Nueva Teor´ıa de Eclipses

Nueva Teorı́a de Eclipses
Francisco Javier Gil Chica
2011
2
Prólogo a la Nueva Teorı́a de
Eclipses
A lo largo del año 1991, se cumplen ahora 20 años, terminé de escribir
un libro sobre teorı́a de eclipses, ocultaciones y tránsitos usando una antigua máquina Olivetti en la oficina del Grupo de Predicción y Vigilancia en
el Centro Meteorológico Territorial de Valencia. En esta primera copia las
expresiones matemáticas estaban escritas a mano, en los espacios habilitados
entre el texto; las figuras estaban hechas a mano alzada, por supuesto. Los
cálculos fueron realizados con una calculadora programable Casio, modelo
FX-850P y los programas escritos en BASIC en primer lugar sobre papel y
luego fatigosamente introducidos desde el teclado de la calculadora, que aún
conservo en funcionamiento.
Esta primera copia fue reescrita usando WordPerfect (la versión 5.1 permitı́a fórmulas matemáticas) . Las figuras fueron rehechas con Drawperfect y
el libro finalmente publicado por la Universidad de Alicante, donde en aquel
entonces yo era profesor asociado, en 1996, tras dormir durante cinco años
en un cajón.
Unos años después, el libro fue digitalizado y ası́ permanece desde entonces: con todas sus erratas y la pérdida de un par de figuras en el taller
editorial.
Desde que el correo electrónico es herramienta común, he recibido muchas consultas. Unas advertı́an de erratas, otras pedı́an explicaciones, o bibliografı́a, o solicitaban las figuras perdidas. Me convencı́ pronto de que las
faltas de aquella edición me acompañarı́an durante mucho tiempo y terminarı́an obligándome a escribir una versión nueva y mejor, máxime cuando
desde entonces parece que sigue siendo la única referencia en español sobre
el tema. No en inglés, ya que en 1991 yo me habı́a basado en los textos de
Green, Smart y Chauvenet. El azar habı́a puesto en mis manos, en 1989, una
publicación del Observatorio de Madrid, fechada en 1907, sobre el eclipse
que habı́a tenido lugar ese año. Esta obra seguı́a la rutina de cálculo del libro
de Chauvenet y añadı́a una cartografı́a en color de las zonas afectadas en el
i
ii
0. Prólogo a la Nueva Teorı́a de Eclipses
norte de España.
En fin, veinte años después entrego a la red esta segunda versión con la
esperanza no sólo de que remedie las carencias de la primera, sino también de
que sirva de algún modo de reparación a las personas que me hicieron llegar
su interés o sus dudas respecto a la primera versión y a las cuales, dedicado
como he estado (y estoy) a otras muchas tareas, siento no haber atendido
adecuadamente.
Parte del material contenido en esta edición proviene del pequeño tratado
sobre relojes de sol que compuse en 2006. He eliminado algunas secciones,
que tras el paso del tiempo considero ahora excesivamente farragosas y de
interés menor. También ha desaparecido el capı́tulo dedicado al cálculo del
eclipse de 1985, debido a que el procedimiento de cálculo trigonométrico
es farragoso comparado con el cartesiano, que ahora puede acometerse sin
problemas mediante el computador.
Capı́tulo 1
Trigonometrı́a esférica
Sea una esfera de radio unidad. La intersección de cualquier plano con esa
esfera es una circunferencia, y de todas las circunferencias que son intersección de un plano con una esfera dada, son máximas aquellas que pertenecen
a un plano que contiene al centro de la esfera.
Llamaremos cı́rculo máximo 1 a aquel que proviene de la intersección de
un plano que contiene el centro de la esfera con ésta.
Un triángulo esférico es la superficie de esfera delimitada por tres arcos
de cı́rculo máximo, de manera que ninguno de ellos exceda π radianes. Pues
bien, la trigonometrı́a esférica se ocupa de las relaciones que existen entre
los lados y los ángulos de un triángulo esférico. A diferencia de los triángulos
de la geometrı́a plana, donde los lados tienen medidas lineales y los ángulos
medidas angulares, en un triángulo esférico tanto los lados como los ángulos
tienen medidas angulares. Respecto a los lados, su medida es el ángulo que
forman las dos lı́neas que unen el centro de la esfera con los extremos del
lado en cuestión. Respecto a los ángulos en los vértices del triángulo esférico,
su medida es el ángulo formado por las tangentes a los cı́rculos en el vértice
que se considere. Se acostumbran a nombrar los vértices mediante letras
mayúsculas y cada lado con la misma letra, en minúscula, que el vértice
opuesto a ese lado.
1.1.
Relación de los cosenos
Con relación a la Figura 1.1, O es el centro de la esfera y ABC un triángulo
esférico. Las lı́neas AD y AE son tangentes a los arcos de cı́rculos máximos
AB y AC, respectivamente, de forma que el plano determinado por ADE es
1
en rigor, circunferencia máxima, pero el uso ha consagrado la denominación cı́rculo
máximo
1
2
1. Trigonometrı́a esférica
O
C
B
a
b
c
A
D
E
Figura 1.1 Triángulo esférico
tangente a la esfera en el vértice A del triángulo esférico. Para el triángulo
DAE se cumple:
DE 2 = AD 2 + AE 2 − 2(AD)(AE) cos(D ÂE)
(1.1)
DE 2 = OD 2 + OE 2 − 2(OD)(OE) cos(D ÔE)
(1.2)
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
(1.3)
mientras que para el triángulo DOE:
Tomando radio unitario para la esfera, tenemos que DA = tan c, AE =
tan b, OD = sec c, OE = sec b, cos(D ÔE) = cos a y cos(D ÂE) = cos A.
Igualando las dos expresiones para DE 2 , sustituyendo las relaciones, anteriores y reordenando (teniendo en cuenta que tan2 x = sec2 x − 1), se llega
a
y como es obvio que este razonamiento puede hacerse para cualquiera de
los vértices:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
(1.4)
3
1.2. Relación de los senos
1.2.
Relación de los senos
Tomamos la primera de las relaciones de los cosenos y la escribimos en la
forma
sen b sen c cos A = cos a − cos b cos c
(1.5)
Elevando al cuadrado, escribiendo en el primer miembro cos2 A = 1 −
sen A y en el segundo sustituyendo de igual forma los cosenos al cuadrado,
después de simplificar obtenemos
2
sen2 b sen2 c sen2 A = sen2 a + sen2 b + sen2 c − 2 + 2 cos a cos b cos c
(1.6)
El primer miembro contiene dos lados y el ángulo que determinan. El segundo miembro contiene los tres lados, y por tanto es igual para cualesquiera
otros dos lados y el ángulo que determinan en el primer miembro, es decir:
sen2 b sen2 c sen2 A = sen2 a sen2 b sen2 C = sen2 a sen2 c sen2 B
(1.7)
Ahora bien, como los lados del triángulo esférico no exceden de π, el seno
es siempre positivo, luego podemos escribir finalmente:
sen b
sen c
sen a
=
=
sen A
sen B
sen C
1.3.
(1.8)
Tres lados y dos ángulos
Las relaciones de los cosenos involucran tres lados y un ángulo, mientras
que las relaciones de los senos involucran dos lados y dos ángulos. Podemos
obtener fácilmente relaciones que incluyan los tres lados y dos ángulos a partir
de las fórmulas de los cosenos. En efecto, si tomamos la primera relación de
los cosenos y sustituimos en el segundo miembro cos b por la expresión que
da la segunda de las relaciones de los cosenos, tras simplificar:
sen b cos A = cos a sen c − sen a cos c cos B
(1.9)
y por rotación, análogamente:
sen a cos C = cos c sen b − sen c cos b cos A
sen c cos B = cos b sen a − sen b cos a cos C
(1.10)
4
1. Trigonometrı́a esférica
A
b
c
C
B
a
Figura 1.2 Fórmula de cuatro partes
1.4.
Dos lados y dos ángulos
Estas fórmulas se conocen como ”fórmulas de cuatro partes”, porque involucran cuatro elementos consecutivos de un triángulo esférico. En efecto,
en relación con la Figura 1.2, consideremos los elementos B, a, C y b.
Al lado a, que se encuentra entre los ángulos B y C se le llama ”lado
interno” y al ángulo C, que se encuentra entre los lados a y b se le llama
”ángulo interno”. Si tomamos las expresiones de los cosenos para los lados b
y c y sustituimos cos c en la expresión para cos b:
cos b sen2 a = sen a sen b cos a cos C + sen c sen a cos B
(1.11)
dividiendo por sen a sen b y usando la relación del seno, según la cual
sen C
sen c
=
sen b
sen B
(1.12)
cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B
(1.13)
llegamos a
Análogamente, por rotación:
cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A
cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C
(1.14)
1.5. Fórmulas diferenciales
1.5.
5
Fórmulas diferenciales
Estamos interesados en el pequeño cambio que sufren algunos elementos
cuando otro u otros son alterados ligeramente. Partimos de la relación de los
cosenos:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
(1.15)
Diferenciamos, agrupamos términos y vemos que los coeficientes para db y
dc pueden simplificarse mediante las fórmulas para tres lados y dos ángulos.
Usando la relación de los senos para simplificar el término en dA tenemos
finalmente:
da − cos Cdb − cos Bdc = sen b sen CdA
(1.16)
con relaciones análogas a partir de las otras dos relaciones de los cosenos.
En definitiva:
da − cos Cdb − cos Bdc = sen b sen CdA
− cos Cda + db − cos Adc = sen c sen AdB
− cos Bda − cos Adb + dc = sen a sen BdC
(1.17)
Relaciones que involucran los tres ángulos y los tres lados. Eliminando
da:
sen Cdb − cos a sen Bdc = sen b cos CdA + sen adB
− cos a sen Cdb + sen Bdc = sen c cos BdA + sen adC
(1.18)
y tenemos la relación entre las variaciones de dos ángulos y dos lados. Si
de aquı́ eliminamos db tenemos:
sen a sen Bdc = cos bdA + cos adB + dC
(1.19)
y si eliminamos dA
cos b sen Cdb − cos c sen Bdc = sen c cos BdB − sen b cos CdC
(1.20)
6
1. Trigonometrı́a esférica
Capı́tulo 2
Coordenadas y Tiempo
2.1.
Coordenadas polares
Si observamos el cielo en una noche estrellada, los cuerpos celestes parecen distribuidos sobre una esfera de radio indefinido. La distancia a la que se
encuentran los cuerpos celestes es, en principio, desconocida. En los casos en
que puede calcularse por métodos geométricos, este cálculo se basará en aquellas cantidades mensurables directamente: las coordenadas polares respecto
a algún sistema de referencia adecuado.
Z
A
O
Y
B
X
Figura 2.1 Coordenadas polares
En relación con la Figura 2.1, adoptamos como plano principal aquel
que contiene a los ejes x e y. La intersección de este plano con la esfera
celeste determina un cı́rculo. Los planos perpendiculares al plano principal
que contienen al origen de coordenadas intersectan también con la esfera
celeste en cı́rculos secundarios.
Para aquellos casos en que la distancia finita a la que se encuentran los
7
8
2. Coordenadas y Tiempo
astros tiene relevancia, es preciso indicar también cual es el origen del sistema de referencia. Ası́, hablamos de coordenadas heliocéntricas cuando el
sistema de referencia tiene su origen en el Sol, geocéntricas cuando el origen
se encuentra en el centro de masas de la Tierra y topocéntricas cuando el
origen del sistema de referencia coincide con la posición del observador.
Pues bien, la dirección en que aparece un astro sobre la bóveda del cielo
ˆ y θ = AOB.
ˆ
queda determinada por los ángulos ϕ = XOB
Estos ángulos
reciben nombres especı́ficos y se designan con letras convenidas según cual
sea el plano principal que se elija y la dirección del eje x en ese plano.
Dos planos importantes son el plano que contiene al ecuador terrestre y
el plano de la órbita de la tierra, llamado eclı́ptica. Ambos planos no son
paralelos, sino que forman entre sı́ un ángulo de unos 23o .
P
E
Ecuador
γ
α
δ
Α
Figura 2.2 Coordenadas ecuatoriales
La Figura 2.2 representa el ecuador terrestre y un cı́rculo secundario que
contiene a un astro E. Las coordenadas de ese astro son la ascensión recta α
que se mide a partir de un punto γ sobre el ecuador en sentido antihorario
hasta el punto A que es la intersección entre el ecuador y el cı́rculo secundario
que contiene al astro E y la declinación δ, que se mide desde el ecuador hasta
el astro sobre el cı́rculo secundario que lo contiene. Al conjunto (α, δ) se le
llama coordenadas ecuatoriales. La ascensión recta se mide en horas, minutos
y segundos, y la declinación en grados, minutos y segundos de arco 1 . La lı́nea
1
Se divide la circunferencia en 24 horas, lo que hace que cada hora conste de 15 grados.
Cada minuto tiene 15 minutos de arco y cada segundo 15 segundos de arco.
9
2.1. Coordenadas polares
perpendicular al ecuador intersecta a la esfera celeste en el punto P , llamado
polo norte celeste. ¿Cómo se elige el punto γ?. Se ha dicho que ecuador y
eclı́ptica forman entre sı́ un ángulo, y por tanto se cortan en dos puntos.
γ es uno de ellos. Concretamente aquel a partir del cual la ascensión recta
del Sol pasa a encontrarse en el primer cuadrante. La Figura 2.3 muestra la
relación entre ecuador y eclı́ptica y la elección del punto γ. La inclinación de
ˆ .
la eclı́ptica ǫ = MγN
Ecliptica
N
M
γ
Ecuador
Figura 2.3 Inclinación de la eclı́ptica
La Figura 2.4 muestra un sistema de referencia que toma como plano
principal el de la eclı́ptica. Las coordenadas eclı́pticas son los ángulos (λ, β).
La primera se llama longitud celeste y la segunda latitud celeste. Ambas se
miden en grados, minutos y segundos de arco.
Junto con los sistemas de referencia ecuatorial y eclı́ptico tienen relevancia
dos sistemas más: el horizontal y el horario. El sistema horizontal toma como
plano fundamental el plano del horizonte del observador. En la Figura 2.5
puede apreciarse cómo, para un observador situado en un punto O, el polo
norte (intersección con la esfera celeste del eje de rotación de la Tierra)
aparece sobre el horizonte con una elevación igual a la latitud geográfica del
ˆ = OCA
ˆ 2.
observador, es decir, HOP
La intersección de la lı́nea perpendicular en el punto O a la superficie
de la Tierra corta a la esfera celeste en un punto que llamamos cénit. Al
cı́rculo secundario que contiene al polo norte y el cenit se le llama meridiano
2
La Tierra no es perfectamente esférica, de manera que la lı́nea que une el centro de la
tierra con el observador y la lı́nea perpendicular a la superficie terrestre en el punto del
observador no son paralelas. Por eso es preciso distinguir entre la latitud geográfica y la
latitud geodésica. Omitiremos aquı́ esta discusión, irrelevante para nuestro propósito
10
2. Coordenadas y Tiempo
E
Ecliptica
γ
λ
β
Α
Figura 2.4 Coordenadas eclı́pticas
local. El meridiano local corta al horizonte en dos puntos, que son los puntos
cardinales norte y sur.
Los astros parecen girar alrededor del polo norte. En la Figura 2.6 pueden
verse punteadas dos de estas trayectorias. Si el astro está lo suficientemente
cerca del polo, siempre se mostrará sobre el horizonte. Es la trayectoria que
hemos nombrado como e. Si llamamos ϕ a la latitud del observador y z = 90−
δ al complemento de la declinación, llamado distancia polar, está claro que un
astro se encuentra siempre sobre el horizonte si su distancia polar es inferior
a la latitud del observador: z <= ϕ. Cuando no se cumple esta condición, el
astro describe su trayectoria aparente en parte sobre el horizonte y en parte
bajo él. Si un observador se sitúa mirando hacia el sur, los astros aparecen
hacia el este (punto a). A esta aparición se le llama orto. Después alcanzan
su máxima altura sobre el horizonte hacia el sur (punto b) y comienzan la
parte descendente hasta ocultarse de nuevo bajo el horizonte (punto c). A
esta última desaparición se le llama ocaso.
Las coordenadas horizontales se denominan acimut y altura y se escriben
(A, h). El acimut se mide desde el punto sur en sentido horario. La altura
desde el horizonte sobre el cı́rculo secundario que contiene al astro. Si imaginamos una superficie horizontal y una varilla perpendicular a esa superficie,
cuando el Sol tiene un acimut A la sombra de la varilla apunta en la dirección
1800 + A.
Existe un segundo sistema de referencia que usa como plano fundamental
el plano del ecuador. Se trata de las coordenadas horarias (H, δ). La ascensión
recta se sustituye por el ángulo horario, que es el ángulo formado por el plano
que contiene al polo y al astro y es perpendicular al plano ecuatorial y el
11
2.2. Relación entre los distintos sistemas
H
P
O
C
A
Figura 2.5 Altura del polo en el sistema horizontal
plano que contiene al polo y al cenit. Se mide en horas, minutos y segundos
en sentido horario, a partir del sur. En la Figura 2.7 se muestran las coordenas
horarias. El ángulo horario del astro D es el arco AC = ZPˆ D, mientras que
la declinación es δ = AD.
En este punto de nuestra discusión, podemos considerar que la Tierra gira
con velocidad angular uniforme, y que el punto γ es un punto fijo en la esfera
celeste. De esta forma, podemos usar el ángulo horario del punto γ, como
una medida del tiempo. Cada vez que el punto γ pase por el meridiano local,
ˆ es la ascensión
comienza un nuevo dı́a para el observador. Ahora bien, γA
recta del astro D, y se deduce de la Figura 2.7 la relación fundamental
T −α=H
(2.1)
donde T se denomina tiempo sidéreo y H y α son respectivamente el
ángulo horario y la ascensión recta del astro D.
2.2.
Relación entre los distintos sistemas
Aunque existe un método matricial compacto y habitual para expresar las
transformaciones de coordenadas entre sistemas de referencia girados uno respecto al otro, aprovechamos la deducción de las relaciones de la trigonometrı́a
esférica para escribir de forma directa las relaciones entre las coordenadas en
los sistemas horizontal, horario, ecuatorial y eclı́ptico.
12
2. Coordenadas y Tiempo
Z
P
e
b
E
a
N
S
O
W
Horizonte
c
Figura 2.6 Trayectorias aparentes de los astros
2.2.1.
Relación entre coordenadas horizontales y horarias
Consideremos de nuevo la Figura 2.7, donde P es el Polo, Z el cenit y D
un astro. El lado P Z es 90 − ϕ, el lado ZD es 90 − h y el lado P D es 90 − δ.
El ángulo en P es H, y el ángulo en Z es π − A. Partiendo de las relaciones
del seno, coseno y seno por coseno:
sen a sen B = sen A sen b
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
sen a cos B = cos b sen c − sen b cos c cos A
(2.2)
Nombrando los lados y ángulos del triángulo P ZD de forma que, en
relación con las ecuaciones anteriores, las coordenadas horizontales queden
en el primer miembro, es decir, haciendo A = P , B = Z y C = D, se sigue
sin más que sustituir:
cos h sen A = cos δ sen H
sen h = sen ϕ sen δ + cos ϕ cos δ cos H
cos h cos A = − sen δ sen ϕ + cos δ cos ϕ cos H
(2.3)
Si ahora tomamos A = Z y B = P , quedan en los primeros miembros las
coordenadas horarias:
13
2.2. Relación entre los distintos sistemas
Z
Meridiano local
P
D
Ecuador
C
e
E
N
S
O
A
Horizonte
W
γ
Ecuador
Q
Figura 2.7 Relación entre coordenadas horizontales y horarias
cos δ sen H = sen A cos h
sen δ = sen ϕ sen h − cos ϕ cos h cos A
cos δ cos H = sen h cos ϕ + cos h sen ϕ cos A
(2.4)
En la aplicación de estos conjuntos de fórmulas, se tendrá en cuenta que
cuando 0 <= A < π entonces también 0 <= H < π, como se ve en la figura.
2.2.2.
Relación entre coordenadas ecuatoriales y eclı́pticas
El razonamiento es similar, considerando ahora el triángulo esférico determinado por el astro D, el polo del ecuador P y el polo de la eclı́ptica Q.
Los lados y ángulos de este triángulo son los que se reflejan en la Figura 2.8
y las relaciones recı́procas entre las coordenadas vienen dadas por:
cos δ cos α = cos β cos λ
sen δ = sen β cos ǫ + cos β sen ǫ sen λ
− cos δ sen α = sen β sen ǫ − cos β cos ǫ sen λ
y
(2.5)
14
2. Coordenadas y Tiempo
cos β cos λ = cos δ cos α
sen β = sen δ cos ǫ − cos δ sen ǫ sen α
cos β sen λ = sen δ sen ǫ + cos δ cos ǫ sen α
(2.6)
P
90+α
ε
90−δ
90−λ
Q
90−β
D
Figura 2.8 Relación entre coordenadas ecuatoriales y eclı́pticas
Una vez resuelto el problema del paso de coordenadas horizontales a horarias y viceversa y el problema del paso de ecuatoriales a eclı́pticas, y viceversa,
queda la conexión entre las coordenadas horarias y ecuatoriales, ya que de
esta forma tenemos una ruta que permite pasar de cualquier sistema de coordenadas a cualquier otro. Esta conexión se establece a partir de la relación
fundamental T − α = H. Ahora bien, este T es el tiempo sidéreo, del que,
de momento, desconocemos su relación con el tiempo medido por nuestros
relojes, lo que motiva la discusión de las secciones siguientes.
2.3.
