 = m a 
2
2
2
Solución:
 = 386 rpm
A = 1.03 cm
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple
(MAS o MHS)
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.
3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario.
3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.
3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
1.1 Cinemática del MAS.
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos,
sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.
1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1
2.2
2.3
2.4
Lección 4. Superposición de varios MAS
Fuerza de fricción viscosa.
Ec. diferencial de las osc. amort.
Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.
2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
4.1 Principio de superposición.
Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS:
Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS:
Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de
direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
A=
F0 / m
 −  4  
2
0
2 2
2
2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
A=
F0 / m
 −  4  
2
0
2 2
2
2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
• Para   0 tiende a
F0 /mω02=F0/k
A=
F0 / m
 −  4  
2
0
2 2
2
2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
A
F0
k
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
A
F0
k
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
A
D 2 = 20 −2 2  4 2 2
F0
k
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
A
D 2 = 20 −2 2  4 2 2
d D2
= −220−2 2   8  2  = 0
d
F0
k
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
A
D 2 = 20 −2 2  4 2 2
d D2
= −220−2 2   8  2  = 0
d
−20 −2  2 2 = 0
F0
k
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
A
D 2 = 20 −2 2  4 2 2
d D2
= −220−2 2   8  2  = 0
d
−20 −2  2 2 = 0
max =  20 − 2 2
F0
k
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
• Para  ∞ tiende a cero
2
F0 / m
• Para   0 tiende a F0 /mω0 =F0/k
A=
20−2 24 2 2

• Tiene que existir un máximo cuando
el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
A
D 2 = 20 −2 2  4 2 2
d D2
= −220−2 2   8  2  = 0
d
−20 −2  2 2 = 0
max =   − 2 
2
0
2
• Frecuencia para la que
A es máxima.
F0
k
(resonancia en amplitud)
• Si
≪0  max ≈0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
v t  =
dx
= − A  sin t−
dt
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
v t  =
−sin a = cosa/2
dx
= − A  sin t−
dt
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
є
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
v t  = A  cos t−
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
є
siendo
 = −

2
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
v t  = A  cos t−
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
є
siendo
 = −

2
• є es el desfase entre F y v
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
v t  = A  cos t−
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
є
siendo
 = −

2
• є es el desfase entre F y v
Velocidad del MAF
Ver que además se cumple:
tan  = tan −


2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
v t  = A  cos t−
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
є
siendo
 = −

2
• є es el desfase entre F y v
Velocidad del MAF
Ver que además se cumple:
1

tan  = tan −  = −
2
tan 
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
є
siendo
 = −
v t  = A  cos t−

2
• є es el desfase entre F y v
Velocidad del MAF
Ver que además se cumple:
1

tan  = tan −  = −
2
tan 
2
2
 −0
tan  =
2
tan =
2
 20−2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
є
siendo
 = −
v t  = A  cos t−

2
• є es el desfase entre F y v
Velocidad del MAF
Ver que además se cumple:
1

tan  = tan −  = −
2
tan 
2
2
 −0
tan  =
2
tan =
2
 20−2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Para la velocidad del MAF tenemos:
x t  = A cos t−
−sin a = cosa/2
−sin t − = cos t − −/ 2 
dx
v t  =
= − A  sin t−
dt
є
siendo
 = −
v t  = A  cos t−
Velocidad del MAF

2
• є es el desfase entre F y v
• є es cero si ω = ω0
Ver que además se cumple:
1

tan  = tan −  = −
2
tan 
2
2
 −0
tan  =
2
tan =
2
 20−2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0
v0 = A  =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2
2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0
v0 = A  =
v0 =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2
2
F0

2
2 2
 0− 
2
m
4 

Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0 v0
v0 = A  =
v0 =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2
2
F0

2
2 2
 0− 
2
m
4 

Definimos:

2
Impedancia del oscilador
2 2
0 − 
2
Z=m
4 

Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0 v0
v0 = A  =
v0 =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2
2
F0

2
2 2
 0− 
2
m
4 

Definimos:

2
Impedancia del oscilador
2 2
0 − 
2
Z=m
4 

ejercicio:
Z=
2
0 =

2

k
m −
b 2

2
k
b
, 2 =
m
m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0
v0 = A  =
v0 =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2
2
F0