Tiempo sidéreo y tiempo solar
Como es sabido, las ecuaciones dinámicas de Newton de un sistema mecánico son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden respecto al tiempo. Si se dispone de una solución, quiere decirse que son funciones conocidas
del tiempo las variables que determinan la configuración del sistema. Fijando
un instante inicial como origen de tiempos, y con la condición de que esas
soluciones sean invertibles, podrı́amos obtener un valor de t para cada valor
de alguna de las variables dinámicas. Cuando alguna de estas variables puede medirse, el sistema puede usarse como reloj. Un caso conveniente ocurre
cuando la relación entre el tiempo t y una variable x es lineal
t = ax + b
(2.7)
2.3. Tiempo sidéreo y tiempo solar
15
El problema práctico se plantea entonces en los siguientes términos: encontrar un sistema (o construirlo a propósito) alguna de cuyas variables de
estado x dependa linealmente del tiempo t, que sea estable y reproducible,
de tal forma que las distintas copias que se construyan puedan sincronizarse entre sı́. La historia de un sistema de estas caracterı́sticas es la historia,
fascinante, de la cronometrı́a mecánica. Sin embargo, en lugar de que distintos observadores dispongan cada uno de un reloj sincronizado con otro que
se adopte como patrón existe la alternativa de que todos los observadores
usen el mismo sistema fı́sico para medir el tiempo. Y el más obvio de tales
sistemas, accesible para todos los observadores, es la Tierra.
Al aceptar que la Tierra gira con velocidad angular constante, sólo es
preciso elegir un punto fijo en el cielo. Cada vez que ese punto atraviese
el meridiano local, comenzará un dı́a. El punto elegido es el punto γ, y al
intervalo entre dos pasos sucesivos de γ por el meridiano local se llama dı́a
sidéreo. El ángulo horario de γ es entonces la medida numérica del tiempo
sidéreo: 150 equivalen a una hora sidérea.
Sin embargo, es el Sol la referencia más evidente para acompasar la vida
de los individuos y de las sociedades. ¿Porqué no elegir el paso del Sol por
el meridiano local para medir el tiempo? El problema es que la duración de
este dı́a solar no es constante, sino que varı́a a lo largo del año. En efecto,
en relación con la Figura 2.9, sea S el centro del Sol, O el centro de la
Tierra al inicio de un dı́a sidéreo y P el centro de la Tierra al inicio del
dı́a sidéreo siguiente. Eligiendo la dirección OS como dirección fija en el
espacio vemos que en el transcurso de una rotación terrestre la Tierra se ha
desplazado al punto P de su órbita. Se ha cumplido un dı́a sidéreo pero aún
resta una fracción de rotación igual al ángulo RPˆ Q para que se cumpla el
dı́a solar. Sabemos que aproximadamente el año tiene 365 dı́as, que en un
dı́a la Tierra recorre por término medio 3600 /365 y que ésto equivale a unos
cuatro minutos. El dı́a solar es por tanto unos cuatro minutos más largo que
el dı́a sidéreo.
Ahora bien, el movimiento de la Tierra en su órbita no es uniforme. El
ángulo RPˆ Q es mayor cerca del periapsis y menor en el apoapsis, de acuerdo
con la ley de las áreas y esto hace dificultosa la conversión de hora solar a
hora sidérea. Mientras que el tiempo sidéreo es uniforme 3 el tiempo solar no
lo es.
3
Prescindiremos de la prolija discusión sobre el movimiento del punto γ, que no es
sino aproximadamente fijo sobre la esfera celeste debido a los movimientos de nutación y
precesión del eje de la Tierra y a otros efectos menores
16
2. Coordenadas y Tiempo
R
P
Q
S
O
Figura 2.9 Tiempo sidéreo y tiempo solar
2.3.1.
Soles ficticios
Hemos dicho que de la observación del Sol verdadero no puede obtenerse
una medida uniforme del tiempo debido a que el movimiento de traslación
de la Tierra en su órbita es irregular. Podrı́amos entonces definir un Sol
medio que se moviese por la eclı́ptica con velocidad angular constante de tal
manera que coincidiese en el punto γ con el Sol verdadero cada vez que éste
pasase por dicho nodo. De esta forma, la longitud eclı́ptica del Sol medio λM
se corresponderı́a con la anomalı́a media (salvo una constante que tuviese
en cuenta la latitud del periapsis ω) del movimiento orbital de la Tierra,
mientras que la longitud eclı́ptica del Sol verdadero λv se corresponderı́a
con la anomalı́a verdadera. Sabemos que la anomalı́a media está relacionada
con la excéntrica a través de la ecuación de Kepler, y la excéntrica con la
verdadera v a través de la ecuación de la órbita 4
r=
a(1 − e2 )
= a(1 − e cos E)
1 + e cos v
(2.8)
Por tanto, es posible calcular en cada instante la diferencia λv − λM .
Ahora bien, existe una segunda causa que hace irregular el tiempo medio
medido a partir del Sol medio que acabamos de definir, y que llamaremos
primer Sol ficticio, y es que éste se mueve en la eclı́ptica, mientras que el
ángulo horario se mide sobre el ecuador, inclinado respecto a la primera. Es
preciso por este motivo introducir un segundo Sol ficticio, que coincide con
4
Véase cualquier tratado de Mecánica Celeste, o mi obrita sobre relojes
de Sol, de donde proviene la mayor parte de este capı́tulo introductorio, en
http://www.dfists.ua.es/~gil/libros.html
17
2.3. Tiempo sidéreo y tiempo solar
el Sol verdadero y con el primer Sol ficticio en el punto γ y que se mueve con
velocidad angular constante sobre el ecuador, no sobre la eclı́ptica. Es éste
segundo Sol ficticio el que se emplea para fabricar los relojes que regulan la
vida civil. El plan por tanto consiste en poner en relación el Sol verdadero
con el segundo Sol ficticio.
2.3.2.
Ecuación de tiempo
Se define la ecuación de tiempo como la diferencia entre los ángulos horarios de los soles medio y verdadero:
ET = HM − Hv
(2.9)
De la relación fundamental T = H + α = HM + αM = Hv + αv se sigue
ET = αv − αM = αv − λM
(2.10)
que a su vez se puede escribir como
ET = (λv − λM ) + (αv − λv ) = (v − M) + (αv − λv )
(2.11)
Al primer término se le llama ecuación del centro C y al segundo reducción
al ecuador R.
2.3.3.
Reducción al ecuador
De las relaciones (2.5) entre coordenadas ecuatoriales y eclı́pticas, teniendo en cuenta que la latitud eclı́ptica del Sol es cero:
tan α = cos ǫ tan λ
(2.12)
pero
cos ǫ = cos2
ǫ
ǫ
− sen2
2
2
(2.13)
o
cos ǫ
2 ǫ
=
1
−
tan
ǫ
cos2 2
2
(2.14)
ǫ
ǫ
+ sen2
2
2
(2.15)
y por otra parte
1 = cos2
de donde
18
2. Coordenadas y Tiempo
1
cos2
ǫ
2
= 1 + tan2
ǫ
2
(2.16)
En resumen
1 − tan2 2ǫ
cos ǫ
=
cos ǫ =
1
1 + tan2 2ǫ
(2.17)
Llamando
m = tan2
ǫ
2
(2.18)
tenemos finalmente
1−m
tan λ
1+m
ecuación que admite el desarrollo en serie
tan α =
(2.19)
m2
m3
sen(4λ) −
sen(6λ) + · · ·
(2.20)
2
3
Si aplicamos esta relación a la ascensión recta y longitud eclı́ptica del Sol
verdadero, tenemos para la reducción al ecuador la expresión
α = λ − m sen(2λ) +
αv − λv = −m sen(2λv ) +
2.4.
m3
m2
sen(4λv ) −
sen(6λv ) + · · ·
2
3
(2.21)
Ecuación del centro
Partiremos de la ecuación de Kepler, a la que aplicaremos un procedimiento iterativo. En efecto, de
E = M + e sen E
(2.22)
tomando en primera aproximación E (0) = M, las sucesivas aproximaciones se escriben
E (1) = M + e sen(E (0) )
E (2) = M + e sen(E (1) )
E (3) = M + e sen(E (2) ) · · ·
Ası́, para E (2) :
(2.23)
(2.24)
(2.25)
19
2.4. Ecuación del centro
E (2) = M + e sen(M + e sen(M))
(2.26)
Al desarrollar la ecuación anterior, advertimos que la excentricidad de la
órbita terrestre es muy pequeña y podemos tomar, en los términos que la
contengan, el seno por su arco e igualar el coseno a la unidad
e2
sen(2M)
2
(2.27)
El procedimiento puede extenderse, buscando sucesivas aproximaciones.
Hasta e3 se tiene
E (2) = M + e sen(M) + e2 sen(M) cos(M) = M + e sen(M) +
e2
3
e3
+· · ·) sen(M)+( +· · ·) sen(2M)+( e3 +· · ·) sen(3M)+· · ·
8
2
8
(2.28)
o mejor, agrupando los términos que contienen potencias iguales de e:
E = M +(e−
E = M + e sen(M) +
e2
sen(2M)
2
e3
(32 sen(3M) − 3 sen(M))
3! × 22
e4
+
(43 sen(4M) − 4 × 23 sen(2M))
3
4! × 2
e5
(54 sen(5M) − 5 × 34 sen(3M) + 10 sen(M))
+
5! × 24
e6
+
(65 sen(6M) − 6 × 45 sen(4M) + 15 × 25 sen(2M))
6! × 25
+···
(2.29)
+
Por otra parte, de (2.8)
√
!2
√
1 − e2 dM
dE
dv =
= 1 − e2
dM
(1 − e cos E)2
dM
(2.30)
Pero como ya disponemos de E(M), dada por (2.29), podemos√calcular
la derivada, elevar al cuadrado, multiplicar por el desarrollo de 1 − e2 ,
agrupando potencias iguales de e, e integrar. El resultado final es el siguiente:
5
v = M + 2e sen(M) + e2 sen(2M)
4
20
2. Coordenadas y Tiempo
e3
+ (13 sen(3M) − 3 sen(M))
12
e4
+ (103 sen(4M) − 44 sen(2M))
96
e5
(1097 sen(5M) − 645 sen(3M) + 50 sen(M))
+
960
e6
+
(1223 sen(6M) − 902 sen(4M) + 85 sen(2M))
960
+···
(2.31)
Estas series son rápidamente convergentes cuando e es pequeña, como es
el caso cuando hablamos de la órbita de la Tierra, pero divergen cuando e
excede el valor crı́tico de 0,6627, como demostró en primer lugar Laplace 5 .
Volviendo a la ecuación de tiempo, teniendo en mente la ecuación del centro podemos escribir la longitud verdadera del Sol en función de la longitud
media:
5
λv = λm + 2e sen(λm ) + e2 sen(2λm ) + · · ·
(2.32)
4
Sustituyendo esta ecuación en cada uno de los términos del segundo miembro de la reducción al ecuador, teniendo en cuenta que
λm = ω + M − 3600
(2.33)
y sumando ya la reducción al ecuador y la ecuación del centro, es posible
escribir la ecuación de tiempo en función de la anomalı́a media M. Aunque a
efectos prácticos tanto la inclinación de la eclı́ptica, de donde se obtiene m,
como la longitud del perihelio ω pueden tomarse como constantes, la realidad
es que varı́an lentamente. Posponemos hasta el final del presente capı́tulo
las expresiones que dan ambas cantidades en función del tiempo, pues es
preciso antes hablar del periodo juliano. No obstante, nos adelantamos a ese
momento y usamos las expresiones que aparecen allı́ para calcular la ecuación
de tiempo, que representamos en la Figura 2.10
2.5.
Tiempo civil
El segundo Sol ficticio por tanto nos proporciona un tiempo uniforme. Para un lugar dado, su ángulo horario en horas, minutos y segundos representa
5
F.R. Moulton An introduction to celestial mechanics
21
2.5. Tiempo civil
15
10
MINUTOS
5
0
−5
−10
−15
−20
0
50
100
150
200
DIA
250
300
350
400
Figura 2.10 Ecuación de tiempo
el valor de la hora solar media. Esta hora solar media puede ser útil para el
astrónomo, porque hace que las observaciones que se realicen a lo largo de
una misma noche pertenezcan todas al mismo dı́a. Pero en la vida civil es
preferible que el cambio de fecha se produzca de noche, ası́ que se define un
nuevo tiempo, el Tiempo Civil (TC) a partir del Tiempo Solar Medio (TSM)
como
T C = T SM ± 12H
(2.34)
La siguiente cuestin a resolver es que tanto el tiempo sidéreo como el
tiempo solar medio como el tiempo civil son tiempos locales. En un mismo
instante de tiempo, dos observadores situados en dos meridianos distintos
medirán tiempos distintos. La solución consiste en escoger un meridiano de
referencia: el ángulo horario del punto γ respecto a dicho meridiano proporciona el tiempo sidéreo para todos los observadores (todos los observadores
comparten el mismo reloj) y el ángulo horario del sol medio (segundo Sol
ficticio) respecto al meridiano de referencia, el que pasa por el Observatorio
de Greenwich, proporciona el tiempo solar medio y por tanto la hora civil,
que es la que marcan nuestros relojes de pulsera.
Pero en el diseño de un reloj de Sol es preciso conocer para cada instante
(civil) el ángulo horario local. ¿Qué relación existe entre la hora local y la
hora de referencia? Si λg es la longitud geográfica del lugar de observación,
expresada en horas, minutos y segundos, es claro que la primera se obtiene
22
2. Coordenadas y Tiempo
sumando λg a la segunda si la longitud del observador es Este, y restando si
es Oeste.
2.6.
El periodo Juliano
En primer lugar, es preciso no confundir el periodo o fecha juliana con el
calendario juliano, instaurado por Julio César en el año 46 a. de C. y vigente
hasta 1582, cuando fue sustituido por el calendario gregoriano. En el origen
de estas reformas del calendario se encuentra el hecho de que el periodo de
revolución de la Tierra alrededor del Sol no se expresa como un número entero
de dı́as medios, sino como un número fraccionario: aproximadamente 365,25.
El uso del calendario gregoriano, donde se indican año, mes, dı́a y hora
tiene la desventaja desde el punto de vista del astrónomo de que hace difı́ciles
los cálculos, y en particular el cómputo de los dı́as transcurridos entre dos
acontecimientos, más aún si el periodo transcurrido abarca épocas históricas
que incluyen reformas en el calendario. Por ejemplo, en 1582 se sustituyó el
calendario juliano por el gregoriano, suprimiéndose diez dı́as y modificándose
el cómputo de los años bisiestos.
Por estos motivos, José Escáliger propuso computar los dı́as simplemente
numerándolos sucesivamente a partir de uno adoptado como dı́a cero. El dı́a
juliano 6 0 comenzó a las 12 horas del dı́a 1 de enero de 4713 a. de C., fecha no
arbitraria, pero cuya justificación omitimos aquı́. En definitiva, cada vez que
el Sol medio cruza el meridiano, comienza un nuevo dı́a juliano. Por tanto,
existe un desfase de doce horas entre el inicio del dı́a civil y el inicio del
dı́a juliano. Cuando se pretende identificar con un número real un instante
determinado en el periodo juliano, se añade al dı́a juliano de la fecha que
corresponda la fracción de dı́a transcurrida. Pero debido al desfase indicado,
es preciso considerar el caso en que esta fracción es menor que medio dı́a y el
caso en que es mayor. En el que caso de que hayan transcurrido menos de 12
horas, es decir, si aún no se ha alcanzado el mediodı́a civil de la fecha que se
esté considerando, ese instante pertenece al dı́a juliano anterior, y por tanto
habrá que sumarle al dı́a juliano anterior medio dı́a (la tarde anterior) más la
fracción de dı́a. En caso de que la hora sea posterior al mediodı́a, será preciso
restarle a la fracción las doce horas de la mañana. En definitiva, en cualquier
de los dos casos:
DJh = DJm + f − 0,5
6
(2.35)
José Escaliger bautizó a su escala como periodo juliano en honor a su padre, Julio
Escáliger
2.7. Tiempo sidéreo a 0h de tiempo universal
23
donde DJh es el dı́a juliano para la hora h, DJm el dı́a juliano a mediodı́a
de la fecha que se considere y f la fracción de dı́a transcurrida desde la
medianoche. Existen algoritmos, unos más evidentes y otros menos, para
calcular el dı́a juliano correspondiente a una fecha del calendario gregoriano.
El más sencillo haya en primer lugar el dı́a juliano correspondiente al primer
dı́a del año, y luego suma a esa cantidad el número de dı́as transcurridos
desde el comienzo del año. Sin necesidad de entrar en detalles, y sólo a tı́tulo
informativo, el siguiente código en lenguaje C calcula DJm para una fecha
del calendario gregoriano:
int djm(int anio, int mes, int dia)
{
int DJM,a,y,m;
a=(14-mes)/12;
y=anio+4800-a;
m=mes+12*a-3;
DJM=dia+(153*m+2)/5+365*y+y/4-y/100+y/400-32045;
return(DJM);
}
Nótese que usamos aritmética entera y que suponemos que el tipo entero
es de un número de bits suficiente para representar los valores de DJM. El
valor devuelto por la función es el del dı́a juliano que comienza a mediodı́a
de la fecha del calendario gregoriano 7 . Esta rutina indexa los meses desde 1,
al igual que los dı́as; otras rutinas indexan desde 0. En definitiva, es preciso
saber en cada caso qué se está calculando exactamente.
2.7.
Tiempo sidéreo a 0h de tiempo universal
Lo importante es que tanto el tiempo sidéreo como el dı́a juliano, que se
basa en el Sol medio (segundo Sol ficticio) son escalas uniformes de tiempo
8
. Por consiguiente, la relación entre ellas es una relación lineal. Dicho de
otra forma, para cualquier intervalo fı́sico de tiempo la medición del mismo
mediante la escala de tiempo sidéreo y la medición mediante la escala de
tiempo medio están siempre en una proporción constante. Si denominamos
7
La aclaración es pertinente, porque otros algoritmos lo que ofrecen es el instante
juliano en el comienzo (0 horas) del dı́a del calendario gregoriano, y por tanto difiere del
que calculamos en la función djm() en medio dı́a
8
A efectos prácticos.
24
2. Coordenadas y Tiempo
IS al intervalo sidéreo e IM al intervalo medio, se deduce de las observaciones
que
IS = 0,99726957 × IM
IM = 1,00273790 × IS
(2.36)
Ası́ que es el tiempo sidéreo a 0h de tiempo universal el que nos permite pasar de coordenadas ecuatoriales a coordenadas horarias. Puesto que el
tiempo sidéreo y el tiempo medio se relacionan linealmente (al ser ambas escalas de tiempo uniforme), una relación lineal será la que proporcione el valor
que necesitamos. De las observaciones se deduce la expresión siguiente, que
contiene un término cuadrático debido a que, en rigor, el punto γ no es un
punto fijo sobre la esfera celeste, sino que está afectado por los movimientos
de precesión y nutación:
θ0 = 990,6909833 + 360000,7689 × U + 00 ,00038708 × U 2
(2.37)
con
DJh − 2415020,0
(2.38)
36525
Parece necesario terminar esta sección con un ejemplo numérico. Calcularemos el tiempo sidéreo de Greenwich y el tiempo sidéreo local de un punto
de longitud geográfica λ = 370 12′44′′ Oeste a las 14h 33m 27s de hora civil
del dı́a 1 de enero de 1971.
En primer lugar, es preciso tener en cuenta que la rutina djm() proporciona el dı́a juliano que comienza a las 12 horas de la fecha gregoriana que se
considere. En la ecuación (2.38), por tanto, DJh = DJm − 0,5. Con esta precaución, de (2.37) obtenemos un valor para θ0 , que reducimos restando 3600
tantas veces como sea preciso hasta que 00 <= θ0 < 3600 . Transformamos
los grados resultantes en horas y fracción dividiendo por 15 y tenemos
U=
θ0 = 6,666146
(2.39)
Este es el tiempo sidéreo a 0 horas de tiempo universal en la fecha considerada. Se pide la hora sidérea a 14h 33m 27s de hora civil. Escribimos
esta hora en forma de horas y fracción de hora, multiplicamos por el factor
0,99726957 para obtener el intervalo sidéreo transcurrido desde la medianoche y sumamos el resultado a la hora sidérea de la medianoche civil. El
resultado es la hora sidérea que buscamos:
2.7. Tiempo sidéreo a 0h de tiempo universal
T = 21,183898
25
(2.40)
equivalente a 21h 11m 2s. Respecto al punto de longitud geográfica λ =
37 ,212222, teniendo en cuenta que la tierra gira en 24 horas sidéreas, transformando la longitud en tiempo: λ = 2,480815 horas sidéreas, que hemos de
restar (longitud Oeste) de la hora sidérea en Greenwich para obtener su hora
local, que resulta ser de T = 18,703083 horas sidéreas, o 18h 42m 11s.
Resumiendo, para un lugar de longitud geográfica dada, a hora civil dada
(la hora del reloj de pulsera) podemos calcular la hora sidérea local, y a partir
de ella y la ascensión recta del astro su ángulo horario. La transformación
entre coordenadas horarias y horizontales nos proporciona la altura y acimut
del astro.
Para finalizar damos a modo de referencia las expresiones para la inclinación de la eclı́ptica y la longitud del perihelio, usadas en el cálculo de la
ecuación de tiempo y que pospusimos hasta este momento porque era preciso
hablar del periodo juliano. Son éstas:
0
ǫ = 230 ,452294 − 00 ,130125 × 10−1 U − 00 ,163889 × 10−5 U 2 + · · ·
ω = 2810 ,220833 + 10 ,719175U + 00 ,452778 × 10−3U 2 + · · ·
(2.41)
26
2. Coordenadas y Tiempo
Capı́tulo 3
Condiciones generales de los
eclipses de Sol
3.1.
Geometrı́a básica
La Figura 3.1 muestra la geometrı́a básica de cualquier eclipse. Hemos
representado por S el centro del Sol y por L el centro de la Luna, considerados
como cuerpos esféricos. Puesto que el fenómeno tiene simetrı́a de revolución
en torno al eje que une ambos centros, podemos razonar sobre el plano.
Las circunferencias que representan al Sol y a la Luna tienen dos pares de
tangentes: dos tangentes externas y dos tangentes internas. Las tangentes
externas tocan en puntos como m y n y determinan un vértice V que se
encuentra fuera del segmento que une los centros de ambos cuerpos. Estas
tangentes generan un cono llamado cono de sombra. Las tangentes interiores
tocan en puntos como c y d y determinan un vértice W que se encuentra
entre los centros del Sol y la Luna. Generan un cono que se llama cono de
penumbra.
Un observador situado sobre el eje, en un punto intermedio entre L y
V , observará un eclipse total de Sol. Si se encuentra sobre el eje pero a una
distancia del centro de la Luna mayor que la de V , observará un eclipse anular
de Sol, puesto que el tamaño aparente de éste será entonces mayor que el de
la Luna. Si el observador se encuentra en cualquier punto interior al cono de
sombra, a una distancia de la Luna inferior a la del vértice V , observará un
eclipse total de Sol. Finalmente, desde un punto interior al cono de sombra
pero a una distancia superior al centro de la Luna de la que se encuentra el
vértice, observará un eclipse anular asimétrico, puesto que los centros del Sol
y la Luna no se le aparecerán alineados.
Cuando el vértice V toca a la Tierra exactamente en un punto, desde ese
27
28
3. Condiciones generales de los eclipses de Sol
K
A
m
c
n
W
S
V
L
d
B
X
Figura 3.1 Geometrı́a básica
punto, y sólo desde él, se observará un eclipse total de Sol. Pero si el cono
de sombra intersecta a la esfera terrestre de tal forma que V sea interior a
esa esfera, la intersección del cono con la esfera determinará un área sobre la
superficie terrestre desde la que el eclipse será observado. Esto no ocurrirı́a si
la longitud del segmento LV fuese tal que V nunca llegase a tocar al menos
a la esfera terrestre.
R
b
S
r
L
a
V
Figura 3.2 Longitud del cono de sombra
De acuerdo con la Figura 3.2, si R es el radio del Sol y r el radio de la
Luna, y si llamamos a a la longitud del segmento LV y b a la longitud del
segmento SL, es claro que
R
r
=
a
a+b
de donde
(3.1)
29
3.1. Geometrı́a básica
rb
(3.2)
R−r
valor que resulta ser un poco menor que la distancia exacta a la que
el vértice V tocarı́a la superficie de la esfera terrestre. Pero debido a las
excentricidades de las órbitas de Tierra y Luna, ocasionalmente se produce
este contacto, y aún la intersección del cono con la superficie terrestre.
Es obvio que si los centros del Sol y la Luna coinciden estamos ante un
eclipse total o anular. Si están separados una distancia angular inferior a la
suma de los semidiámetros respectivos estaremos ante un eclipse parcial, y
si esta separación es superior a la suma de los semidiámetros no habrá superposición entre los discos del Sol y la Luna y no se producirá un eclipse.
Formalizaremos estas ideas y para ello razonamos sobre la Figura 3.3.
a=
L
Q
P
S
η
T
Figura 3.3 Contacto del cono de penumbra con la Tierra
Sean T , L y S los centros respectivamente de la Tierra, la Luna y el
Sol. Llamaremos d a la distancia Tierra-Luna y D a la distancia TierraSol. R es el radio del Sol y r el radio de la Luna. Sin que pueda existir
ambigüedad, llamamos también S = R/D al semidiámetro del Sol y s = r/d
al semidiámetro de la Luna. Finalmente, sea rT el radio de la Tierra y sean
P = rT /D el paralaje del Sol y p = rT /d el paralaje de la Luna. Los puntos
Q y P son las tangentes de la generatriz del cono de penumbra con el Sol y la
Tierra y suponemos que la lı́nea T P es perpendicular a la lı́nea T S. Tomamos
la primera como eje z de nuestro sistema de referencia, y la segunda como
eje x. La separación angular entre los centros de la Luna y el Sol, observados
desde el punto T , es η.
La lı́nea z(x) que pasa por los puntos P y Q tiene ecuación
30
3. Condiciones generales de los eclipses de Sol
R − rT
x + rT
(3.3)
D
Una vez establecidos todos estos puntos, se ve que la condición para que
el disco de la Luna oculte al menos parcialmente al disco del Sol es que sea
z(x) =
d sen η − r <= z(d cos η)
(3.4)
η <S−P +s+p
(3.5)
Si suponemos que es sen η ≃ η y que cos η ≃ 1, se sigue de las definiciones
anteriores la condición:
Nos servimos de la Figura 3.4 para razonar de forma similar, pero sobre
el cono de sombra en lugar de sobre el cono de penumbra. El punto P es
ahora un punto desde el que se observa un eclipse total de Sol. La recta que
contiene a los puntos P y Q tiene ahora por ecuación:
R + rT
x + rT
D
y de la ecuación (3.4) se sigue ahora que
z(x) = −
(3.6)
η <= −S − P + s + p
(3.7)
P
L
η
S
T
Q
Figura 3.4 Contacto del cono de sombra con la Tierra
En la Figura 3.5 se representa la generatriz del cono de penumbra, lı́nea
P Q. La separación angular entre los centros del Sol y la Luna es el ángulo
en LT̂ S, que hemos llamado η. Si llamamos Z y z a las distancias cenitales
31
3.2. Lı́mites de latitud eclı́ptica
geocéntricas del Sol y la Luna respectivamente, vemos que η = Z − z. Si
llamamos j al ángulo P L̂T , siendo QP̂ L el semidiámetro de la Luna:
π
− s)
(3.8)
2
Por otra parte, como la lı́nea P M es perpendicular a P L, el ángulo T P̂ M
es precisamente el semidiámetro de la Luna. Entonces:
j =z−(
rT cos s
≃ sen p cos s
d
Ası́ pues (razonando de igual forma respecto al Sol)
j ≃ sen j ≃ tan j =
π
− s − sen−1 (sen p cos s)
2
π
Z =
− S − sen−1 (sen P cos S)
2
(3.9)
z =
(3.10)
de donde finalmente,
η = Z − z = s − S + sen−1 (sen P cos S) − sen−1 (sen p cos s)
(3.11)
L
P
Q
S
T
M
Figura 3.5 Contacto del cono de penumbra con la Tierra
3.2.
Lı́mites de latitud eclı́ptica
Si el plano de la órbita de la Luna fuese el mismo plano que el de la órbita
de la Tierra, se darı́a un eclipse de Sol en cada revolución lunar (y uno de
32
3. Condiciones generales de los eclipses de Sol
Luna). Pero ocurre que el plano de la órbita de la Luna se encuentra inclinado respecto al de la Tierra, de manera que cuando coinciden las longitudes
eclı́pticas de la Luna y el Sol la latitud eclı́ptica de la Luna puede ser tal que
su disco no se superponga con el disco solar. Esto motiva un estudio de entre
qué lı́mites de latitud eclı́ptica de la Luna pueden darse los eclipses solares,
y es el motivo de esta sección.
B
L
λ
N
β
A
S
Figura 3.6 Conjunción en longitud eclı́pitca del Sol y la Luna
En la Figura 3.6, el cı́rculo que contiene a NA es la eclı́ptica, y el cı́rculo
que contiene a NB es la órbita de la Luna. N es el nodo de dicha órbita,
y en la figura se representa el instante en que los centros del Sol, S, y la
Luna, L, tienen la misma longitud eclı́pitca, pero distinta latitud. Es claro
que el eclipse sólo se puede producir en las cercanı́as del nodo N, y nuestro
propósito es establecer cuantitativamente esas cercanı́as.
En el triángulo esférico NSL, siendo i la inclinación del plano de la órbita
lunar respecto a la eclı́pitca (es decir, i es igual al ángulo en N), de las
relaciones de la trigonometrı́a esférica que involucran tres lados y dos ángulos
se sigue:
sen NL cos i = cos β sen λ
(3.12)
y aplicando la relación del seno
sen NL sen i = sen β
(3.13)
sen λ = tan β cot i
(3.14)
se sigue que
33
3.2. Lı́mites de latitud eclı́ptica
Presuponiendo razonablemente que el triángulo esférico NSL es pequeño
y que con buena aproximación se puede asimilar a uno plano, consideremos
la situación de la Figura 3.7.
L
P
Q
X
N
M
R
S
Figura 3.7 Mı́nima distancia angular Sol-Luna
Cuando la Luna se encuentra en el nodo N el Sol se encuentra en el punto
M. En un momento posterior, la Luna se ha movido en su órbita hasta el
punto P y el Sol ha avanzado hasta R. Finalmente, cuando Sol y Luna tienen
la misma longitud eclı́ptica, el primero se encuentra en S y la segunda en L.
Puesto que estamos interesados en las posiciones relativas de Sol y Luna, la
situación es equivalente a la que tendrı́amos si el Sol se encontrase fijo en el
punto S y la Luna no se desplazase a lo largo de la lı́nea NP L que forma una
inclinación i con la eclı́ptica, sino a lo largo de la lı́nea RQL de inclinación
i′ , de tal forma que la distancia RS es la misma que la distancia NM. Pero
tan i =
LS
NS
(3.15)
tan i′ =
LS
RS
(3.16)
NS
tan i
RS
(3.17)
mientras que
de donde
tan i′ =
Ahora bien
34
3. Condiciones generales de los eclipses de Sol
con
NS
NS
q
=
=
RS
NS − MS
q−1
(3.18)
NS
(3.19)
MS
Pero veamos que NS y MS son los incrementos respectivos en longitud
eclı́pitca de la Luna y el Sol, incrementos que se adquieren en el mismo intervalo de tiempo, luego q es la razón entre las velocidades de los movimientos
en longitud de la Luna y el Sol.
Por otro lado, se ve en la Figura 3.7 que la mı́nima distancia entre el Sol
y la Luna se da cuando ésta se encuentra en el punto X de la trayectoria
relativa RQL, siendo SX perpendicular a RL. Pero de la semejanza entre
los triángulos RXS y SRL es claro que el ángulo X ŜL es precisamente i′ y
que la distancia mı́nima SX es
q=
η = β cos i′
(3.20)
que combinada con (3.5) para un eclipse parcial nos da
β <= (S − P + s + p) sec i′
(3.21)
Por otra parte, siendo tan β función creciente, de (3.14) y la anterior se
sigue
λ <= sen−1 (tan β cot i)
(3.22)
Ninguno de los términos en los segundos miembros de la condiciones que
acabamos de expresar para β y λ son constantes. Ası́, S varı́a entre 15′ 46′′
y 16′ 18′′ ; s varı́a entre 14′ 41′′ y 16′ 45′′ ; p varı́a entre 53′ 53′′ y 61′27′′ ; q entre
10,9 y 16,2 e i entre 4o 59′ y 5o 18′ , con lo cual i′ se ve que oscila entre 5o 18′
y 5o 50′ . Para P se puede tomar el valor de 9′′ .
Si en (3.21) tomamos los valores mı́nimos de S, s, p e i′ obtenemos un
lı́mite inferior βmin , de forma que puede asegurarse que ocurrirá eclipse si
β < βmin . De la misma forma, eligiendo los valores máximos de S, s, p
e i′ obtenemos un valor βmax , de tal forma que podemos asegurar que no
ocurrirá eclipse si β > βmax . Una discusión similar puede hacerse respecto a
los eclipses totales.
De todo esto puede deducirse el número máximo y mı́nimo de eclipses
que tendrán lugar a lo largo de un año. En efecto, la longitud eclı́ptica del
Sol ha de ser inferior a unos 18o 27′ , lo que da un intervalo centrado en el
nodo de unos 36o 54′ . Ahora bien, el Sol se separa del nodo unos 30o por mes
3.3. El Saros
35
sinódico, luego se encuentra en el intervalo de los 36o54′ al menos una vez
cuando coincide en longitud eclı́ptica con la Luna. En los casos favorables,
la conjunción se producirá dos veces. Ocurrirá igual en el otro nodo, luego
en el periodo en que el Sol pasa dos veces por el mismo nodo se producirán
entre dos y cuatro eclipses.
Ahora bien, el Sol se mueve en sentido directo y el nodo en sentido
retrógrado, por lo que el periodo antedicho es inferior al año, aproximadamente de 346 dı́as. Por tanto, en condiciones favorables aún podrá darse
un quinto eclipse antes de que finalice el año.
En resumen, cada año se producirán un mı́nimo de dos eclipses y un
máximo de cinco.
3.3.
El Saros
El perı́odo Saros fue ya conocido por los astrónomos caldeos. Hemos dicho que la condición para que se produzca un eclipse es que el Sol y la Luna
se encuentren cerca del nodo. Supongamos que en un momento dado Sol y
Luna se encuentran justamente en el nodo. A partir de ese momento, el Sol
se mueve en sentido directo, completando una revolución sidérea en 365.25
dı́as medios. Por su parte, los nodos de la órbita lunar retrogradan completando una revolución en 6798.3 dı́as medios. Por tanto, el Sol volverá a
coincidir con el nodo al cabo de 346.26 dı́as medios. El periodo entre dos
lunas nuevas consecutivas es de 29.53 dı́as. Diecinueve pasos del Sol por el
nodo que hemos tomado como referencia son 6585.8 dı́as, mientras que 223
lunaciones son 6585.3 dı́as. Quiere decir esto que al cabo de 6585 dı́as y un
poco más se repetirá la situación de partida, coincidiendo el Sol y la Luna en
el nodo en una situación muy similar a la inicial, reproduciéndose el eclipse
que tuvo lugar 6585 dı́as antes aproximadamente, que son 18 años y 11 dı́as
(aproximadamente).
Si anotamos las fechas y circunstancias de los eclipses producidos a partir
de uno dado durante los 18 años y 11 dı́as siguientes, obtendremos una serie
que se reproducirá aproximadamente durante los siguientes perı́odos Saros.
Ası́, el eclipse del 17 de abril de 1912 fue la repetición de los que ocurrieron
el 5 de abril de 1894, el 25 de marzo de 1876, el 15 de marzo de 1858... y
ası́ hasta el 25 de mayo de 1389, en que ocurrió por primera vez.
Estas reproducciones no son en número indefinido debido a que el paso
del Sol por el nodo y la lunación no son perı́odos exactamente conmensurables. Además, intervienen cantidades como paralajes y semidiámetros que
varı́an con perı́odos distintos que tampoco son conmensurables. Sucede que
ocurre un cierto eclipse de Sol para unas determinadas posiciones de Sol y
36
3. Condiciones generales de los eclipses de Sol
Luna respecto a un nodo. Al cabo de un Saros dicha posición se repite, pero
más cercana al nodo, y ası́ sucesivamente en Saros siguientes, hasta llegar al
nodo y rebasarlo. El eclipse continúa repitiéndose en Saros sucesivos, pero el
paulatino alejamiento de los astros del nodo termina por hacer imposible el
eclipse.
Cada serie de eclipses comienza con un eclipse parcial y de escasa duración, siendo sólo visible en las inmediaciones de un polo terrestre. En los Saros
siguientes los eclipses de esa serie van siendo de mayor duración, aún parciales, y se extienden a latitudes más bajas. Más tarde se manifestará como
total o anular y a partir de ese momento se producirá hacia latitudes cada
vez más cercanas al polo opuesto en cuyas inmediaciones se originó la serie.
Los últimos eclipses de la serie son parciales y de escasa duración. Un eclipse
puede repetirse 60 o 70 veces en otros tantos Saros sucesivos.
Capı́tulo 4
Ecuaciones fundamentales
Más adelante trataremos las circunstancias en que un eclipse será observado en un punto dado, respondiendo a preguntas como cuál será la hora
de comienzo y final, en qué puntos se tocarán los limbos del Sol y la Luna,
qué fracción del disco solar se verá oscurecida, cuánto durará el eclipse y a
qué hora se producirá el máximo, etc. Pero aquı́ no nos interesaremos por un
eclipse como fenómeno local, sino como un suceso a escala planetaria, y de
esta manera nos plantearemos y daremos respuesta a preguntas tales como:
en qué punto de la Tierra se producirá el contacto con el cono de sombra
o penumbra, y a qué hora; en qué zona se prodrá observar el eclipse en un
momento dado; en qué parte de la superficie de la Tierra se podrá observar
en algún momento, en qué puntos se observará el primer o último contacto
al orto o al ocaso del Sol, qué trayectoria sobre la superficie seguirá la intersección del eje de sombra con la Tierra, cuales serán las lı́neas lı́mite norte y
sur entre las cuales en algún momento se podrá observar el eclipse, etc.
4.1.
Posición del eje de sombra
El eje de sombra, que es aquél que une los centros de la Luna y el Sol,
corta a la esfera celeste en el punto en que un observador situado en el
centro de la Luna observarı́a el centro del Sol. Sea S el centro del Sol, L
el centro de la Luna y T el centro de la Tierra. En relación con la Figura
4.1, consideremos un sistema ecuatorial rectangular geocéntrico, tal que el
eje x de dicho sistema se dirige hacia el punto γ, el eje y hacia el punto del
ecuador cuya ascensión recta es del 90o y el eje z perpendicular a ambos.
En este sistema, las coordenadas esféricas de la Luna son (αL , δL , r), y las
coordenadas esféricas del Sol (α, δ, R), de donde se siguen las coordenadas
rectangulares:
37
38
4. Ecuaciones fundamentales
xL = r cos δL cos αL
yL = r cos δL sen αL
zL = r sen δL
(4.1)
X = R cos δ cos α
Y = R cos δ sen α
Z = R sen δ
(4.2)
S
z
L
T
x γ
y
Figura 4.1 Intersección del eje de sombra con la esfera celeste
Sea un sistema rectangular selenocéntrico, paralelo al anterior. En este
sistema, las coordenadas esféricas del Sol son (a, d, G), de forma que las
coordenadas rectangulares del Sol en el sistema selenocéntrico son
u = G cos d cos a
v = G cos d sen a
w = G sen d
Es claro entonces que
(4.3)
39
4.1. Posición del eje de sombra
G cos d cos a = R cos δ cos α − r cos δL cos αL
G cos d sen a = R cos δ sen α − r cos δL sen αL
G sen d = R sen δ − r sen δL
(4.4)
Aprovechamos ahora el hecho de que, en el eclipse, la diferencia entre
la dirección en que aparece la Luna (o el Sol) y el eje de sombra (dada por
(a, d)) es pequeña. Multiplicando la primera por sen α, la segunda por cos α y
restando, y multiplicando después la primera por cos α, la segunda por sen α
y sumando:
G cos d sen(a − α) = −r cos δL sen(αL − α)
G cos d cos(a − α) = R cos δ − r cos δL cos(αL − α)
G sen d = R sen δ − r sen δL
(4.5)
Llamando g = G/R y b = r/R
g cos d sen(a − α) = −b cos δL sen(αL − α)
g cos d cos(a − α) = cos δ − b cos δL cos(αL − α)
g sen d = sen δ − b sen δL
(4.6)
De las dos primeras se sigue que
tan(a − α) =
−n sen(αL − α)
1 − n cos(αL − α)
que admite el desarrollo en serie hasta segundo orden
(4.7)
1
n
n2
a−α =−
sen(α
−
α)
+
sen 2(αL − α)
L
sen 1′′
2 sen 1′′
!
(4.8)
donde
cos δL
(4.9)
cos δ
y el divisor sen 1′′ reduce los valores a segundos de arco.
Por otro lado, de las ecuaciones segunda y tercera de (4.6), teniendo en
cuenta que cos(a − α) ≃ 1 y que cos(αL − α) ≃ 1:
n=b
1
Ver Schaum: Manual de fórmulas y tablas matemáticas
40
4. Ecuaciones fundamentales
g cos d = cos δ − b cos δL
g sen d = sen δ − b sen δL
(4.10)
Multiplicando la primera por sen δ, la segunda por cos δ y restando:
g sen(d − δ) = −b sen(δL − δ)
(4.11)
Multiplicando la primera por cos δ, la segunda por sen δ y sumando:
g cos(d − δ) = 1 − b cos(δL − δ)
(4.12)
−b sen(δL − δ)
1 − b cos(δL − δ)
(4.13)
De donde
tan(d − δ) =
que admite el desarrollo en serie:
b
b2
d−δ =−
sen(δL − δ) +
sen 2(δL − δ)
sen 1′′
2 sen 1′′
4.2.
!
(4.14)
Distancia del observador al eje de sombra
La Figura 4.2 representa nuestro sistema de referencia geocéntrico fundamental. Este sistema viene determinado por el eje de sombra, cuya dirección
(a, d) hemos calculado anteriormente. EL plano π es perpendicular al eje de
sombra y contiene a los ejes x e y. De todos los infinitos planos que contienen al eje de sombra, elegimos aquel que contiene también al polo norte del
sistema ecuatorial, de forma que el eje z es paralelo al eje de sombra y el eje
y se encuentra en la intersección entre el plano π y este segundo plano que
contiene al eje de sombra y el polo. El eje x completa un sistema de referencia
directo.