2
F0
v0 =
Z
2 2
 0− 
2
m
4 

Definimos:

2
Impedancia del oscilador
2 2
0 − 
2
Z=m
4 

ejercicio:
Z=
2
0 =

2

k
m −
b 2

2
k
b
, 2 =
m
m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0
v0 = A  =
v0 =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2
2
F0

2
F0
v0 =
Z
2 2
 0− 
2
m
4 

Definimos:

2
Impedancia del oscilador
2 2
0 − 
2
Z=m
4 

ejercicio:
Z=
2
0 =

2

k
m −
b 2

2
k
b
, 2 =
m
m
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v t  = A  cos t−
v0
v0 = A  =
v0 =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2
2
F0

2
F0
v0 =
Z
2 2
 0− 
2
m
4 

Definimos:

2
Impedancia del oscilador
2 2
0 − 
2
Z=m
4 

ejercicio:
Z Tiene un mínimo
Z=
2
0 =

2

k
m −
b 2

2
k
b
, 2 =
m
m
Además se cumple:
para ω=ω0 (Zmin= b)
ejercicio
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
E=
1
2
m v0
2
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max (v20)
v0 es máximo E 
cuando  = 0
v t  = A  cos t−
v0
v0 = A  =
v0 =
 F0
m  0−  4  
2
2 2
2

F0
v0 =
Z
2 2
 0− 
2
m
4 

Definimos:

2
1
2
Z
2
F0
2
v20≈
Impedancia del oscilador
2 2
0 − 
2
Z=m
4 

ejercicio:
Z Tiene un mínimo
Z=
2
0 =

2

k
m −
b 2

2
k
b
, 2 =
m
m
Además se cumple:
para ω=ω0 (Zmin= b)
ejercicio
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v20≈ 1
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v20≈ 1
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:
 = 0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
 = 0
Z = m2 = b
2
=∞
2
2
0 −
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
2
=∞
2
2
0 −
 = 0
Z = m2 = b
=

2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
 = 0
Z = m2 = b
2
=∞
2
2
0 −
 = −

2
=

2
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
 = 0
Z = m2 = b
2
=∞
2
2
0 −
 = −

2
=

2
=0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
Z = m2 = b
2
=∞
2
2
0 −
 = −
v=
 = 0

2
=

2
=0
F0
cos t−
Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
Z = m2 = b
2
=∞
2
2
0 −
 = −
v=
 = 0
F0
cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
v=
cos0 t 
b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
Z = m2 = b
2
=∞
2
2
0 −
 = −
v=
 = 0
F0
cos t−
Z

2
=
A=
F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2

2
=0
F0
v=
cos0 t 
b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

tan  =
Z = m2 = b
2
=∞
2
2
0 −
 = −
v=
 = 0
F0
cos t−
Z

2
=
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
A=
F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2

2
=0
F0
v=
cos0 t 
b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
v=
F0
cos t−
Z

2
=
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
A=
F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −

2
=0
F0
v=
cos0 t 
b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
v=
F0
cos t−
Z

2
=

2
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F0

x=
cos 0 t −
b 0
2

A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
=0
F0
v=
cos0 t 
b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
v=
F0
cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F0

x=
cos 0 t −
b 0
2

A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
F = F 0 cos0 t 
F0
v=
cos0 t 
b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
v=
F0
cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F0

x=
cos 0 t −
b 0
2

F = F 0 cos0 t 
A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
Resonancia
F
F0
v=
cos0 t 
b
Representación fasorial
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
v=
F0
cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F0

x=
cos 0 t −
b 0
2

F = F 0 cos0 t 
A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
v
Resonancia
F
F0
v=
cos0 t 
b
Representación fasorial
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
v=
F0
cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F0

x=
cos 0 t −
b 0
2

F = F 0 cos0 t 
A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
v
Resonancia
x
F
F0
v=
cos0 t 
b
Representación fasorial
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
F
v = 0 cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
v=
cos0 t 
b
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F

x = 0 cos 0 t −
b 0
2

F = F 0 cos0 t 
A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
No
resonancia
F
Representación fasorial
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
F
v = 0 cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
v=
cos0 t 
b
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F

x = 0 cos 0 t −
b 0
2

F = F 0 cos0 t 
A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
No
resonancia
F
x