El plano QQ′ es el plano del ecuador, sobre el que hemos representado el
punto γ, origen de las ascensiones rectas. La posición de la Luna viene dada
por L. Como es fácil de ver, la ascensión recta del punto X es 90o + a. De la
relación del coseno para el triángulo esférico P LX:
cos LX = cos LP cos P X + sen LP sen P X cos LP̂ X
(4.15)
41
4.2. Distancia del observador al eje de sombra
Z
P
L
Q’
r
π
Y
O
X
γ
Q
Figura 4.2 Sistema fundamental celeste
Pero LP = 90o − δL , P X = 90o y LP̂ X = 90o + a − αL . La coordenada
x de la Luna es entonces:
x = r cos LX = cos δL sen(αL − a)
(4.16)
De la misma forma, la coordenada y es
y = r cos LY
(4.17)
cos LY = cos LP cos P Y + sen LP sen P Y cos LP̂ Y
(4.18)
pero
donde LP = 90o − δL , P Y = d y LP̂ Y = 180o − (αL − a), con lo que
cos LY = sen δL cos d − cos δL sen d cos(αL − a)
(4.19)
z = r cos LZ
(4.20)
cos LZ = cos LP cos P Z + sen LP sen P Z cos LP̂ Z
(4.21)
Finalmente
pero
42
4. Ecuaciones fundamentales
y como es fácil de ver LP = 90o − δL , P Z = 90o − d y LP̂ Z = αL − a,
luego
cos LZ = sen δL sen d + cos δL cos d cos(αL − a)
(4.22)
En resumen
x = r[cos δL sen(αL − a)]
y = r[sen δL cos d − cos δL sen d cos(αL − a)]
z = r[sen δL sen d + cos δL cos d cos(αL − a)]
(4.23)
S
O
T
A
π
O’
Figura 4.3 Posición del observador
En la Figura 4.3, T es el centro de la Tierra y π el plano fundamental, tal
y como ha sido definido. El segmento SA determina el eje de sombra, siendo
A la proyección de dicho eje sobre el plano fundamental. Finalmente, O es
un punto de observación sobre la superficie de la Tierra y O ′ su proyección
sobre el plano fundamental.
Si las coordenadas del punto de observación son (ξ, η, θ), la distancia del
observador al eje de sombra es
∆2 = (x − ξ)2 + (y − η)2
(4.24)
siendo (x, y) las coordenadas de A sobre el plano fundamental. Esta ecuación puede escribirse en forma paramétrica de la forma
43
4.2. Distancia del observador al eje de sombra
∆ sen Q = x − ξ
∆ cos Q = y − η
(4.25)
Para encontrar las coordenadas del punto de observación tendremos en
cuenta la Figura 4.4 y llamaremos (ξ, η, ζ) a las coordenadas del punto de
observación, ϕ a la latitud geodésica del punto de observación, ϕ′ a la latitud
geocéntrica, ρ al radio del elipsoide terrestre en el punto de observación y µ
al tiempo sidéreo. O es el cenit del observador, y del triángulo esférico OP X
se sigue que
ξ = ρ cos OX = ρ(cos OP cos P X + sen OP sen P X cos P )
(4.26)
siendo OP = 90o − ϕ′ y P X = 90o . El ángulo en P es la diferencia entre
las ascensiones rectas de O y X. Como µ − α = H (ángulo horario del lugar
de observación) y O con P define el meridiano del lugar, H = 0 y α = µ
que es la ascensión recta del lugar. Por tanto, y como la ascensión recta del
punto X es 90 + a, cos P = cos(µ − a − 90) = sen(µ − a)
ξ = ρ cos ϕ′ sen(µ − a)
(4.27)
Z
P
O
ρ
π
Y
X
Figura 4.4 Posición del observador
44
4. Ecuaciones fundamentales
Meridiano
de Greenwich
γ
ω
µ
Meridiano
local
a
µ1
Punto Z
Figura 4.5 Relación entre algunos ángulos
Considerando igualmente el triángulo OP Y :
η = ρ cos OY
(4.28)
De la relación del coseno, teniendo en cuenta que OP = 90o − ϕ′ , P Y = d
y O P̂ Y = 180o + a − µ:
η = ρ(sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos(µ − a))
(4.29)
Finalmente, en el triángulo OP Z
ζ = ρ cos OZ
(4.30)
y teniendo en cuenta que P Z = 90o − d, OP = 90o − ϕ′ y Z P̂ O = µ − a:
ζ = ρ(sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos(µ − a))
(4.31)
En resumen
ξ = ρ cos ϕ′ sen(µ − a)
η = ρ(sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos(µ − a))
ζ = ρ(sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos(µ − a))
(4.32)
Si ahora definimos A y B mediante las ecuaciones
A sen B = ρ sen ϕ′
A cos B = ρ cos ϕ′ cos(µ − a)
(4.33)
4.3. Radios de los conos de sombra y penumbra
45
Podemos escribir
ξ = ρ cos ϕ′ sen(µ − a)
η = A sen(B − d)
ζ = A cos(B − d)
(4.34)
Finalmente, observando la Figura 4.5, µ − a es el ángulo horario del
punto Z. Si para un instante dado HZ es el ángulo horario de Z respecto al
meridiano origen y ω es la latitud oeste del lugar de observación, entonces el
ángulo horario de Z para el observador es
θ = µ − a = HZ − ω
4.3.
(4.35)
Radios de los conos de sombra y penumbra
Llamaremos:
D
d
S
s
R
r
rT
P
p
c
k
l
L
f
distancia Tierra-Sol
distancia Tierra-Luna
semidiámetro del Sol
semidiámetro de la Luna
radio del Sol
radio de la Luna
radio de la Tierra
paralaje del Sol
paralaje de la Luna
distancia del vértice del cono al plano principal
razón entre los radios de la Luna y del ecuador terrestre
radio del cono de sombra o penumbra en plano principal
radio del cono de sombra o penumbra en el plano z = ζ
ángulo del cono de sombra o penumbra
En la Figura 4.6, que representa el cono de sombra, l = EF , L = CD,
c = V F . También tenemos sen P = rT /D y sen p = rT /d, de donde d/D =
sen P/ sen p. Llamando P0 al paralaje medio del Sol y tomando como unidad
la distancia media Tierra-Sol, se tiene
d=
sen P0
sen p
(4.36)
46
4. Ecuaciones fundamentales
R = sen S
(4.37)
r = k sen P0
(4.38)
y
S
N
M
B
A
V
C D
E
F
π
Figura 4.6 Radio del cono de sombra
Entonces
SA − AN
sen S − k sen P0
SN
=
=
(4.39)
MS
MS
gd
donde hemos introducido g como la razón entre las distancias Luna-Sol y
Tierra-Luna. Si con la misma notación razonamos ahora sobre la Figura 4.7
para el cono de penumbra, tenemos que
sen f =
sen f =
SA + AN
sen S + k sen P0
SN
=
=
MS
MS
gd
(4.40)
47
4.3. Radios de los conos de sombra y penumbra
S
A
N
V
B
M
D
C
π
F
E
Figura 4.7 Radio del cono de penumbra
Si tomamos ahora como unidad el radio terrestre, tanto para el cono de
sombra como para el de penumbra
sen f =
MB
MV
(4.41)
Para el cono de sombra
c = V F = z − MV = z −
k
sen f
(4.42)
k
sen f
(4.43)
y para el cono de penumbra
c = V F = z + MV = z +
De aquı́ que el radio del cono en el plano fundamental sea
l = V F tan f = z tan f ∓ k sec f
(4.44)
48
4. Ecuaciones fundamentales
donde el signo menos se refiere al cono de sombra y el signo más al de
penumbra. A la altura del observador, el radio del cono es
L = (c − ζ) tan f = l − z tan f
(4.45)
Para el cono de penumbra, c − ζ es siempre positivo, y por tanto también
L es siempre positivo. Para el cono de sombra, c − ζ es negativo si el vértice
cae por debajo del plano del observador. En este caso se produce un eclipse
total y L es una cantidad negativa. Cuando el vértice del cono de sombra cae
por encima del plano del observador, L es positivo, y en este caso el eclipse
es anular. Por brevedad, llamaremos i = tan f .
4.4.
Expresión analı́tica de la condición de
principio o fin del eclipse
Comenzará o terminará un eclipse en un punto cuando su distancia al eje
de sombra sea igual al radio del cono en el plano paralelo al fundamental que
contiene al punto, es decir, cuando
∆=L
(4.46)
(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2
(4.47)
o lo que es igual
que puede escribirse en la forma paramétrica
x − ξ = (l − iζ) sen Q
y − η = (l − iζ) cos Q
(4.48)
(4.46) es la ecuación fundamental de la teorı́a de eclipses. Las cantidades
(a, d, x, y, l, i) pueden ser calculadas mediante las fórmulas anteriores. Son
independientes del lugar de observación y es conveniente tabularlas a intervalor desde unas horas antes hasta unas horas después de la conjunción en
longitud del Sol y la Luna. A partir de esta tabla, por interpolación, pueden
calcularse para cualquier instante intermedio. A estos elementos se les conoce
como elementos Besselianos del eclipse y son publicados, por ejemplo, en la
Efemérides del Observatorio de San Fernando (donde en lugar de la ascensión
recta del punto Z se da el ángulo horario para Greenwich).
Capı́tulo 5
Previsión general de eclipses
solares
5.1.
5.1.1.
Intersección del cono con la superficie terrestre
Tratamiento clásico
La lı́nea de intersección del cono con la superficie de la Tierra contiene a
todos los puntos desde los cuales pueden verse los limbos del Sol y la Luna
en contacto. Nótese que esto es válido tanto para el cono de sombra como
para el cono de penumbra.
La distancia de tales puntos al eje de sombra es igual al radio del cono
en el plano paralelo al fundamental que contiene al observador. Tendremos
por tanto:
(l − iζ) sen Q = x − ξ
(l − iζ) cos Q = y − η
(5.1)
siendo θ = µ − a = HZ − ω, recordemos que
ξ = ρ cos ϕ′ sen θ
η = ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos θ
ζ = ρ sen ϕ′ sen d + ρ cos ϕ′ cos d cos θ
(5.2)
Las cinco ecuaciones anteriores involucran a las seis variables (ξ, η, ζ, ϕ′, θ,
Q), una de las cuales puede ser tomada como parámetro. Para cada valor
49
50
5. Previsión general de eclipses solares
del parámetro, las ecuaciones anteriores determinan al resto de variables.
Tomaremos Q como parámetro. En la forma en que están escritas, aparece la
cantidad ρ(ϕ′ ) 1 . Se puede despreciar el achatamiento tomando en primera
instancia ρ = 1 y obteniendo de esta forma un valor aproximado de ϕ′ .
Una vez conocida la latitud geocéntrica volvemos al principio calculando con
ρ(ϕ′ ). El procedimiento puede iterarse hasta que dos valores sucesivos de ρ
difieran en una cantidad inferior a una dada.
Este proceso puede evitarse siguiendo las transformaciones dadas por Bessel que permiten tener en cuenta el achatamiento desde el principio. Consisten
simplemente en introducir los resultados conocidos:
ρ cos ϕ′ = cos ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2
ρ sen ϕ′ = (1 − e2 ) sen ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2
tan ϕ′ = (1 − e2 ) tan ϕ
(5.3)
donde se ha tomado como unidad el radio ecuatorial. Bessel introdujo
algunos cambios de variable que permitiesen escribir las ecuaciones en una
forma más sencilla y simétrica. En primer lugar, introduciendo ϕ1 a partir
de
se tiene
cos ϕ1 = cos ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2
sen ϕ1 = (1 − cos2 ϕ1 )1/2 = (1 − e2 )1/2 sen ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2
(5.4)
(5.5)
con lo cual
ρ cos ϕ′ = cos ϕ1
ρ sen ϕ′ = (1 − e2 )1/2 sen ϕ1
(5.6)
Las ecuaciones (5.2) se escriben ahora:
ξ = cos ϕ1 sen θ
η = sen ϕ1 (1 − e2 )1/2 cos d − cos ϕ1 sen d cos θ
ζ = sen ϕ1 (1 − e2 )1/2 sen d + cos ϕ1 cos d cos θ
1
(5.7)
Véase en el apéndice la relación entre latitud geocéntrica, a la que estamos llamando
ϕ , y latitud geodésica, definida a partir de la normal al elipsoide terrestre en el punto de
observación y que aquı́ llamaremos ϕ
′
5.1. Intersección del cono con la superficie terrestre
51
Introduzcamos ahora las variables (ρ1 , ρ2 , d1 , d2 ) mediante las ecuaciones
ρ1 sen d1
ρ2 cos d2
ρ1 cos d1
ρ2 sen d2
=
=
=
=
sen d
cos d
(1 − e2 )1/2 cos d
(1 − e2 )1/2 sen d
(5.8)
con lo cual
ξ = cos ϕ1 sen θ
η = ρ1 sen ϕ1 cos d1 − ρ1 cos ϕ1 sen d1 cos θ
ζ = ρ2 sen ϕ1 sen d2 + ρ2 cos ϕ1 cos d2 cos θ
(5.9)
Pongamos ahora η1 = η/ρ1 y definamos ζ1 a partir de la ecuación
ξ 2 + η12 + ζ12 = 1
(5.10)
ξ = cos ϕ1 sen θ
η1 = sen ϕ1 cos d1 − cos ϕ1 sen d1 cos θ
ζ1 = sen ϕ1 sen d1 + cos ϕ1 cos d1 cos θ
(5.11)
o lo que es igual:
La cantidad ζ1 difiere tan poco de ζ que puede sustituirse la una por la
otra en el término iζ. Pero si se desea mayor precisión, puede recuperarse ζ
una vez conocido ζ1 . En efecto, de la segunda y la tercera de (5.11)
cos ϕ1 cos θ = −η1 sen d1 + ζ1 cos d1
sen ϕ1 = η1 cos d1 + ζ1 sen d1
(5.12)
que sustituidos en ζ dan
ζ = ρ2 ζ1 cos(d1 − d2 ) − ρ2 η1 sen(d1 − d2 )
(5.13)
52
5. Previsión general de eclipses solares
El problema tiene ahora la forma:
(l − iζ) sen Q = x − ξ
(l − iζ) cos Q = y − η
ξ 2 + η12 + ζ12 = 1
(5.14)
que para un valor de Q determinan (ξ, η1, ζ1 ). Una vez conocidos estos,
las ecuaciones
cos ϕ1 sen θ = ξ
cos ϕ1 cos θ = −η1 sen d1 + ζ1 cos d1
sen ϕ1 = η1 cos d1 + ζ1 sen d1
(5.15)
proporcionan (ϕ1 , θ) con los cuales se encuentran la latitud y longitud del
punto correspondiente al valor de Q mediante
tan ϕ = (1 − e2 )1/2 tan ϕ1
ω = HZ − θ
(5.16)
Una vez establecido el plan, procedemos en primer a resolver (5.14). De
la primera y la segunda
ξ = x − l sen Q + iζ1 sen Q
y
l cos Q iζ1
y
l cos Q
η1 =
−
+
cos Q ≃
−
+ iζ1 cos Q
ρ1
ρ1
ρ1
ρ1
ρ1
(5.17)
Si introducimos las variables β y γ a través de las ecuaciones
a = x − l sen Q = sen β sen γ
l cos Q
y
b =
−
= sen β cos γ
ρ1
ρ1
(5.18)
tenemos
ξ = sen β sen γ + iζ1 sen Q
η1 = sen β cos γ + iζ1 cos Q
(5.19)
53
5.1. Intersección del cono con la superficie terrestre
que sustituimos en la tercera de (5.14) para encontrar
ζ121 − ξ 2 − η12 = cos2 β − 2iζ1 sen β cos(Q − γ) − i2 ζ12
(5.20)
de donde
−2i sen β cos(Q − γ)
ζ1 =
±
2(1 + i2 )
q
(2i sen β cos(Q − γ))2 + 4(1 + i2 ) cos2 β
2(1 + i2 )
(5.21)
y si despreciamos términos en i2
ζ1 = ±(cos β − i sen β cos(Q − γ))
(5.22)
Para eliminar la ambigüedad en el signo, vemos que la generatriz del
cono corta a la superficie de la Tierra en dos puntos, uno por encima y otro
por debajo del plano fundamental. Pero si observamos un eclipse lo hacemos
por encima del plano fundamental, con lo cual habremos de tomar el valor
positivo. β y γ vienen determinados por (5.18). Conocidos ambos, (5.22)
proporciona ζ1 y (5.19) (ξ, η1 ). El problema se acaba de resolver usando
(5.15) y (5.16)
De los puntos pertenecientes a la lı́nea que hemos encontrado, en unos el
eclipse estará comenzando y en otros acabando. Si en un instante T un punto
se encuentra sobre la superficie del cono, en un instante posterior T + dT se
encontrará dentro o fuera del mismo según que el eclipse esté comenzando o
terminando. Es decir, según que la derivada
d
[(x − ξ)2 + (y − η)2 − (l − iζ)2]
dT
sea negativa o positiva. Si llamamos P a la derivada:
"
#
"
#
(5.23)
"
dx
dξ
dy
dη
dl
dζ
P = (x − ξ)
+ (y − η)
− (l − iζ)
−
−
−i
dT
dT
dT
dT
dT
dT
#
(5.24)
y teniendo en cuenta (5.1)
P = (l − iζ) [(x′ − ξ ′ ) sen Q + (y ′ − η ′ ) cos Q − (l′ − iζ ′)] = LP ′
(5.25)
La cantidad P será positiva o negativa según que L y P ′ tengan signos
iguales u opuestos. Para eclipses anulares, L es positivo, y por tanto el eclipse
comienza o termina según que P ′ sea negativo o positivo. Para eclipses totales
54
5. Previsión general de eclipses solares
L es negativo, y el eclipse comienza o termina según que P ′ sea positivo o
negativo.
(x′ , y ′, l′ ) se deducen de la tabla de elementos Besselianos, pero (ξ ′ , η ′ , ζ ′)
han de encontrarse a partir de (5.2). En efecto, de la segunda y tercera se
tiene que
y que
ζ cos d − η sen d = ρ cos ϕ′ cos θ
(5.26)
ζ sen d + η cos d = ρ sen ϕ′
(5.27)
A partir de las cuales, derivando la tercera
ζ ′ = d′ η − θ′ ξ cos d
(5.28)
y usando las ecuaciones paramétricas (5.1)
ζ ′ = d′ [y − (l − iζ) cos Q] + θ′ [(l − iζ) sen Q cos d − x cos d]
(5.29)
y de la misma forma calculamos las derivadas de ξ y η. En definitiva:
ξ ′ = θ′ [−y sen d + ζ cos d + (l − iζ) sen d cos Q]
η ′ = θ′ [−x sen d − (l − iζ) sen d sen Q] − d′ ζ
ζ ′ = θ′ [(l − iζ) sen Q cos d − x cos d] + d′ [y − (l − iζ) cos Q] (5.30)
Sustituyendo en P ′ , despreciando términos en i2 e id:
P ′ = a′ − b′ cos Q + c′ sen Q − ζ(θ′ cos d sen Q − d′ cos Q)
(5.31)
con
a′ = −l′ − θ′ ix cos d
b′ = −y ′ + θ′ x sen d
c′ = x′ + θ′ y sen d + θ′ il cos d
(5.32)
En la práctica, cuando se dibujan sobre el mapa las intersecciones del cono
con la superficie de la Tierra, se advierte inmediatamente en qué puntos
el eclipse está comenzando y en qué puntos terminando. La condición de
comienzo o fin del eclipse puede ponerse en forma más compacta llamando
5.1. Intersección del cono con la superficie terrestre
55
b′
c′
d′
θ′ cos d
(5.33)
e sen E
e cos E
f sen F
f cos F
=
=
=
=
con lo cual
P ′ = a′ e sen(Q − E) − ζf sen(Q − F )
(5.34)
e sen(Q − E) < ζ1 f sen Q
(5.35)
e sen(Q − E) > ζ1 f sen Q
(5.36)
e sen(Q − E) < ζ1 f sen Q
(5.37)
e sen(Q − E) > ζ1 f sen Q
(5.38)
Puesto que sólo nos interesa el signo de P ′ y como a′ y F son cantidades
muy pequeñas, poniendo ζ1 en lugar de ζ encontramos que, para eclipses
anulares o parciales
cuando el eclipse está empezando, y
cuando el eclipse está terminando. Para eclipses totales las condiciones
son las inversas:
cuando el eclipse está terminando y
cuando el eclipse está comenzando.
5.1.2.
Método iterativo
Los numerosos cambios de variable pueden oscurecer una idea que en
esencia es sencilla. Por ese motivo presentamos en este apartado y en el
siguiente dos métodos basados en las ecuaciones fundamentales. Partimos de
(l − iζ) sen Q
(l − iζ) cos Q
ρ cos ϕ′ sen θ
ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos θ
ρ sen ϕ′ sen d + ρ cos ϕ′ cos d cos θ
=
=
=
=
=
x−ξ
y−η
ξ
η
ζ
(5.39)
56
5. Previsión general de eclipses solares
En primera aproximación, supondremos que la Tierra es esférica y tomaremos ρ = 1:
(l − iζ) sen Q = x − ξ
(l − iζ) cos Q = y − η
ξ 2 + η2 + ζ 2 = 1
(5.40)
Iniciamos el procedimiento iterativo tomando como valores iniciales, puesto que iζ es pequeño:
ξ0 = x − l sen Q
η0 = y − l cos Q
ζ0 = (1 − ξ02 − η02 )1/2
(5.41)
Con estos valores de partida:
ξn = x − (l − iζn−1 ) sen Q
ηn = y − (l − iζn−1 ) cos Q
ζn = (1 − ξn2 − ηn2 )1/2
(5.42)
El procedimiento converge rápidamente hacia la solución. Una vez obtenida ésta:
ξ = cos ϕ′ sen θ
η = sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos θ
ζ = sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos θ
(5.43)
de donde
cos ϕ′ sen θ = ξ
sen ϕ′ = η cos d + ζ sen d
cos ϕ′ cos θ = −η sen d + ζ cos d
(5.44)
que proporcionan una primera aproximación de ϕ′ y de θ y por tanto de
ϕ y ω mediante
5.1. Intersección del cono con la superficie terrestre
tan ϕ′ = (1 − e2 ) tan ϕ
ω = HZ − θ
57
(5.45)
donde e2 = 1 − b2 /a2 (a es el semieje mayor del elipsoide terrestre y b el
semieje menor). Conocida ϕ, obtenemos en segunda aproximación el radio
terrestre:
ρ=
1 − e2
1 − e2 + e2 sen2 ϕ
(5.46)
Esto nos permite encontrar en segunda aproximación las coordenadas del
punto de la curva partiendo de
(l − iζ) sen Q = x − ξ
(l − iζ) cos Q = y − ζ
ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ρ2
(5.47)
Para ello, iniciamos la iteración con unos valores iniciales:
ξ0 = x − l sen Q
η0 = y − l cos Q
ζ0 = (ρ2 − ξ02 − η02 )1/2
(5.48)
siguiendo el esquema de cálculo
ξn = x − (l − iζn−1 ) sen Q
ηn = y − (l − iζn−1 ) cos Q
ζn = (ρ2 − ξn2 − ηn2 )1/2
(5.49)
que conduce a una terna (ξ, η, ζ) que satisface ahora
ξ = ρ cos ϕ′ sen θ
η = ρ sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos θ
ζ = ρ sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos θ
de donde
(5.50)
58
5. Previsión general de eclipses solares
ξ
ρ
ζ
η
cos d + sen d
sen ϕ′ =
ρ
ρ
η
ζ
cos ϕ′ cos θ = − sen d + cos d
ρ
ρ
cos ϕ sen θ =
(5.51)
y obtenemos una segunda aproximación de θ y ϕ′ y por consiguiente ω y
θ, con las que puede calcularse una nueva aproximación para ρ y reiniciar el
proceso. En segunda aproximación sin embargo el resultado es ya satisfactorio, teniendo en cuenta que estamos despreciando el efecto de la refracción
atmosférica. Un valor de Q proporciona uno de los puntos de la curva. Si toda generatriz del cono intersecta a la superficie de la Tierra, obtenemos una
curva cerrada y el proceso descrito anteriormente converge para todo valor de
Q. Si el cono es intersectado parcialmente por la Tierra, habrá valores de Q
para los que el procedimiento no converja. En ese caso, la curva intersección
es abierta.
5.1.3.
Método analı́tico cartesiano
Planteemos el problema, de nuevo, desde el punto de vista de las ecuaciones básicas. La lı́nea de sombra es perpendicular al plano fundamental,
de forma que para cada ζ constante queda determinado un plano paralelo al
fundamental que puede cortar o no a la lı́nea que es intersección del cono de
sombra con el elipsoide terrestre.
Si partimos de
(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2
ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ρ2
(5.52)
y tomamos ζ como parámetro, el sistema anterior determina ξ y η. En
efecto, llamando n2 = ρ2 − ζ 2 , y m2 = (l − iζ)2 , ξ 2 = n2 − η 2 , de donde
η 2 − Aη + B = 0
(5.53)
α = x2 + y 2 + n2 − m2
(5.54)
con
59
5.2. Curva de contacto en el horizonte
A=
x2
αy
+ y2
(5.55)
y
B=
α2 − 4x2 n2
4(x2 + y 2)
(5.56)
Se produce intersección entre el plano ζ=constante y la intersección del
cono con el elipsoide si el discriminante de la ecuación de segundo grado
√ 2 en 2η
es mayor o igual a cero. En ese caso, existen dos soluciones ξ = ± n − η .
De las cuatro soluciones, sólo son válidas aquellas que satisfacen las ecuaciones originarias, donde en primera aproximación podemos tomar ρ = 1. Una
vez conocidas (ξ, η, ζ), a partir de (5.2) obtenemos la latitud y longitud de
la intersección teniendo en cuenta
ρ cos ϕ′ sen θ = ξ
ρ cos ϕ′ cos θ = ζ cos d − η sen d
ρ sen ϕ′ = η cos d + ζ sen d
(5.57)
donde, siendo siempre cos ϕ′ > 0, las dos primeras determinan sin ambigüedad el cuadrante de θ. Estos valores nos permiten recalcular ρ, que
usamos en las ecuaciones anteriores para encontrar una mejor aproximación.
Todo el proceso puede programarse sin dificultad.
5.2.
5.2.1.
Curva de contacto en el horizonte
Tratamiento clásico
Esta curva está formada por aquellos puntos para los cuales el eclipse
comienza o termina cuando el Sol se encuentra en el horizonte. Dado que
en este caso el efecto de la refracción atmosférica es notable, será suficiente
tomar ζ1 = 0 como la condición que han de satisfacer todos esos puntos sin
temor a cometer un error mayor que el ya asumido al despreciar la refracción.
Entonces (5.1) adopta la forma simple
l sen Q = x − ξ
l cos Q = y − η
Llamando
(5.58)
60
5. Previsión general de eclipses solares
m sen M
m cos M
p sen γ
p cos γ
=
=
=
=
x
y
ξ
η
(5.59)
obtenemos
l sen Q = m sen M − p sen γ
l cos Q = m cos M − p cos γ
(5.60)
l2 = m2 + p2 − 2mp cos(M − γ)
(5.61)
de donde
o bien
l2 − (m − p)2
1
= 1 − cos(M − γ) = 2 sen2 (M − γ)
2mp
2
Finalmente, poniendo λ = M − γ o bien λ = γ − M
(l + m − p)(l − m + p)
λ
sen = ±
2
4mp
!1/2
(5.62)
(5.63)
λ/2 ha de tomarse siempre menor que 90o y el doble signo permite calcular
los dos puntos de la superficie de la Tierra que satisfacen la condición en
un instante dado. En (5.48) conocemos (l, m, M), pero desconocemos p. Sin
embargo, de
ξ 2 + η12 = 1
p sen γ = ξ
p cos γ = η
(5.64)
se deduce que ha de ser p ≃ 1. Tomando en primera aproximación p = 1
en (5.62) obtenemos un valor de γ que puede mejorarse de la siguiente forma:
poniendo ξ = sen γ ′ , de ξ 2 + η12 = 1, η1 = cos γ ′ , y como η = ρ1 η1 :
p sen γ = sen γ ′
p cos γ = ρ1 cos γ ′
(5.65)
61
5.2. Curva de contacto en el horizonte
de donde
tan γ =
1
tan γ ′
ρ1
(5.66)
y
sen γ ′
ρ1 cos γ ′
=
(5.67)
sen γ
cos γ
Este nuevo valor de p puede usarse en (5.62) para obtener una mejor
aproximación de γ y a partir de ahı́ un γ ′ que puede tomarse como definitivo.
De (5.15):
p=
cos ϕ1 sen θ = sen γ ′
cos ϕ1 cos θ = − cos γ ′ sen d1
sen ϕ1 = cos γ ′ cos d1
(5.68)
que junto con (5.16) resuelven el problema.
El Sol está en el orto o en el ocaso según que el ángulo θ, que es el ángulo
horario del punto Z, se encuentre entre 180o y 360o o entre 0o o 180o. Queda
por determinar si el eclipse está empezando o terminando. Como ζ = 0 y a′
es pequeña, a efectos prácticos basta conocer el signo de sen(Q − E). Ası́,
para eclipses anulares o parciales tenemos que el eclipse está comenzando si
y terminando si
5.2.2.
m sen(M − E) < p sen(γ − E)
(5.69)
m sen(M − E) > p sen(γ − E)
(5.70)
Tratamiento cartesiano
Nuevamente, los cambios de variable pueden oscurecer una idea sencilla,
y si bien tenı́an pleno sentido cuando los medios de cálculo eran limitados,
tienen menos justificación cuando los ordenadores han puesto potencia de
cálculo al alcance de cualquiera y es preferible la simplicidad en el proceso
de cálculo a la velocidad a que éste puede hacerse.
Ası́, si partimos de las ecuaciones fundamentales, tomando ρ = 1 en
primera aproximación:
ξ 2 + η2 = 1
(x − ξ)2 + (y − η)2 = l2
(5.71)
62
5. Previsión general de eclipses solares
despejando ξ de la primera y sustituyendo en la segunda tenemos para η
una ecuación de segundo grado:
con
η 2 − Aη + B = 0
(5.72)
α = x2 + y 2 − l2 + 1
(5.73)
A=
x2
αy
+ y2
(5.74)
y
B=
α2 − 4x2
4(x2 + y 2 )
(5.75)
√
De esta ecuación obtenemos dos valores para η, y (como ξ = ± 1 − η 2 )
cuatro valores de ξ. Tenemos en total cuatro soluciones, de las cuales sólo dos
son válidas: aquellas que satisfacen al sistema original (5.62). La identificación
de estas dos soluciones puede programarse de forma trivial, una vez hecho lo
cual, de (5.42) con ζ = 0:
cos ϕ′ sen θ = ξ
sen ϕ′ = η cos d
cos ϕ′ cos θ = −η sen d
(5.76)
se sigue
ϕ′ = sen−1 (η cos d)
−ξ
θ = tan−1
η sen d
(5.77)
En una segunda aproximación, calculamos ρ(ϕ′ ), en la primera de (5.62)
sustituimos la unidad por ρ2 y una vez obtenidas (ξ, η), recalculamos longitud
y latitud tomando en (5.63) (ξ/ρ, η/ρ) en lugar de (ξ, η).
5.3.
5.3.1.
Lı́mites temporales del eclipse
Tratamiento clásico
Para calcular, por un método u otro, las curvas de contacto en el horizonte,
es preciso delimitar el intervalo en que la solución es posible. Cuando la
63
5.3. Lı́mites temporales del eclipse
superficie del cono sea tangente al elipsoide, las dos soluciones se reducirán a
una, lo que ocurre cuando (centrándonos en el método trigonométrico) λ = 0,
es decir, cuando M = γ. Pero si λ = 0, el numerador del segundo miembro de
(5.63) también ha de anularse, con lo que tenemos las posibilidades l+m−p =
0 y l − m + p = 0.
Hay dos tangencias exteriores del cono con el elipsoide: la que da comienzo
al eclipse, primer punto de la superficie de la Tierra desde el que se observa
contacto, y la que le da fin, último punto de la superficie que observa contacto.
En ambos casos, el eje del cono se encuentra fuera de la Tierra, con lo que
ha de ser
m = (x2 + y 2)1/2 = p + l
(5.78)
que es el valor más alto de las dos condiciones anteriores. Los contactos
interiores ocurren cuando el eje intersecta al elipsoide, con lo que es
m=p−l
(5.79)
Tenemos por tanto en el primer y último contacto
(p + l) sen M = x
(p + l) cos M = y
(5.80)
Sea T el instante en que estas condiciones se satisfacen. Si T0 es un instante intermedio, pongamos
T = T0 + τ
x = x0 + x′ τ
y = y0 + y ′ τ
(5.81)
Llamando
m0 sen M0
m0 cos M0
n sen N
n cos N
las condiciones (5.80) se escriben
=
=
=
=
x0
y0
x′
y′
(5.82)
64
5. Previsión general de eclipses solares
(p + l) sen M = m0 sen M0 + τ n sen N
(p + l) cos M = m0 cos M0 + τ n cos N
(5.83)
a partir de donde
(p + l) sen(M − N) = m0 sen(M0 − N)
(p + l) cos(M − N) = m0 cos(M0 − N) + nτ
(5.84)
y llamando Ψ = M − N:
m0 sen(M0 − N)
p+l
p+l
m0
τ =
cos Ψ −
cos(M0 − N)
n
n
T = T0 + τ
sen Ψ =
(5.85)
Dado sen Ψ, cos Ψ puede ser positivo o negativo, dando dos valores de τ
y por ende los dos contactos exteriores.
Para los contacto interiores:
m0 sen(M0 − N)
p−l
p−l
m0
τ =
cos Ψ −
cos(M0 − N)
n
n
sen Ψ =
(5.86)
Estos dos contactos no pueden ocurrir cuando p − l < m0 sen(M0 − N).
Asumiremos que p = 1 en (5.71). Teniendo en cuenta que γ = M, y como
N = M +Ψ, γ = N +Ψ, valor con el que calculamos una nueva aproximación
de p mediante (5.50) y (5.51), que empleamos nuevamente en (5.71)
5.3.2.
Tratamiento cartesiano
La condición, expresada a partir de las ecuaciones fundamentales cartesianas, es directa. Porque, tomando ρ = 1, el contacto entre el elipsoide y el
cono se expresa como que
x2 + y 2 = (1 + l)2
(5.87)
5.4. Curva de máximo en el horizonte
65
Si tomamos un instante intermedio T0 en el que las coordenadas toman
valores (x0 , y0) y el radio del cono l0 , en los instantes del contacto primero
y último, que tienen lugar en T = T0 + τ (τ podrá tener signo positivo o
negativo), se cumplirá:
x = x0 + x′ τ
y = y0 + y ′ τ
l = l0 + l′ τ
(5.88)
Las derivadas se pueden calcular por interpolación lagrangiana 2 . Sustituyendo estas últimas en la condición (5.87) queda planteada una ecuación
de segundo grado en τ de la forma aτ 2 + bτ + c = 0 y coeficientes
a = x′2 + y ′2 − l′2
b = 2(x0 x′ + y0 y ′ − l′ (1 + l0 ))
c = x20 + y02 − (1 + l0 )2
(5.89)
Los instantes de comienzo y final vienen dadas entonces por T0 ∓ τ . La
precisión puede mejorarse tomando alternativamente un T0 un poco posterior al comienzo del eclipse y adoptando como instante de comienzo T0 − τ ,
descartando sin embargo T0 + τ como instante final, que se calculará tomando ahora un T0 próximo al final y adoptando T0 + τ como hora del último
contacto.
5.4.
5.4.1.
Curva de máximo en el horizonte
Tratamiento clásico
Buscamos la curva que contiene a los puntos desde los que se observa el
máximo del eclipse con el Sol en el horizonte. Cuando un punto de la Tierra
de coordenadas (ξ, η, ζ) no se encuentra en la superficie del cono sino a una
distancia ∆ de su eje, tenemos:
∆ sen Q = x − ξ
∆ cos Q = y − η
2
Véase apéndice
(5.90)
66
5. Previsión general de eclipses solares
El grado de oscurecimiento, que definimos como la fracción del diámetro
solar oculta por la Luna, depende de qué distancia el lugar de observación
se encuentre inmerso en el cono, es decir, de la distancia ∆ − L, siendo L el
radio del cono de sombra en un plano paralelo al principal y que contiene al
punto de observación. Para el máximo del eclipse se cumplirá la condición
dL d∆
−
=0
dT
dT
(5.91)
De (5.90)
dQ
d∆
sen Q + ∆ cos Q
= x′ − ξ ′
dT
dT
d∆
dQ
cos Q − ∆ sen Q
= y′ − η′
dT
dT
(5.92)
se sigue
d∆
= (x′ − ξ ′) sen Q + (y ′ − η ′ ) cos Q
dT
(5.93)
y de L = l − iζ:
dL
= l′ − iζ ′
dT
de forma que la condición (5.91) no es otra que
o
(5.94)
(x′ − ξ ′ ) sen Q + (y ′ − η ′ ) cos Q − (l′ − iζ ′ ) = 0
(5.95)
P′ = 0
(5.96)
Recordemos que
P ′ = a′ − b′ cos Q + c′ sen Q − ζ(θ′ cos d sen Q − d′ cos Q)
(5.97)
o de forma más compacta según (5.34)
P ′ = a′ + e sen(Q − E) − ζf sen(Q − F )
(5.98)
donde e, E, f y F fueron introducidas en (5.33). Como no necesitamos
gran precisión, puesto que las observaciones del máximo en el horizonte no
son especialmente importantes, bastará tomar ζ = 0 y a′ = 0, con lo que la
condición (5.98) se reduce a
67
5.4. Curva de máximo en el horizonte
sen(Q − E) = 0
(5.99)
±∆ sen E = x − ξ
±∆ cos E = y − η
(5.100)
ξ 2 + η12 = 1
(5.101)
que se cumple si Q = E o si Q = E + 180o , de donde (5.90) queda
que junto con
determinan los puntos de la curva requerida. El ángulo E es conocido
para cada instante, pero ∆ no. Escribiendo
m sen M
m cos M
p sen γ
p cos γ
=
=
=
=
x
y
ξ
η
(5.102)
tenemos
±∆ sen E = m sen M − p sen γ
±∆ cos E = m cos M − p cos γ
(5.103)
0 = m sen(M − E) − p sen(γ − E)
±∆ = m cos(M − E) − p cos(γ − E)
(5.104)
de donde
y llamando Ψ = γ − E:
m sen(M − E)
p
±∆ = m cos(M − E) − p cos Ψ
sen Ψ =
(5.105)
La primera de estas ecuaciones da dos valores de Ψ, ya que podemos
tomar el coseno como positivo o negativo. Pero como satisfacen el problema
68
5. Previsión general de eclipses solares
aquellos puntos que se encuentran dentro del cono, ha de ser ∆ < L. Por
tanto, el valor de Ψ para el cual ∆ > L ha de ser desechado. Por otra parte,
p es un número próximo a 1, y podemos tomar este valor para calcular una
primera aproximación de Ψ. Entonces, γ = Ψ + E y mediante (5.66) y (5.67)
obtendremos un valor de ρ con el que recalcular Ψ. A partir de este nuevo
valor, γ, y de tan γ ′ = ρ1 tan γ, γ ′ . La longitud y latitud de un punto de la
curva buscada para un cierto valor de E la encontramos a partir de (5.16).
El intervalo temporal en que existe solución a este problema está incluido
en el intervalo determinado anteriormente al buscar las curvas de contacto
en el horizonte.
Por otra parte, el grado de oscurecimiento se expresa como la fracción
del diámetro aparente del Sol cubierto por la Luna. Cuando el punto de
observación se encuentra inmerso en la penumbra hasta llegar al borde mismo
de la sombra, en cuyo momento se observará eclipse total, la distancia del
punto al borde de la penumbra es igual a la diferencia entre los radios de la
penumbra y de la sombra, que es la suma algebraica LL1 , ya que L1 , el radio
de la sombra en el plano del observador, es negativo. En cualquier otro caso,
la distancia del lugar de observación a la penumbra es L − ∆, con lo que,
aproximadamente, el grado de oscurecimiento es
L−∆
L − L1
(5.106)
AB
AC
(5.107)
L−∆
QL
≃
L1 L
L + L1
(5.108)
D=
Como puede apreciarse en la Figura 5.1, el grado de oscurecimiento para
un observador situado en Q es
D=
que es aproximadamente
D=
Esta fórmula puede usarse si el eclipse es anular, en cuyo caso L1 es
positivo. Incluso cuando ∆ = 0, y en consecuencia el eclipse es central, el
valor de D dado por (5.94) es menor que la unidad, como debe ser de acuerdo
con el hecho de que el oscurecimiento no es total, ya que puede observarse
un delgado anillo alrededor de la Luna. En nuestro caso, ζ = 0 y
D=
L−∆
l + l1
(5.109)
siendo l y l1 los radios de penumbra y sombra en el plano principal.
69
5.4. Curva de máximo en el horizonte
A
B
C
S
M
L1
Q
L
Figura 5.1 Grado de oscurecimiento
5.4.2.
Tratamiento cartesiano
Volviendo una vez más a las ecuaciones fundamentales, la condición
d
(∆ − L) = 0
dT
(5.110)
se expresa como
(x − ξ)(x′ − ξ ′ ) + (y − η)(y ′ − η ′ ) − l(l′ − iζ ′ ) = 0
(5.111)
donde hemos tomado ζ = 0. La otra condición es que el punto buscado
pertenezca al elipsoide:
ξ 2 + η2 = 1
(5.112)
Por otro lado:
ξ ′ = −θ′ η sen d
η ′ = θ′ ξ sen d
ζ ′ = d′ η − θ′ ξ cos d
(5.113)
70
5. Previsión general de eclipses solares
Sustituyendo (5.113) en (5.111) y llamando
a = −θ′ sen d
b = θ′ cos d
(5.114)
obtenemos la ecuación
Aη − Bξ + C = 0
(5.115)
con
A = ax − y ′ + lid′
B = x′ + ay + lbi
C = xx′ + yy ′ − ll′
(5.116)
de forma que tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Aη − Bξ + C = 0
ξ 2 + η2 = 1
(5.117)
Las soluciones de este sistema son las intersecciones de la recta η(ξ) representada por la primera, que tiene ordenada en el origen p = −C/A y
pendiente q = B/A con la circunferencia determinada por la segunda, y son
η = p + qξ
ξ =
−pq ±
q
p2 q 2 − (1 + q 2 )(p2 − 1)
1 + q2
(5.118)
Para discriminar cual de las dos es válida y cual no, véase que (x, y) y
(ξ, η) han de estar en el mismo cuadrante. O dicho de otro modo, ha de ser
xξ > 0 e yη > 0.
5.5.
5.5.1.