Representación fasorial
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzado
está en resonancia si oscila a la frecuencia
para la que éste tiene la máxima energía
E  v2≈ 1
0
2
Z
ω de la fuerza impulsora = ω0
En resonancia se cumple:

20−2 2
2
Z=m
4 

 = 0
Z = m2 = b
2
tan  = 2
=∞
2
0 −
 = −
F
v = 0 cos t−
Z

2
=

2
=0
F0
v=
cos0 t 
b
F0
F0
A=
=
m2  0 b 0
F

x = 0 cos 0 t −
b 0
2

F = F 0 cos0 t 
A=

F0 / m
  −  4  
2
0
2 2
2
2
x = A cos t −
v
No
resonancia

−=−
2
F
x

Representación fasorial
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Ejercicio: un objeto de masa m=2kg oscila sujeto a un muelle de
constante k=800 N/m y con un parámetro de amortiguamiento
β=0.1 s-1. Si aplicamos al sistema una fuerza oscilante
F(t)=25cos(10t) (en unidades SI.), calcular:
La amplitud, velocidad máxima, frecuencia de resonancia y
desfase entre x y F:
F = F 0 cos t 
Solución:
A=0.042m
v0=0.42 m/s
ωRES = 20 rad/s
δ=6.67 · 10 -3 rad
v =  A cos t−

 = −
2
F
v0 =  A = 0
Z
⟨ Ps ⟩ =
2
0
F b
2Z
2

 = 2 = 0
Q
x = A cos  t−
A=
F 0 /m
 −  4  
2
0
2 2
tan  =
Z=

2
2
2 
2
2
0−
2

k
2
m −
b

2

2
2 2
0− 
Z=m
 4 2

Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple
(MAS o MHS)
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.
3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario.
3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
1.1 Cinemática del MAS.
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos,
sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.
1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1
2.2
2.3
2.4
Lección 4. Superposición de varios MAS
Fuerza de fricción viscosa.
Ec. diferencial de las osc. amort.
Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.
2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
4.1 Principio de superposición.
Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS:
Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS:
Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de
direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. • La Froz disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. • La Froz disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. • La Froz disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F 0 cos t ⋅
F0
cos  t−
Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. • La Froz disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F 0 cos t ⋅
cosa−b = cos acosb  sin asin b
F0
cos  t−
Z
2
F
2
P s = 0 cos cos  t  sin cos t  sin t 
Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. • La Froz disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F 0 cos t ⋅
cosa−b = cos acosb  sin asin b
F0
cos  t−
Z
cos2 a=
2
F
2
P s = 0 cos cos  t  sin cos t  sin t 
Z
1cos2a
2
sin 2a =2 sin a cosa
F 20
1cos2 t
1
Ps =
cos
 sin  sin 2 t 
Z
2
2


Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. • La Froz disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F 0 cos t ⋅
cosa−b = cos acosb  sin asin b
F0
cos  t−
Z
cos2 a=
2
F
2
P s = 0 cos cos  t  sin cos t  sin t 
Z
1cos2a
2
sin 2a =2 sin a cosa
F 20
1cos2 t
1
Ps =
cos
 sin  sin 2 t 
Z
2
2


2
F0
Ps =
 cos  cos  cos2 t   sin  sin 2 t 
2Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte. • La Froz disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F 0 cos t ⋅
cosa−b = cos acosb  sin asin b
F0
cos  t−
Z
cos2 a=
2
F
2
P s = 0 cos cos  t  sin cos t  sin t 
Z
1cos2a
2
sin 2a =2 sin a cosa
F 20
1cos2 t
1
Ps =
cos
 sin  sin 2 t 
Z
2
2


2
F0
Ps =
 cos  cos  cos2 t   sin  sin 2 t 
2Z
Potencia suministrada al
oscilador por unidad de tiempo
2
F0
Ps =
 cos  cos 2t− 
2Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
2
1 2 / F 0
⟨ P s ⟩ = ∫0
 cos  cos 2 t− dt
T
2Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
2
1 2 / F 0
⟨ P s ⟩ = ∫0
 cos  cos 2 t− dt
T
2Z
2
 F0
⟨ Ps ⟩ =
2 2 Z
[∫
2 /
0
2 /
cos dt  ∫0
cos2 t− dt
]
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
2
1 2 / F 0
⟨ P s ⟩ = ∫0
 cos  cos 2 t− dt
T
2Z
2
 F0
⟨ Ps ⟩ =
2 2 Z
[∫
2 /
0
2 /
cos dt  ∫0
cos2 t− dt
]
2
 F 0 cos 2 /
⟨ Ps ⟩ =
∫0 dt
2
2Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
2
1 2 / F 0
⟨ P s ⟩ = ∫0
 cos  cos 2 t− dt
T
2Z
2
 F0
⟨ Ps ⟩ =
2 2 Z
[∫
2 /
0
2 /
cos dt  ∫0
cos2 t− dt
]
2
 F 0 cos 2 /
⟨ Ps ⟩ =
∫0 dt
2
2Z
2
F cos 
⟨ Ps ⟩ = 0
2Z
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
2
1 2 / F 0
⟨ P s ⟩ = ∫0
 cos  cos 2 t− dt
T
2Z
2
 F0
⟨ Ps ⟩ =
2 2 Z
[∫
2 /
0
2 /
cos dt  ∫0
cos2 t− dt
]
2
 F 0 cos 2 /
⟨ Ps ⟩ =
∫0 dt
2
2Z
2
F cos 
⟨ Ps ⟩ = 0
2Z
cos = b/ Z
2
⟨ Ps ⟩ =
F0 b
2 Z2
Potencia promedio
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
2
1 2 / F 0
⟨ P s ⟩ = ∫0
 cos  cos 2 t− dt
T
2Z
2
 F0
⟨ Ps ⟩ =
2 2 Z
[∫
2 /
0
2 /
cos dt  ∫0
2
 F 0 cos 2 /
⟨ Ps ⟩ =
∫0 dt
2
2Z
]
El comportamiento de <Ps>
es similar al de la E
⟨ Ps ⟩
2
F cos 
⟨ Ps ⟩ = 0
2Z
cos2 t− dt
cos = b/ Z
2
⟨ Ps ⟩ =
F0 b
2 Z2
Potencia promedio
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
La magnitud realmente interesante es la
Potencia promedio suministrada al oscilador:
2
1 2 / F 0
⟨ P s ⟩ = ∫0
 cos  cos 2 t− dt
T
2Z
2
 F0
⟨ Ps ⟩ =
2 2 Z
[∫
2 /
0
2 /
cos dt  ∫0
cos2 t− dt
El comportamiento de <Ps>
es similar al de la E
2
 F 0 cos 2 /
⟨ Ps ⟩ =
∫0 dt
2
2Z
⟨ Ps ⟩
2
F cos 
⟨ Ps ⟩ = 0
2Z
⟨ Ps ⟩ =
2
0
F b
2 Z2
Potencia promedio
]
cos = b/ Z
En resonancia
⟨ P s ⟩ es máxima
2
1 F0
⟨ Ps ⟩ =
2 b
Z = b , =0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.6 Anchura de la resonancia.
Podemos representar
⟨ P s ⟩ RES
es máxima
⟨ P s ⟩ normalizada.
⟨ Ps⟩
⟨ P s ⟩ RES
estará
normalizada
Osc. Ondas y Termodinámica
3.6 Anchura de la resonancia.
Podemos representar
⟨ P s ⟩ RES
es máxima
⟨ P s ⟩ normalizada.
⟨ Ps⟩
⟨ P s ⟩ RES
estará
normalizada
Osc. Ondas y Termodinámica
3.6 Anchura de la resonancia.
Podemos representar
⟨ P s ⟩ RES
es máxima
⟨ P s ⟩ normalizada.
⟨ Ps⟩
⟨ P s ⟩ RES
estará
normalizada
A medida que disminuye β la
resonancia se hace más 'estrecha'
Osc. Ondas y Termodinámica
3.6 Anchura de la resonancia.
Podemos representar
⟨ P s ⟩ RES
es máxima
⟨ P s ⟩ normalizada.
⟨ Ps⟩
⟨ P s ⟩ RES
estará
normalizada
A medida que disminuye β la
resonancia se hace más 'estrecha'
Anchura de la resonancia
Es la anchura del pico para
⟨ Ps ⟩
= 0.5
⟨ P s ⟩ RES
Osc. Ondas y Termodinámica
3.6 Anchura de la resonancia.
Podemos representar
⟨ P s ⟩ RES
es máxima
⟨ P s ⟩ normalizada.
⟨ Ps⟩
⟨ P s ⟩ RES
estará
normalizada
A medida que disminuye β la
resonancia se hace más 'estrecha'
1
Anchura de la resonancia
Es la anchura del pico para
2
⟨ Ps ⟩
= 0.5
⟨ P s ⟩ RES
  = 2 − 1
Osc. Ondas y Termodinámica
3.6 Anchura de la resonancia.
Podemos representar
⟨ P s ⟩ normalizada.
⟨ Ps⟩
⟨ P s ⟩ RES
⟨ P s ⟩ RES
es máxima
estará
normalizada
A medida que disminuye β la
resonancia se hace más 'estrecha'
1
Anchura de la resonancia
Es la anchura del pico para
⟨ Ps ⟩
= 0.5
⟨ P s ⟩ RES
Donde Q es el factor
de calidad del oscilador
  = 2 − 1
Se puede demostrar
si β<<ω0
2
 = 2 =
0
Q
Q=
0
2
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Ejercicio: un objeto de masa m=2kg oscila sujeto a un muelle de
constante k=800 N/m y con un parámetro de amortiguamiento
β=0.1 s-1. Si aplicamos al sistema una fuerza oscilante
F(t)=25cos(10t) (en unidades SI.), calcular:
La amplitud, velocidad máxima, frecuencia de resonancia, desfase
entre x y F, factor de calidad y anchura de la resonancia:
F = F 0 cos t 
Solución:
A=0.042m
v0=0.42 m/s
ωRES = 20 rad/s
δ=6.67 · 10 -3 rad
Q=100
Δω=0.2 rad
v =  A cos t−