Curvas lı́mite norte y sur
Tratamiento clásico
Buscaremos la curva que contiene aquellos puntos más al norte o al sur
desde los cuales puede observarse el eclipse. Desde uno de esos puntos, los
71
5.5. Curvas lı́mite norte y sur
discos del Sol y la Luna se tocan en un sólo punto. La Luna pasa totalmente
al norte o totalmente al sur del Sol, produciéndose una única tangencia. Esta
curva es la envolvente de la familia que contiene a las intersecciones del cono
con el elipsoide a medida que progresa el eclipse. La solución de este problema
se deriva de la consideración de que el contacto simple es a la vez el máximo
del eclipse. Entonces P ′ = 0 o
a′ + e sen(Q − E) = ζf sen(Q − F )
(5.119)
e sen(Q − E) = ζf sen Q
(5.120)
e sen(Q − E) = f sen Q
(5.121)
En un instante determinado T , hemos de encontrar un punto perteneciente a la intersección del cono con el elipsoide para el cual los valores correspondientes de Q y ζ satisfagan (5.119). Esto se hace mediante sucesivas
aproximaciones. En primer lugar, es necesario conocer un valor aproximado de Q. Para acotar posible valores, despreciamos a′ y F , que son siempre
pequeños, y tenemos
Los valores extremos para ζ son 0 y 1. Para ζ = 0 tendrı́amos que Q = E
o que Q = 180o + E. Para ζ = 1
Poniendo la ecuación anterior como
e sen(Q −
E E
E E
− ) = f sen(Q + − )
2
2
2
2
(5.122)
y desarrollando se tiene
tan(Q −
y haciendo
e+f
E
E
)=
tan
2
e−f
2
(5.123)
e+f
E
tan
e−f
2
(5.124)
tan Ψ =
queda
E
) = tan Ψ
(5.125)
2
que da como lı́mites Q = E2 +Ψ y Q = E2 +Ψ+180o. Por tanto, asumiremos
que Q se encuentra bien en el intervalo [E, E2 + Ψ] o bien en el intervalo
[E + 180o, E2 Ψ + 180o]. Cuando la Tierra intersecta completamente al cono,
existen dos curvas lı́mite, norte y sur. Para una de ellas se toma Q e el
tan(Q −
72
5. Previsión general de eclipses solares
primer intervalo, y para la otra en el segundo. Para calcular las lı́neas lı́mite
tomaremos una serie de instantes y dos series de valores de Q. A cada instante
corresponden dos valores de Q, uno en cada intervalo. Sólo existirá una curva
lı́mite si para una de las series de valores de Q se obtienen valores imposibles
de ζ en el cálculo de la intersección del cono con el elipsoide. La ecuación
η = y − (l − iζ) cos Q, conocido el signo de cos Q, permite determinar si una
serie pertenece a la curva norte o a la sur ya que para la primera serie de
valores de η éstos son mayores que para la segunda.
Con todo esto, el esquema de cálculo es el siguiente. A partir de un
valor asumido de Q y supuesto que ζ puede sustituirse sin gran error por
ζ1 , de (5.18), tomando ρ1 = 1 encontramos β y de (5.22), aproximadamente,
ζ1 = cos β. Entonces (5.120) es
e sen(Q − E) = f cos β sen Q
(5.126)
de donde
tan(Q −
e + f cos β
E
E
)=
tan
2
e − f cos β
2
(5.127)
que proporciona una nueva aproximación de Q, la cual puede tomarse
como definitiva. Conocido Q, (5.18) proporciona γ y β, y (5.22) ζ1 ; (5.19) ξ
y η1 y mediante (5.15) y (5.16) queda resuelto el problema.
Otro posible esquema iterativo: El valor asumido para Q proporciona ζ
y de
x − ξ = (l − iζ) sen Q
y − η = (l − iζ) cos Q
(5.128)
encontramos ξ y η, y suponiendo ρ = 1 la condición
ξ 2 + η2 + ζ 2 = 1
(5.129)
proporciona un nuevo valor de ζ que en
tan(Q −
e + fζ
E
E
)=
tan
2
e − fζ
2
(5.130)
da un segundo Q.
Para el cálculo de una serie de puntos, es necesario conocer los extremos
temporales entre los que el problema tiene solución. Éstos son evidentemente
los mismos que determinan los contactos primero y último.
73
5.5. Curvas lı́mite norte y sur
5.5.2.
Tratamiento cartesiano
De nuevo acudimos a las ecuaciones básicas. Pues cada punto de la curva
norte o sur satisface tres condiciones: a) que pertenece al elipsoide, de donde
ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ρ2
(5.131)
b) que pertenece al cono de penumbra, puesto que desde cualquier punto
de las curvas lı́mite la Luna pasa tangente al Sol, lo que se traduce en que
∆=L
(5.132)
y c) que en el momento de la tangencia no varı́a la fase del eclipse, lo que
se traduce en que
d
(L − ∆) = 0
(5.133)
dT
Estas tres ecuaciones contienen a las cuatro incógnitas (ξ, η, ζ, ρ). Asumiendo ρ = 1 pueden calcularse las otras tres, y de ellas obtener latitud y
longitud para un instante dado. A partir de las coordenadas es posible entonces obtener una mejor aproximación de ρ con la que repetir el proceso.
Usaremos en la tercera condición los cuadrados de las cantidades L y ∆, de
forma que
ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ρ2
(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2
(x − ξ)(x′ − ξ ′) + (y − η)(y ′ − η ′ ) = (l − iζ)(l′ − iζ ′ )
(5.134)
con
ξ ′ = θ′ [ζ cos d − η sen d]
η ′ = −ζd′ + ξθ′ sen d
ζ ′ = ηd′ − ξθ′ cos d
(5.135)
Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, no lineal, de
difı́cil solución. El que esto es ası́ puede verse por el hecho de que el elipsoide
puede interceptar al cono sólo parcialmente, con lo que, en los instantes en
que eso sucede, la curva intersección entre ambas superficies es abierta, y deja
de tener sentido el concepto de envolvente. Por ese motivo, es más práctico
trazar las intersecciones del cono con el elipsoide, seleccionar de cada curva
los extremos norte y sur, y trazar las lı́neas buscadas de forma que pasen por
esos puntos extremos de cada curva intersección.
74
5. Previsión general de eclipses solares
5.6.
5.6.1.
Curva de eclipse central
Tratamiento clásico
La curva de eclipse central contiene a todos aquellos puntos desde los que
se observa eclipse anular o total, y es la intersección del eje con el elipsoide
terrestre. En esencia, es el mismo problema que el de la intersección del cono
con el elipsoide, con la salvedad de que ahora dicha intersección se reduce a
un solo punto. Esta condición se expresa como
l − iζ = 0
(5.136)
o bien
x = ξ
y = η
(5.137)
lo que supone una notable simplificación en las ecuaciones. Porque, como
las ecuaciones fundamentales no dependen de paralajes o semidiámetros del
Sol y la Luna, el problema que ahora consideramos es el que tendrı́amos si
tanto el Sol como la Luna quedasen reducidos a puntos geométricos, o dicho
de otra forma, como si el ángulo del cono fuese nulo. Entonces, (5.40) se
reducen a
ξ = x = sen β sen γ
y
η1 = y1 =
= sen β cos γ
ρ1
(5.138)
ζ1 = (1 − ξ 2 − η12 )1/2
(5.139)
con
y (5.15) y (5.16) queda resuelto el problema.
Buscaremos a continuación los instantes extremos entre los que es posible
la solución. Cuando puede observarse un eclipse central por primera vez desde
la superficie de la Tierra, el eje del cono es tangente al elipsoide, luego ζ1 = 0
y
ξ 2 + η12 = 1
que equivale a
(5.140)
75
5.6. Curva de eclipse central
x2 + y12 = 1
(5.141)
En (5.138) esto significa que sen β = 1 o cos β = 1, con lo que
x = sen γ
y1 = cos γ
(5.142)
Llamando x′ e y1′ a las variaciones horarias de x e y1 y T = T0 + τ al
instante requerido del comienzo o fin del eclipse central, siendo T0 un instante
intermedio arbitrario, tenemos en el instante T
sen γ = x0 + x′ τ
cos γ = y10 + y1′ τ
(5.143)
siendo x0 e y10 los valores de x e y1 en T0 . Si ponemos ahora
m sen M
m cos M
n sen N
n cos N
=
=
=
=
x0
y10
x′
y1
(5.144)
tenemos
sen γ = m sen M + τ n sen N
cos γ = m cos M + τ n cos N
(5.145)
de donde
sen(γ − N) = m sen(M − N)
cos(γ − N) = m cos(M − N) + nτ
(5.146)
Llamando Ψ = γ − N se sigue
sen Ψ = m sen(M − N)
m
1
cos Ψ − cos(M − N)
τ =
n
n
T = T0 + τ
(5.147)
76
5. Previsión general de eclipses solares
Tomaremos cos Ψ con signo negativo para el comienzo y con signo positivo
para el final del eclipse total. Para encontrar la longitud y latitud de los
puntos extremos usaremos
cos ϕ1 sen θ = sen γ
cos ϕ1 cos θ = − cos γ sen d1
sen ϕ1 = cos γ cos d1
(5.148)
junto con
tan ϕ = (1 − e2 )−1/2 tan ϕ1
ω = HZ − θ
(5.149)
que se deducen de (5.15)-(5.16) y (5.138)-(5.142).
5.6.2.
Tratamiento cartesiano
El tratamiento cartesiano es trivial, ya que, siendo ξ = x y η = y sólo resta
encontrar ζ, y puesto que ha de pertenecer al elipsoide, y más concretamente
a un punto por encima del plano fundamental
q
ζ = + ρ2 − x2 − y 2
(5.150)
Tomando en primera aproximación ρ = 1, de la terna (ξ, η, ζ) obtenemos
longitud y latitud geodésica, y de ésta la latitud geocéntrica, que nos permite
calcular un mejor valor para ρ, y por tanto un nuevo ζ, que en general ya
podrá tomarse como definitivo.
Respecto a los extremos del intervalo temporal en que existe solución,
veamos que si T0 es un instante intermedio y los extremos vienen dados por
T0 ± τ , con x = x0 ± x′ τ e y = y0 ± y ′τ , puesto que cuando el eje toca por
primera vez al elipsoide lo hace en un punto de coordenada ζ = 0, es claro
que
(x0 ± x′ τ )2 + (y0 ± y ′τ )2 = 1
(5.151)
de donde se sigue una ecuación de segundo grado en τ que determina los
instantes de primer y último contacto del eje con el elipsoide.
5.7. Duración de un eclipse total o anular en un punto de la curva central
5.7.
5.7.1.
77
Duración de un eclipse total o anular en
un punto de la curva central
Tratamiento clásico
Si T es el instante en que se produce el eclipse central (será calculado
en el capı́tulo siguiente) y t la duración del mismo, T ′ = T ± t/2 son los
instantes del comienzo y fin. Sean x e y las coordenadas de la Luna en T y
(ξ, η) las del punto de observación. Sean x′ , y ′, ξ ′ y η ′ las variaciones horarias
correspondientes. Entonces, en el instante T ′
1
1
(l − iζ) sen Q = x ± x′ t − (ξ ± ξ ′ t)
2
2
1 ′
1 ′
(l − iζ) cos Q = y ± y t − (η ± η t)
(5.152)
2
2
siendo l el radio del cono de sombra en el plano principal. Pero, muy
aproximadamente, en T ′ tenemos x = ξ e y = η, con lo que (5.152) queda
como
t
2
′
′ t
(l − iζ) cos Q = ±(y − η )
2
Con suficiente aproximación, de (5.30), podemos tomar
(l − iζ) sen Q = ±(x′ − ξ ′)
ξ ′ = θ′ [−y sen d + ζ cos d]
η ′ = θ′ x sen d
(5.153)
(5.154)
y usando (5.32)
x′ − ξ ′ = c′ − θ′ ζ cos d
y ′ − η ′ = −b′
(5.155)
Eliminando el doble signo de (5.153), ya que sólo nos interesa el valor
numérico de t:
c′ − θ′ ζ cos d
−b′
2(l − iζ) sen Q
t =
c′ − θ′ ζ cos d
tan Q =
(5.156)
78
5. Previsión general de eclipses solares
5.7.2.
Tratamiento cartesiano
Consideremos un instante T0 en que tiene lugar el eclipse total o anular
en un punto dado sobre el elipsoide. En instantes T ±τ se produjo el contacto
entre el punto de observación y la superficie del cono de sombra, cuando era
(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2
(5.157)
si escribimos
t
2
′t
y = y0 ± y
2
′t
ξ = ξ0 ± ξ
2
t
η = η0 ± η ′
2
x = x0 ± x′
(5.158)
y sustituimos (5.158) en (5.157), teniendo en cuenta que x0 = ξ0 y y0 = η0
y teniendo también presentes (5.135), llegamos de nuevo a una ecuación de
segundo grado en t.
5.8.
5.8.1.
Eclipse central a mediodı́a
Tratamiento clásico
Es interesante este punto, ya que desde él las observaciones se realizan en
condiciones óptimas. En este caso será x = 0, con lo que
y1 = sen β
(5.159)
Entonces, de la primera de (5.15)
ξ = x = 0 = cos ϕ1 sen θ
(5.160)
es θ = 0, con lo que ω = HZ , y de la condición η12 + ζ12 = 1, la segunda o
la tercera proporcionan
ϕ1 = β + d 1
que determinan las coordenadas del punto buscado.
(5.161)
5.9. Lı́mites norte y sur del eclipse total o anular
5.8.2.
79
Tratamiento cartesiano
Si acudimos a las ecuaciones básicas y recordamos las Figuras 4.4 y 4.5, es
claro que x = 0 y que θ = HZ − ω = √
0. Por ser eclipse central además η = y,
de manera que ξ = 0, η = y y ζ = 1 − y 2 . Conocida la latitud geodésica
podemos calcular la geocéntrica, de
√ahı́ obtener una mejor aproximación para
el radio y volver a iterar con ζ = ρ2 − y 2 .
5.9.
Lı́mites norte y sur del eclipse total o
anular
Las curvas lı́mite del eclipse total o anular son muy próximas a la curva
del eclipse central, y pueden deducirse de ésta sin recurrir al método expuesto anteriormente. En realidad, las dos curvas lı́mite están tan próximas
a la curva del eclipse central que puede tomarse ζ1 = cos β, donde β viene
determinada por (5.138), en la ecuación aproximada que determina Q. Las
coordenadas de un punto de la curva central son ξ = x y η1 = y1 , y las de
un punto de la curva lı́mite norte o sur son x + dx e y1 + dy1 . Entonces, de
(l − iζ1 ) sen Q = x − ξ
(l − iζ1 ) cos Q = y − ρ1 η1
(5.162)
dx = −(l − iζ1 ) sen Q
dy1 = −(l − iζ1 ) cos Q
(5.163)
tenemos
habiendo tomado ρ1 = 1. Sean (ϕ1 , θ, ω) los valores correspondientes a un
punto de la curva central en un instante determinado, y (ϕ1 + dϕ1 , ω + dω)
los de la curva lı́mite. De
cos ϕ1 sen θ = ξ
cos ϕ1 cos θ = −η1 sen d + ζ1 cos d1
sen ϕ1 = η1 cos d1 + ζ1 sen d1
diferenciando y teniendo en cuenta que dθ = −dω:
(5.164)
80
5. Previsión general de eclipses solares
cos ϕ1 cos θdω + sen ϕ1 sen θdϕ1 = −dx
cos ϕ1 sen θdω − sen ϕ1 cos θdϕ1 = −dy1 sen d1 + dζ1 cos d1
cos ϕ1 dϕ1 = dy1 cos d1 + dζ1 sen d1
(5.165)
De las dos primeras
sen ϕ1 dϕ1 = dy1 sen d1 cos θ − dx sen θ − dζ1 cos d1 cos θ
dω = −dx cos θ − dy1 sen d1 sen θ + dζ1 cos d1 sen θ (5.166)
Finalmente, poniendo ζ1 = cos β y sustituyendo (5.161)
l − i cos β
[(cos θ sen Q sen d1 + sen θ cos Q) tan ϕ1 + sen Q cos d1 ]
cos β
l − i cos β
(sen θ sen Q sen d1 − cos θ cos Q)
(5.167)
=
cos β
dω =
dϕ1
En la práctica, podemos tomar dϕ ≃ dϕ1 . Este método no es bueno
cuando cos β se hace muy pequeño, pero siempre puede acudirse al método
de cálculo de las curvas lı́mite norte y sur.
Capı́tulo 6
Previsión de un eclipse solar
para un lugar dado
6.1.
Instante de una fase determinada
Una fase determinada del eclipse se produce para un valor determinado
de ∆. Llamaremos fase del eclipse precisamente a la cantidad ∆. Debemos
encontrar el instante en que un punto de coordenadas (ξ, η, ζ) se encuentra a
una distancia ∆ del eje de sombra. Procederemos por aproximaciones sucesivas. En primer lugar, buscamos los instantes de comienzo y final del eclipse
para el lugar. En los instantes de comienzo o final del eclipse, la fase es
∆ = l − iζ
(6.1)
y debe cumplirse la condición
∆2 = (l − iζ)2
(6.2)
o
(l − iζ) sen Q = x − ξ
(l − iζ) cos Q = y − η
(6.3)
Sea T0 un tiempo estimado a partir de las curvas de intersección del cono
con el elipsoide, y sea T = T0 + τ el instante buscado. Las coordenadas del
punto de observación en T0 pueden obtenerse de
81
82
6. Previsión de un eclipse solar para un lugar dado
ξ = ρ cos ϕ′ sen θ
η = ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos θ
ζ = ρ sen ϕ′ sen d + ρ cos ϕ′ cos d cos θ
(6.4)
recordando que θ = µ − a, donde µ es el tiempo sidéreo del lugar y
cumpliéndose que µ − a = HZ − ω. Llamando
A sen B = ρ sen ϕ′
A cos B = ρ cos ϕ′ cos θ
(6.5)
tenemos
ξ = ρ cos ϕ′ sen θ
η = A sen(B − d)
ζ = A cos(B − d)
(6.6)
En el instante T
x
y
ζ
η
=
=
=
=
x0 + x′ τ
y0 + y ′ τ
ζ0 + ζ ′ τ
η0 + η ′ τ
(6.7)
y sabemos, (5.113), que
ξ ′ = θ′ [ζ cos d − η sen d]
η ′ = −d′ ζ + θ′ ξ sen d
ζ ′ = d′ η − θ′ ξ cos d
(6.8)
donde sin gran error se puede despreciar la pequeña cantidad d′ ζ y tomar
ξ ′ = θ′ ρ cos ϕ′ cos θ
η ′ = θ′ ξ sen d
(6.9)
83
6.1. Instante de una fase determinada
El radio del cono en z = ζ es L = l − iζ cuya variación puede en primera
aproximación despreciarse. Entonces, la condición (6.2) en T es
L sen Q = x0 − ξ0 + (x′ − ξ ′ )τ
L cos Q = y0 − η0 + (y ′ − η ′ )τ
(6.10)
Siguiendo un método ya conocido, definamos las cantidades (m, M, n, N )
mediante las ecuaciones
m sen M
m cos M
n sen N
n cos N
=
=
=
=
x0 − ξ0
y0 − η0
x′ − ξ ′
y′ − η′
(6.11)
con lo que escribimos (6.10) en la forma
L sen Q = m sen M + τ n sen N
L cos Q = m cos M + τ n cos N
(6.12)
de donde
L sen(Q − N) = m sen(M − N)
L cos(Q − N) = m cos(M − N) + τ n
(6.13)
y poniendo Ψ = Q − N:
m sen(M − N)
L
L cos Ψ m cos(M − N)
−
τ =
n
n
sen Ψ =
(6.14)
La primera de las cuales se satisface para dos valores de Ψ cuyos cosenos
tienen signos opuestos. En la segunda, el valor de Ψ tal que su coseno es
negativo determina el instante de comienza del eclipse, y el que hace el coseno
positivo, el final del mismo. Esta primera aproximación está dentro de un
margen de error de unos pocos minutos. En segunda aproximación, el error
puede reducirse a segundos. Para ello, basta repetir los cálculos tomando
84
6. Previsión de un eclipse solar para un lugar dado
como T0 los valores encontrados. Por ejemplo, tomarı́amos como T0 el instante
de comienzo obtenido en primera aproximación, repetirı́amos los cálculos y
de los dos valores correspondientes a los dos valores de Ψ descartarı́amos el
correspondiente al final del eclipse. Entonces, la segunda aproximación para
el comienzo es T = T0 + τ . Y de forma análoga para el instante del final. Por
otro lado, el tiempo local de inicio o fin será t = T0 + τ − ω.
Puesto que en el capı́tulo anterior ya se realizaron en paralelo los cálculos
según el procedimiento trigonométrico y el cartesiano, y éste quedó suficientemente ilustrado, no duplicaremos, a partir de este punto, los cálculos, por
otro lado bastante directos.
6.2.
Puntos de contacto
Para preparar las observaciones del eclipse, es necesario conocer en qué punto harán contacto por primera vez los limbos del Sol y la Luna, con objeto
de dirigir hacia él la atención.
z
y
p
a
s
r
x
q
Figura 6.1 Contacto de los limbos
En la Figura 6.1 se han representado los ejes del sistema fundamental,
la Luna y la intersección del cono de penumbra con el plano principal. El
punto p es la proyección del punto de observación, que se encuentra sobre el
cono, sobre el plano principal, según la generatriz del cono que lo contiene.
Para este punto, los limbos del Sol y la Luna se encuentran en contacto en la
dirección pq, que forma un ángulo b = ap̂q con la dirección del eje y, el cual
recordemos que se dirige al norte. Al punto del limbo del Sol situado más al
norte corresponde el punto s en la figura, y al punto más al sur, el punto r. b
es el ángulo que forman las direcciones pq con rs, y de la figura es claro que
85
6.3. Instante de máximo oscurecimiento
tan b = tan Q =
luego
x−ξ
y−η
b=Q=N +Ψ
6.3.
(6.15)
(6.16)
Instante de máximo oscurecimiento
En el instante de máximo oscurecimiento del disco del Sol por la interposición del disco de la Luna, la cantidad L − ∆ es máxima. Pero, en la
práctica, podemos despreciar la pequeña variación de L y considerar que el
eclipse está en su máximo cuando ∆ es mı́nimo. Si denotamos por T1 al instante en que el eclipse es máximo, siendo T0 un instante estimado (p. ej. la
semisuma de los instantes de comienzo y fin) de
∆2 = (x − ξ)2 + (y − η)2
(6.17)
∆ sen Q = x − ξ
∆ cos Q = y − η
(6.18)
en forma paramétrica:
En T1 , x1 = x0 + x′ τ , con expresiones similares para y1 , ξ1 y η1 . Sustituyendo en la forma paramétrica de las ecuaciones e introduciendo de la misma
forma que antes
m sen M
m cos M
n sen N
n cos N
=
=
=
=
x1 − ξ1
y1 − η1
x′ − ξ ′
y′ − η′
(6.19)
Se sigue que
∆ sen(Q − N) = m sen(M − N)
∆ cos(Q − N) = m cos(M − N) + nτ
La suma de los cuadrados da
(6.20)
86
6. Previsión de un eclipse solar para un lugar dado
∆2 = m2 sen2 (M − N) + (m cos(M − N) + nτ )2
(6.21)
Como m y N están calculados para T0 y N varı́a poco, podemos considerar a m2 sen2 (M − N) como aproximadamente constante, con lo cual ∆
será mı́nimo cuando el segundo término se anule, es decir, cuando
τ =−
m cos(M − N)
n
(6.22)
Entonces
∆ = ±m sen(M − N) = ±L sen Ψ
(6.23)
donde hemos hecho uso de (6.14). Tomaremos el signo que haga positivo
a ∆, y el grado de oscurecimiento será
L−∆
L + L1
siendo L1 el radio, negativo, del eje de sombra.
D=
6.4.
(6.24)
Correciones por refracción atmosférica y
altura sobre el nivel del mar
En relación con la Figura 6.2, sea GDB una generatriz del cono de sombra.
Un observador situado en B verı́a un contacto entre ambos limbos, y para
él comenzarı́a o terminarı́a el eclipse. Ahora bien, la tierra está rodeada de
una atmósfera que produce una refracción en los rayos luminosos, de manera
que al penetrar en ella, un rayo no sigue la trayectoria recta, sino que se
curva, alcanzando no el punto B, sino un punto A sobre la superficie terrestre
después de haber seguido una trayectoria curvilı́nea entre D y A. Es evidente
que el observador en A observa un contacto aparente de los limbos en el
mismo instante en que un observador en B observarı́a el contacto verdadero.
Por tanto, si sustituimos el punto A por el punto B, tendremos en cuenta
el efecto de la refracción. Y para ello sólo es preciso en nuestras fórmulas
generales tomar CB, en lugar de CA como radio de la Tierra. Dado un
punto cualquiera de la trayectoria refractada de un rayo luminoso, se puede
demostrar 1 que qν sen i es constante, donde q es la distancia desde el centro
de la Tierra a un estrato de espesor diferencial donde incide el rayo con un
ángulo i, y siendo ν el ı́ndice de refracción del aire a la distancia q del centro.
Entonces
1
Véase apéndice
6.4. Correciones por refracción atmosférica y altura sobre el nivel del mar
qν sen i = ρν0 sen Z ′
87
(6.25)
donde el primer miembro se refiere al punto B y el segundo al lugar
de observación A, siendo ρ el radio de la Tierra, ν0 el ı́ndice de refracción
en superficie y Z ′ la distancia cenital aparente de la dirección del rayo. Si
llamamos Z a la distancia cenital verdadera V B̂G, considerando el triángulo
CDB:
(ρ + s) sen Z = q sen i
(6.26)
donde hemos llamado s al segmento AB. Combinando las dos últimas
ecuaciones:
s
ν0 sen Z ′
1+ =
ρ
sen Z
(6.27)
La sustitución en nuestros cálculos de ρ + s = ρ(1 + s/ρ) en lugar de ρ
es suficente entonces para dar cuenta de la refracción. Hemos supuesto que
el punto A se encuentra sobre el elipsoide, pero si se encontrase a una altura
h, bastarı́a sustituir ρ + h en lugar de ρ.
V
F
G
D
B
A
C
Figura 6.2 Efecto de la refracción
88
6. Previsión de un eclipse solar para un lugar dado
Capı́tulo 7
Eclipses de Luna
7.1.
Condiciones generales
La geometrı́a de los eclipses de Luna es semejante a la de los eclipses de
Sol. Cuando la Tierra se encuentra entre el Sol y la Luna, el cono de sombra
de la Tierra puede interceptar a nuestro satélite, produciéndose el eclipse,
que, a diferencia de los eclipses solares, podrá observarse desde cualquier
punto de la superficie de la Tierra desde el cual la Luna aparezca sobre el
horizonte. Naturalmente, el fenómeno sólo puede suceder cuando la Tierra
se interpone exactamente entre el Sol y la Luna, es decir, cuando ésta se
encuentra llena. Expresado con mayor precisión: cuando el Sol y la Luna se
encuentran en oposición. Esta que es condición necesaria no es sin embargo
suficiente. Porque si el plano de la órbita lunar coincidiese con el plano de la
eclı́ptica, se producirı́a sin duda un eclipse cada vez que hubiese Luna llena.
Pero como el plano de la órbita lunar se encuentra inclinado respecto al de
la eclı́ptica unos 5 grados, será preciso, además, que cuando Sol y Luna se
encuentren en oposición ésta a su vez se halle cerca de uno de sus nodos.
En relación con la Figura 7.1, la lı́nea punteada representa la órbita de
la Luna, S es el centro del Sol, T el de la Tierra. V es el vértice del cono
de sombra de la Tierra. MN el radio del cono de sombra a la distancia de
la órbita lunar. Llamaremos q al ángulo NT V y v al ángulo XV T . XNT
es precisamente q + v, pero también es el ángulo subtendido por el radio
terrestre a la distancia de la Luna, es decir, el paralaje lunar p. Por tanto
p=q+v
(7.1)
Por otro lado, XAT es el ángulo subtendido por el radio terrestre a la
distancia del Sol, es decir, el paralaje del Sol; AT S es el semidiámetro del
Sol. Se sigue que
89
90
7. Eclipses de Luna
A
X
S
T
N
L
V
Figura 7.1 Geometrı́a del eclipse de Luna
S −v =P
(7.2)
q =P +p−S
(7.3)
y combinando ambas
Razonando se forma similar sobre el cono de penumbra se ve que es
q′ = P + p + S
(7.4)
Las observaciones demuestran sin embargo que el semidiámetro de la
sombra es un dos por ciento mayor debido al efecto de la refracción de la
luz en la atmósfera terrestre. Lambert dió para este incremento un valor de
1/40, y Mayer de 1/60. El valor adoptado de 1/50 fue encontrado por Beer
y Madler a partir de una serie de observaciones del eclipse especialmente
favorable que se produjo en diciembre de 1833. Ası́ que tomaremos:
51
(P + p − S)
50
51
(P + p + S)
=
50
q =
q′
(7.5)
La Figura 7.2 representa los planos de la eclı́ptica y de la órbita lunar. La
Luna está representada en el punto L; N es el nodo de la órbita de la Luna.
S es el punto antisolar, o punto diametralmente opuesto a la posición del Sol
en un sistema de referencia geocéntrico (en este caso, eclı́ptico geocéntrico).
SA es el radio del cono de sombra o penumbra ya calculado anteriormente.
Llamaremos η a la distancia SA.
91
7.1. Condiciones generales
P
L
S
N
A
Figura 7.2 Condición para el eclipse de Luna
Entonces, habrá eclipse penumbral cuando η sea menor que la suma del
semidiámetro de la Luna mas el radio del cono de penumbra, es decir, cuando
η < q′ + s =
51
(P + p + S) + s
50
(7.6)
y eclipse parcial si
51
(P + p − S) + s
(7.7)
50
Al igual que se hizo para eclipses solares, se puede expresar la condición
de que se produzca un eclipse en términos de la latitud de la Luna. Siendo
la geometrı́a completamente similar, para los eclipses parciales
η <q+s=
51
(P + p − S) + s sec i′
β <=
50
y para los eclipses totales:
β <=
51
(P + p − S) − s sec i′
50
(7.8)
(7.9)
donde i′ fue definida en la sección 3.2. En aquella misma sección dábamos
los valores extremos para los semidiámetros y paralajes. Usando esos mismos
valores extremos encontramos ahora que un eclipse parcial no se puede producir si la latitud de la Luna es superior al valor máximo βmax = 10 2′ 35′′ 33;
92
7. Eclipses de Luna
se producirá sin embargo si es inferior al valor mı́nimo βmin = 00 5′ 32′′ 40.
Cuando sea βmin < β < βmax recurriremos a (7.8) y (7.9).
7.2.
Instante en que se produce una fase dada
del eclipse
La solución a este problema puede encontrarse a partir de las fórmulas
generales discutidas antes para los eclipses de Sol sin más que intercambiar
a la Luna por la Tierra y considerando al eclipse lunar como un eclipse solar
visto desde la Luna. Expondremos sin embargo un método más simple y
directo.
P
Q
S
L
Figura 7.3 Predicción de un eclipse lunar
El eclipse penumbral o parcial comienza o termina cuando la Luna es
tangente respectivamente al cono de penumbra o de sombra. El radio del
cono de penumbra o sombra a la distancia de la Luna ya ha sido calculado
anteriormente. Tenemos, para cada cono, cuatro contactos: dos internos y dos
externos. Los contactos primero y último del cono de penumbra con la Luna
ocurren cuando la distancia entre el centro de la Luna y el punto antisolar es
η=
51
(P + p + S) + s
50
(7.10)
mientras que para los contactos interiores con el cono de penumbra se
cumple que
7.2. Instante en que se produce una fase dada del eclipse
51
(P + p + S) − s
50
Para los contactos exteriores con el cono de sombra:
η=
93
(7.11)
51
(P + p − S) + s
(7.12)
50
y finalmente, para los contactos interiores con el cono de sombra
η=
51
(P + p − S) − s
(7.13)
50
Pues bien, consideremos cualquiera de las tangencias. Si en ese momento
las coordenadas de la Luna son (αL , δL ) y las coordenadas del punto antisolar
son (α0 , δ0 ), en el triángulo esférico definido por estos dos puntos y el polo
norte ecuatorial, habiendo llamado η a la distancia entre los centros de la
Luna y el punto antisolar y llamando ahora Q al ángulo en el vértice ocupado
por dicho punto, de las relaciones del seno y del seno por el coseno, se sigue:
η=
sen η sen Q = cos δL sen(αL − α0 )
sen η cos Q = cos δ sen δL − cos δL sen δ cos(αL − α0 )
(7.14)
que se pueden escribir, con precisión suficiente, como
η sen Q = (αL − α0 ) cos δL
η cos Q = δL − δ0
(7.15)
x = (αL − α0 ) cos δL
y = δL − δ0
(7.16)
Llamemos ahora
Estas cantidades pueden calcular durante un intervalo que incluya el instante de la oposición entre el Sol y la Luna, y calcularse (p. ej. usando
interpolación lagrangiana) sus variaciones x′ e y ′. Sea T0 un instante de tiempo cercano a la oposición, y T el instante en que se produce alguna de las
tangencias. Entonces
η sen Q = x0 + x′ τ
η cos Q = y0 + y ′τ
(7.17)
94
7. Eclipses de Luna
Llamemos ahora
x0
y0
x′
y′
=
=
=
=
m sen M
m cos M
n sen N
n cos N
(7.18)
con lo cual
η sen Q = m sen M + τ n sen N
η cos Q = m cos M + τ n cos N
(7.19)
de donde se sigue que
η sen(Q − N) = m sen(M − N)
η cos(Q − N) = m sen(M − N) + τ n
(7.20)
Haciendo Ψ = Q − N tenemos finalmente
sen Ψ =
τ=
m sen(M − N)
η
1
[η cos Ψ − m cos(M − N)]
n
(7.21)
El instante de la tangencia es entonces T = T0 + τ , donde el valor negativo de cos Ψ se toma para el primer contacto y el valor positivo para el
segundo. Qué tangencia sea dependerá del valor de η según viene dado por
las ecuaciones (7.10)-(7.13).
Al mismo resultado se llega a partir de las ecuaciones (7.19) ya que,
elevando al cuadrado ambas y sumando se obtiene una ecuación de segundo
grado:
η 2 = m2 sen2 (M − N) + [m cos(M − N) + nτ ]2
m
η 2 − m2 sen2 (M − N)
τ = − cos(M − N) ±
n
n2
"
y como η sen Ψ = m sen(M − N)
#1/2
(7.22)
(7.23)
7.2. Instante en que se produce una fase dada del eclipse
95
m
η
cos(M − N) ± cos Ψ
(7.24)
n
n
Los signos ± determinan el último y el primer contacto, de forma que el
eclipse es máximo cuando T = T0 + τ ′ con
τ =−
m
cos(M − N)
(7.25)
n
Esto mismo se comprueba a partir de (7.22), ya que al constar de dos
términos positivos, η 2 es mı́nima cuando el término entre corchetes se anula,
lo que da para τ el valor de (7.25), y para η el de ∆ = ±m sen(M − N),
donde se tomará el signo que haga a ∆ positiva.
Se define la magnitud del eclipse como la razón
τ′ = −
η−∆
(7.26)
2s
donde se tomará para η el valor medio de los dos que determinan el primer
y último contacto con el cono de sombra.
Queda por determinar en qué punto del limbo lunar comenzará a apreciarse el oscurecimiento. Volviendo a la Figura 7.3, y ya que el ángulo en
P es pequeño, Q es aproximadamente igual al suplemento del ángulo en el
vértice L, y como los ángulos de posición se miden en sentido N-E-S-W, es
claro que el punto de contacto tiene ángulo de posición θ = 1800 + Q.
D=
96
7. Eclipses de Luna
Capı́tulo 8
Ocultación de estrellas por la
Luna
8.1.
Introducción
La Luna tiene un periodo orbital sidéreo de aproximadamente 27 dı́as y
un tercio, por lo que en este tiempo habrá completado una revolución sobre
la esfera celeste, moviéndose hacia el Este en relación a las estrellas fijas a
una velocidad de algo más de medio grado por hora. En su recorrido por
el cielo, se produce frecuentemente la interposición del disco lunar entre el
observador y una estrella. A la súbita desaparición y posterior reaparición de
una estrella tras el disco lunar se le llama ocultación, y a los momentos en
que la estrella desaparece y reparece, respectivamente inmersión y emersión.
Los instantes de inmersión y emersión dependen de las posiciones de la
Luna, de la estrella y del observador. Es por eso que, antes del desarrollo
de métodos más modernos, la observación de ocultaciones se usaba para
determinar la longitud del observador. Si se conoce la posición de la Luna,
pueden calcularse las circunstancias de la ocultación para un observador y
una estrella dada, y estas circunstancias dependen de la longitud del primero.
La posición de la Luna se calcula de acuerdo con una teorı́a muy elaborada de su movimiento, pero se encuentra, en parte como resultado de la
observación de ocultaciones, que la longitud media de la Luna deducida de
las observaciones difiere de la longitud teórica en algunos segundos de arco.
Esta discrepancia se atribuye cambios en el periodo de rotación de la Tierra,
y de ahı́ la importancia de la observación de ocultaciones.
La ocultación de una estrella fija por la Luna puede tratarse como un
eclipse solar, en el cual el Sol ha sido trasladado a una distancia tal que su
semidiámetro y paralaje se han hecho nulos. El cono de sombra se transforma
97
98
8. Ocultación de estrellas por la Luna
entonces en un cilindro cuyo radio, en unidades del radio terrestre, es una
constante k = 0,2725. El que llamamos en su momento punto Z coincide con
la posición de la estrella. De ahı́ que las coordenadas de la Luna en el sistema
de referencia fundamental vengan dadas por
x = r[cos δL sen(αL − a)]
y = r[sen δL cos d − cos δL sen d cos(αL − a)]
z = r[sen δL sen d + cos δL cos d cos(αL − a)]
(8.1)
que son las mismas ecuaciones (4.23) con la sola salvedad de que ahora
(a, d) no son las coordenadas de Z sino las de la estrella. Esto vale también para las coordenadas del punto de observación dadas por (4.32), que
reproducimos por conveniencia:
ξ = ρ cos ϕ′ sen(µ − a)
η = ρ[sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos(µ − a)]
ζ = ρ[sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos(µ − a)]
8.2.
(8.2)
Predicción de una ocultación para un lugar dado
Supongamos que ya conocemos que va a producirse una ocultación. Calcularemos los instantes aproximados de inmersión y emersión, con objeto de
preparar la observación. Para proceder con rigor, debemos emplear el método
por el que calculamos los instantes de comienzo y fin de un eclipse solar en
un lugar dado. Llamaremos T0 al instante en que se produce la conjunción en
ascensión recta de la Luna con la estrella. En el instante T en que se produce
la inmersión o emersión se cumplirá
k sen Q = x − ξ
k cos Q = y − η
(8.3)
siendo T = T0 + τ . Las coordenadas de la Luna y del lugar de observación
vienen dadas por (8.1) y (8.2), siendo θ = µ − a el ángulo horario de la
estrella. En T
k sen Q = x − ξ + (x′ − ξ ′ )τ
k cos Q = y − η + (y ′ − η ′ )τ
(8.4)
8.2. Predicción de una ocultación para un lugar dado
99
Como en otras ocasiones, llamamos
m sen M
m cos M
n sen N
n cos N
=
=
=
=
x−ξ
y−η
x′ − ξ ′
y′ − η′
(8.5)
de donde
k sen Q = m sen M + τ n sen N
k cos Q = m cos M + τ n cos N
(8.6)
y
sen Ψ =
τ=
m sen(M − N)
k
k cos Ψ m cos(M − N)
−
n
n
(8.7)
(8.8)
con Ψ = Q − N.
De (8.1), con suficiente aproximación, en las cercanı́as de la conjunción
puede escribirse, teniendo en cuenta la relación entre el paralaje p y la distancia geocéntrica de la Luna 1 ,
δL − d
p
15(αL − a) cos δL
x =
p
y =
(8.9)
En el mismo instante de la conjunción, x = 0. Por su parte, x′ e y ′ pueden
obtenerse por interpolación (p. ej. derivando el polinomio interpolador de
Lagrange). Por otro lado, de (8.2),
ξ ′ = ρθ′ cos ϕ′ cos θ
η ′ = ρθ′ cos ϕ′ sen d sen θ
1
(8.10)
En su momento, denominamos con d a la distancia geocéntrica de la Luna. En el actual
contexto, d es la declinación de la estrella
100
8. Ocultación de estrellas por la Luna
donde θ = µ − a = µ1 − ω − a, siendo µ1 el tiempo sidéreo en Greenwich
y ω la latitud oeste del lugar de observación. Finalmente, como el tiempo
sidéreo se incrementa en 2π en 23h 56m de tiempo medio, es
θ′ =
2π
= 0,2625
23,93
(8.11)
Se pondrá especial cuidado en la determinación del instante de emersión,
y por supuesto del punto sobre el limbo de la Luna en que tendrá lugar.
Recordando que en un eclipse de Sol el punto de contacto con el limbo fue
calculado y resultó ser Ψ + N, el contacto en el limbo de la Luna diferirá de
éste, como es fácil ver, en π, luego valdrá Ψ + N + 1800. La distancia mı́nima
entre el centro de la Luna y la estrella será
∆ = ±m sen(M − N)
(8.12)
donde se tomará el signo que haga positivo a ∆. Como última observación,
si resulta m sen(M − N) > k será sen Ψ > 1. Interpretaremos entonces que
la ocultación es imposible.
8.3.
Paralelos lı́mite de la ocultación
Hemos desarrollado para el caso de eclipses solares el cálculo de las curvas
lı́mite norte y sur que delimitan los puntos de la superficie terrestre desde
los cuales es posible observar el eclipse. Aquı́ nos limitaremos al problema
más simple de determinar las latitudes extremas en que una ocultación puede observarse. Nótese que el hecho de que un punto se encuentre entre estos
extremos no garantiza que pueda observarse la ocultación, ya que las curvas lı́mite no coinciden con los paralelos geográficos, sino que cortan a los
meridianos con ángulos variables.
Digamos sin embargo que desde un punto situado sobre una curva lı́mtie,
norte o sur, la estrella pasará tangente al limbo lunar. Pero comoquiera que
la superficie de la Luna es irregular, el limbo no es exactamente circular, y en
una tangencia pueden observarse varias inmersiones y emersiones, fenómeno
de gran interés para el estudio de la topografı́a lunar.