 = −
2
F
v0 =  A = 0
Z
⟨ Ps ⟩ =
2
0
F b
2Z
2

 = 2 = 0
Q
x = A cos  t−
A=
F 0 /m
 −  4  
2
0
2 2
tan  =
Z=

2
2
2 
2
2
0−
2

k
2
m −
b

2

2
2 2
0− 
Z=m
 4 2

Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Ejercicio: un péndulo simple está formado por una masa m=3kg y
un cuerda de longitud l=1m. El sistema está amortiguado siendo
β=0.001 s-1. Si queremos mantener el péndulo oscilando con su
frecuencia natural y con una amplitud de de 2º, determinar el valor
F0 de la fuerza oscilante que debemos aplicar y la potencia disipada
por el sistema.
F = F 0 cos t 
Solución:
F0=6.55 · 10 -4 N
<Ps>=3.6 · 10 -5 W
v =  A cos t−

 = −
2
F
v0 =  A = 0
Z
⟨ Ps ⟩ =
2
0
F b
2Z
2

 = 2 = 0
Q
x = A cos  t−
A=
F 0 /m
 −  4  
2
0
2 2
tan  =
Z=

2
2
2 
2
2
0−
2

k
2
m −
b

2

2
2 2
0− 
Z=m
 4 2

Osc. Ondas y Termodinámica
Cuestiones (contesta razonadamente).
1. En régimen estacionario de un oscilador forzado, la energía perdida por el
amortiguamiento es igual a la introducida por la fuerza oscilante.
2. La potencia media suministrada a un oscilador forzado decae
exponencialmente con el tiempo.
3. El hecho de romper una copa de vidrio por la acción del sonido es un
ejemplo de oscilador resonante.
4. Si ω0 < β la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado será mayor
que ω0.
5. Después de un periodo transitorio, la frecuencia de oscilación de un
oscilador forzado es  20−2
6. Las unidades del factor de calidad de un oscilador son las mismas que la
de la frecuencia angular.
7. En el estado estacionario, si ω tiende a ω0 el desfase entre la fuerza
impulsora y la velocidad tiende a cero.
Osc. Ondas y Termodinámica
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1. Conceptos básicos
Vector velocidad
La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la
partícula dividido entre en el tiempo empleado
●
●
En una dimensión:
y
j
k
z
r t 
i
x
r t =x t  i  y t  j z t  k
Osc. Ondas y Termodinámica