El paralelo lı́mite (norte o sur) toca en un punto a la curva lı́mite (norte o sur). En ese punto, la distancia del observador al eje del cilindro es
exactamente el radio de la Luna, k, luego la condición (8.12) se reduce a
k = ±m sen(M − N)
y como
(8.13)
101
8.3. Paralelos lı́mite de la ocultación
x − ξ = m sen M
y − η = m cos M
(8.14)
(x − ξ) cos N − (y − η) sen N = ±k
(8.15)
entonces
viniendo el ángulo N determinado por
x′ − ξ ′ = n sen N
y ′ − η ′ = n cos N
(8.16)
siendo suficiente para un cálculo aproximado tomar
x′ = n sen N
y ′ = n cos N
(8.17)
En el instante de la conjunción (x = 0)
−ξ cos N − (y − η) sen N = ±k
(8.18)
Si despreciamos el achatamiento terrestre
sen ϕ = η cos d + ζ sen d
(8.19)
donde
ζ=
q
1 − ξ 2 − η2
(8.20)
El problema queda entonces planteado en los siguientes términos: encontrar los valores extremos de ϕ que satisfacen (8.19) con las restricciones (8.18)
y (8.20). Sean
a = −ξ cos N + η sen N
b = ξ sen N + η cos N
(8.21)
de donde se sigue
102
8. Ocultación de estrellas por la Luna
−ξ = a cos N − b sen N
η = a sen N + b cos N
√
ζ =
1 − a2 − b2
(8.22)
La condición (8.18) se reescribe como
a = y sen N ± k
(8.23)
a2 + b2 + ζ 2 = 1
(8.24)
que es una cantidad constante, ya que suponemos que x′ e y ′ son constantes. Como
podemos introducir las variables γ y ǫ de forma que
cos γ = a
sen γ cos ǫ = b
sen γ sen ǫ = ζ
(8.25)
donde sen γ queda restringido a valores positivos. Con todo esto:
sen ϕ = cos γ sen N cos d + sen γ cos ǫ cos N cos d + sen γ sen ǫ sen d
(8.26)
Un nuevo cambio de variables definido por
sen β = sen N cos d
cos β cos λ = cos N cos d
cos β sen λ = sen d
(8.27)
(restringiendo cos β a valores positivos) conduce a
sen ϕ = sen β cos γ + cos β sen γ cos(λ − ǫ)
(8.28)
donde las únicas variables son ϕ y ǫ. Como cos β sen γ es positivo, sen ϕ
es máximo cuando cos(λ − ǫ) = 1, o bien λ − ǫ = 0, y mı́nimo cuando
cos(λ − ǫ) = −1, o λ − ǫ = 1800 . Entonces, tenemos los lı́mites
sen ϕ = sen β cos γ ± cos β sen γ = sen(β ± γ)
(8.29)
103
8.4. Correciones en la longitud de la Luna
es decir, ϕ = β + γ para el lı́mite norte y ϕ = β − γ para el lı́mite
sur. Como hemos de limitarnos a valores de ζ > 0, será también sen ǫ > 0.
Para el lı́mite norte, con λ = ǫ, sen λ ha de ser positivo, y de acuerdo con
cos β sen λ = sen d, sólo ocurrirá si d > 0. Según todo esto, la fórmula que da
el lı́mite norte es válida sólo cuando la declinación de la estrella es norte. Para
el lı́mite sur, λ = ǫ + 1800 y sen λ ha de ser negativo, lo cual sólo ocurrirá si
d < 0. Es decir, la fórmula que da el lı́mite sur es válida sólo si la declinación
de la estrella es sur. El segundo lı́mite de visibilidad en cada caso será uno
de los puntos en que ζ = 0 y en consecuencia también sen ǫ = 0, cos ǫ = ±1,
con lo cual
sen ϕ = (sen N cos γ ± cos N sen γ) cos d
(8.30)
Si nos restringimos a valores de cos N positivos, el signo positivo de la
ecuación anterior da el lı́mite norte, que será usado cuando ϕ = β − γ haya
proporcionado el lı́mite sur. El signo negativo da el lı́mite sur para el caso en
que ϕ = β + γ haya dado el lı́mite norte.
8.4.
Correciones en la longitud de la Luna
En relación con la Figura 8.1, sea X la posición de la estrella, y M la
posición calculada de la Luna, según sus efemérides, cuando se produce el
contacto. P es el polo celeste y N el nodo de la órbita lunar. La distancia
angular observada entre el centro de la Luna y la estrella ha de ser igual al
semidiámetro s de la Luna, por lo que el centro de la Luna se encontrará en
algún punto de la circunferencia de radio el semidiámetro lunar centrado en
la estrella, circunferencia que en la figura se representa en lı́nea discontinua.
El ángulo de posición P MX viene dado por
tan θ =
x−ξ
y−η
(8.31)
Si llamamos h a la distancia Tierra-Luna, y s′ a la distancia angula XM,
hs′ = (x − ξ) cosec θ = (y − η) sec θ
8.5.
(8.32)
Ocultación de estrellas fijas por planetas
Las estrellas débiles desaparecen de la visión antes de ser realmente ocultadas por el limbo iluminado del planeta, mientras que las ocultaciones de
104
8. Ocultación de estrellas por la Luna
P
X
V
N
R
M
Figura 8.1 Corección de las coordenadas de la Luna
estrellas brillantes son fenómeno bastante raro. Sin embargo, las observaciones de una de tales ocultaciones llevadas a cabo desde distintos puntos de
la Tierra tienen un gran valor para determinar la corrección al paralaje del
planeta. Si este además se encuentra cerca de uno de sus puntos estacionarios, el intervalo de tiempo entre inmersión y emersión puede ser grande y la
corrección puede entonces hacerse con mayor exactitud.
Capı́tulo 9
Ocultación de planetas por la
Luna
Si el disco de un planeta fuese perfectamente circular y se encontrase
completamente iluminado, su ocultación por la Luna podrı́a tratarse como si
fuese un eclipse solar con sólo sustituir el paralaje y semidiámetro del Sol por
los valores correspondientes al planeta. Pero la precisión de las observaciones
es tanta como para que sea necesario tener en cuenta la forma verdadera
del planeta. En cualquier caso, encontrar la forma aparente del disco de un
planeta iluminado por el Sol es un problema con el suficiente interés intrı́nseco
como para considerarlo con detenimiento. La teorı́a que a continuación se
expone es debida fundamentalmente a Bessel, tal y como es recogida por
Chauvenet, a quien seguimos en este capı́tulo estrechamente.
Consideraremos a los planetas como elipsoides de revolución que presentan un perfil elı́ptico cuando se encuentran completamente iluminados.
Cuando sólo están iluminados parcialmente, caso evidente en los planetas
internos, el perfil está formado por dos elipses: una que delimita la superficie
del planeta por el lado iluminado y otra que separa la parte iluminada de la
parte oscura.
9.1.
Perfil del disco del planeta
En relación con la Figura 9.1, la elipse representa el disco del planeta.
Tomaremos un sistema de referencia cuyo plano fundamental es el plano
ecuatorial del planeta, considerado como un elipsoide de revolución. El polo
del planeta es Q, y el polo celeste es P . C es un punto de la superficie del
planeta, y M la posición de un observador sobre la superficie de la Tierra. La
¯ = ρ y la distancia MC
¯ = ρ′ . Al ángulo P OQ le llamaremos p
distancia MO
105
106
9. Ocultación de planetas por la Luna
y al ángulo P OC, p′ ; llamaremos s′ al arco OC.
Las longitudes geocéntricas del centro del planeta y del punto C son λ y
′
λ , y las latitudes de los mismos puntos β y β ′.
Q
P
C
O
M
Figura 9.1 Perfil del disco del planeta
Desde el punto de vista del observador, situado en (ξ, η, ζ) , las coordenadas del centro del planeta son
ρ cos β cos λ
ρ cos β sen λ
ρ sen β
(9.1)
mientras que en el sistema planetocéntrico
−ξ = ρ cos β cos λ
−η = ρ cos β sen λ
−ζ = ρ sen β
además
(9.2)
9.1. Perfil del disco del planeta
x − ξ = ρ′ cos β ′ cos λ′
y − η = ρ′ cos β ′ sen λ′
z − ζ = ρ′ sen β ′
107
(9.3)
Por otro lado, en el triángulo QOC, de las relaciones del seno y del seno
por el coseno:
sen s′ sen(p′ − p) = cos β ′ sen(λ′ − λ)
sen s′ cos(p′ − p) = sen β ′ cos β − cos β ′ sen β cos(λ′ − λ)
(9.4)
Multiplicando por ρ′ y teniendo en cuenta (9.2) y (9.3)
ρ′ sen s′ sen(p′ − p) = −x sen λ + y cos λ
ρ′ sen s′ cos(p′ − p) = −x sen β cos λ − y sen β sen λ + z cos β
(9.5)
que se puede escribir, con aproximación suficiente, como
ρs′ sen(p′ − p) = −x sen λ + y cos λ
ρs′ cos(p′ − p) = −x sen β cos λ − y sen β sen λ + z cos β
(9.6)
Estas ecuaciones son válidas para cualquier punto sobre la superficie del
planeta. Si las aplicamos a aquellos puntos en que la lı́nea de visión es tangente al elipsoide, obtendremos la ecuación del contorno aparente del planeta.
La ecuación del elipsoide de revolución es
x2 y 2 z 2
+
+
=1
(9.7)
a2 a2 b2
La tangencia se expresa por el hecho de que el vector que va de (ξ, η, ζ)
a (x, y, z) es perpendicular al gradiente a la superficie en el punto (x, y, z).
Esto da
xξ yη zζ
+ 2 + 2 =1
(9.8)
a2
a
b
Es claro que ξ >> x, e igualmente para las otras dos coordenadas. Dividiendo por ρ y despreciando el término 1/ρ se llega entonces a
x cos β cos λ y cos β sen λ z sen β
+
+
=0
a2
a2
b2
(9.9)
108
9. Ocultación de planetas por la Luna
Si las coordenadas de un punto de la curva que determina el perfil son
u = s′ sen(p′ − p)
v = s′ cos(p′ − p)
(9.10)
Combinando (9.10) con (9.6)
ρu = −x sen λ + y cos λ
ρv = −x sen β cos λ − y sen β sen λ + z cos β
(9.11)
y de (9.9), poniendo b2 = a2 (1 − e2 )
(x cos λ + y sen λ)(1 − e2 ) cos β + z sen β = 0
(9.12)
Ahora, de (9.11) y (9.12),
−x sen λ + y cos λ = ρu
sen β
1 − e2 cos2 β
(1 − e2 ) cos β
z = ρv
1 − e2 cos2 β
−x cos λ − y sen λ = ρv
(9.13)
Es una mera cuestión algebraica obtener x, y y z de estas ecuaciones y
sustituir en la ecuación del elipsoide.√ Si llamamos s = a/ρ (semidiámetro
aparente máximo del planeta) y c = 1 − e2 cos2 β, encontramos finalmente
v2
(9.14)
c2
que es la ecuación del perfil del planeta proyectado sobre la esfera celeste.
La cuestión ahora es qué porción de esta elipse está iluminada y es visible
desde la Tierra. Para responderla, veamos que los razonamientos anteriores
quedan invariables si en lugar de tomar como punto de observación uno sobre
la Tierra lo tomamos en el mismo Sol (al que podemos considerar como un
punto geométrico). Entonces, si Λ y B son la longitud y latitud del Sol en el
sistema cuyo plano principal es el ecuador del planeta, los puntos del contorno
de éste según se ve desde el Sol cumplen
s2 = u 2 +
x cos B cos Λ y cos B sen Λ z sen B
+
+
=0
a2
a2
b2
(9.15)
9.1. Perfil del disco del planeta
109
que es la ecuación equivalente a (9.9). A su vez, si cada uno de estos
puntos es proyectado sobre la esfera celeste según son vistos por el observador
terrestre, tienen que satisfacer las ecuaciones
ρu = −x sen λ + y cos λ
ρv = −(x cos λ + y sen λ) sen β + z cos β
(9.16)
Los valores de (x, y, z) determinados por (9.15) y (9.16), sustituidos en
la ecuación del elipsoide, proporcionan la relación entre u y v, es decir, la
ecuación de la curva que separa la zona iluminada del planeta de la zona
oscura, según se ve desde la Tierra.
Una vez establecido el procedimiento, vayamos a los cálculos. Pongamos:
x1 = −x sen λ + y cos λ
y1 = x cos λ + y sen λ
(9.17)
Introducimos también las cantidades auxiliares β1 y B1 , que se relacionan
con β y B a través de
cos β1 = g cos β
a
sen β1 = g sen β
b
cos B1 = G cos B
a
sen B1 = G sen B
b
(9.18)
Se sigue
0 = x1 cos B1 sen(Λ − λ) + y1 cos B1 cos(Λ − λ)
a
+ z sen B1
b
ρu = x1
a
a
gρv = −y1 sen β1 + z cos β1
b
b
A partir de las cuales:
(9.19)
x1 = ρu
a
Ny1 = −ρu cos β1 cos B1 sen(Λ − λ) − gρv sen B1
b
a
N z = −ρu sen β1 cos B1 sen(Λ − λ)
b
a
+ gρv cos B1 cos(Λ − λ)
b
(9.20)
110
9. Ocultación de planetas por la Luna
donde por brevedad hemos puesto N = sen β1 sen B1 +cos β1 cos B1 cos(Λ−
λ). Respecto a las relaciones que hemos establecido entre β1 y β, el significado de las mismas es el siguiente (y la explicación es análoga para B1 y
B).
A
C
B
D
g
O
M
N
Figura 9.2
Si trazamos una lı́nea desde el centro del planeta hasta el observador,
esta lı́nea corta al elipsoide en un punto de latitud β, que se indica por el
punto D de la Figura 9.2. Si el elipsoide se circunscribe con una esfera y el
punto D es proyectado sobre la misma mediante una perpendicular al plano
fundamental, se obtiene el punto C, de latitud β1 . Si el radio del elipsoide g
se da en unidades del semieje mayor, el segmento OM es por un lado cos β1
y por otro lado g cos β. Por otro lado, el segmento MD = g sen β está con
el segmento MC en la misma relación que están b y a, ya que dos puntos
A y C sobre la circunferencia exterior se transforman en los puntos B y D
cuando ésta circunferencia es girada un ángulo dado alrededor del eje ON,
de tal forma que la circunferencia NCA se transforma en la elipse NDB.
Sean los dos puntos que resultan de las intersecciones de las rectas que
unen el centro del planeta con el observador y con el centro del Sol. Estas
lı́neas cortan en dos puntos al elipsoide y se proyectan en otros dos por lı́neas
perpendiculares al ecuador del planeta sobre la esfera que lo circunscribe.
Sea Q el polo del planeta, O la proyección sobre la esfera de la intersección
de la lı́nea que une el centro del planeta con el observador terrestre y Q el
punto análogo para la otra lı́nea, que une el centro del planeta con el centro
del Sol. En el triángulo esférico QOS, el ángulo en Q es Λ − λ, y los lados de
ese ángulo son 90◦ − β1 y 90◦ − B1 ; al lado OS le llamaremos V y al ángulo
111
9.1. Perfil del disco del planeta
en O, ω. Entonces, de las relaciones del seno, coseno y seno por coseno:
sen V sen ω = cos B1 sen(Λ − λ)
sen B1 = sen β1 cos V − cos β1 sen V cos ω
cos B1 cos(Λ − λ) = cos V cos β1 − sen V sen β1 cos ω
(9.21)
y por rotación, también
cos B1 sen(Λ − λ) = sen V sen ω
cos V = sen B1 sen β1 + cos B1 cos β1 cos(Λ − λ)
sen V cos ω = sen B1 cos β1 − cos B1 sen β1 cos(Λ − λ) (9.22)
De aquı́
x1 cos V
y1 cos V
a
z cos V
b
= ρu cos V
= −ρu sen V sen ω cos β1
a
− gρv(cos V sen β1 + sen V cos β1 cos ω)
b
= −ρu sen V sen ω sen β1
a
+ gρv(cos V cos β1 − sen V sen β1 cos ω)
b
(9.23)
Sustituyendo en la ecuación
del elipsoide, teniendo en cuenta que x2 +
√
y 2 = x21 + y12, llamando c = 1 − e2 cos2 β = b/(ag) y s = a/ρ, tras una
manipulación algo engorrosa se llega a
v
v
sen ω)2 + (u sen ω + cos ω)2 sec2 V
(9.24)
c
c
que es la ecuación de la curva de iluminación según se ve desde la Tierra.
Esta es la ecuación de una elipse centrada y girada un ángulo V . De hecho,
cuando V = 0 tenemos la ecuación (9.14), a la que llamaremos ”primera elipse”, mientras que a esta que acabamos de encontrar la llamaremos ”segunda
elipse”.
Ambas están representadas en la Figura 9.3. El perfil del planeta está compuesto por la mitad de una elipse y la mitad de otra, y ambas curvas hacen
contacto en los puntos C y C ′ , que son los puntos de tangencia de las dos
elipses. Estos puntos, por tanto, satisfacen las ecuaciones de la primera y de
la segunda elipse. Combinando ambas, si llamamos u1 y v1 a los valores de
u y v que las satisfacen:
s2 = (u cos ω −
112
9. Ocultación de planetas por la Luna
B
C
D’
A
A’
D
C’
B’
Figura 9.3 Elipses primera y segunda
v1
u1 sen ω + cos ω
c
que se cumple en general si
2
tan2 V = 0
(9.25)
v1
cos ω = 0
(9.26)
c
Si llamamos P1 al ángulo de posición de (u1 , v1 ), teniendo en cuenta que
u1 sen ω +
u1 = s1 sen(P1 − p)
v1 = s1 cos(P1 − p)
(9.27)
Sustituyendo en (9.26)
s1
cos ω cos(P1 − p) = 0
c
Si ahora introducimos c1 y ω1 mediante las ecuaciones
s1 sen(P1 − p) sen ω +
sen ω = c1 sen ω1
1
cos ω = c1 cos ω1
c
(9.28)
(9.29)
tenemos
de donde
c1 s1 cos(P1 − p − ω1 ) = 0
(9.30)
P1 = p + ω ± 90◦
(9.31)
113
9.1. Perfil del disco del planeta
Se sigue que un punto de ángulo de posición p′ se encuentra en el limbo
este si
p + ω1 + 90◦ > p′ > p + ω1 − 90◦
(9.32)
p + ω1 − 90◦ > p′ > p + ω1 + 90◦
(9.33)
y en el limbo oeste si
Por otro lado, si el planeta se encuentra en ”creciente”, existen dos puntos con el mismo ángulo de posición, por lo que será preciso especificar a
qué limbo pertenece dicho punto.
Para aplicar la teorı́a expuesta, es preciso conocer las cantidades p, β, λ, B
y Λ. Al definir el sistema de referencia centrado en el planeta, no se especificó la dirección del eje x, que ahora tomaremos en la dirección del nodo
ascendente del ecuador del planeta respecto al ecuador terrestre, punto n en
la Figura 9.4.
P
Q
E
Ecuador terrestre
γ
n
Ecuador del planeta
Figura 9.4 Relación entre coordenadas
Conocidas la longitud del nodo ascendente n y la inclinación i del ecuador
del planeta respecto al ecuador terrestre, podemos encontrar λ y β a partir
de la ascensión recta y declinación del planeta (α, δ). De la misma forma,
conocidas las coordenadas heliocéntricas eclı́pticas del planeta y la relación
entre los cı́rculos del ecuador del planeta y la eclı́ptica, encontramos (Λ, B).
Por ejemplo, para conocer la longitud y latitud del planeta a partir de la
ascensión recta y declinación, apoyándonos en la Figura 9.4, donde P QE =
90◦ − λ, QP E = 90◦ + α − n, QP = i, P E = 90◦ − δ y QE = 90◦ − β. De
las relaciones del seno, coseno y seno por coseno se sigue
114
9. Ocultación de planetas por la Luna
cos β cos λ = cos(α − n) cos δ
sen β = sen δ cos i − cos δ sen i sen(α − n)
cos β sen λ = sen δ sen i + cos δ cos i sen(α − n)
(9.34)
El ángulo de posición se mide hacia el Este, luego
p = 360◦ − η
(9.35)
siendo η el ángulo QEP . Este ángulo viene dado por
sen η cos β = sen i cos(α − n)
cos η cos β = cos i cos δ + sen i sen δ sen(α − n)
(9.36)
Téngase en cuenta que mientras que (α, δ) están tabulados con valores
geocéntricos, en nuestra teorı́a hemos usado (λ, β) topocéntricos, medidos
por el observador desde la superficie de la Tierra, que han de obtenerse a
partir de los geocéntricos vı́a reducción de latitud: conocidas ascensión recta
y declinación geocéntricas, encontraremos los valores topocéntricos , y con
estos y las ecuaciones de transformación hallaremos la longitud y latitud
topocéntricas que necesitamos.
De acuerdo con las peculiaridades de cada planeta, la teorı́a expuesta
admite precisiones para cada caso. Ası́, para Júpiter, la inclinación de su
órbita respecto a la eclı́ptica es muy pequeña, al igual√que la de su ecuador,
y puede tomarse ω = 0 y V = Λ−λ, mientras que c ≃ 1 − e2 . Para Saturno
β ≃ 28◦ , de forma que c es variable con el tiempo. Puede tomarse sin gran
error V = 0. Un caso interesante es el de sus anillos, que pueden considerarse
como un elipsoide cuyo eje menor es cero, y por tanto la excentricidad de sus
meridianos es 1, de donde c ≃ sen β.
Respecto a los planetas interiores, que presentan fases y por tanto una
distinción clara entre las elipses primera y segunda, ocurre que pueden considerarse como esféricos, con lo cual la excentricidad de sus meridianos puede
tomarse nula. Al ser planetas esféricos, carece de importancia qué punto tomemos como polo, aunque parece natural la lı́nea paralela a las cúspides de
la porción iluminada que pasa por el centro del planeta y es perpendicular
al plano que contiene al Sol, la Tierra y el planeta.
115
9.2. Contacto entre los limbos de la Luna y el planeta
9.2.
Contacto entre los limbos de la Luna y
el planeta
En lo que sigue, se supondrá conocido el conjunto de valores (p, ω, V, c)
para el instante de la ocultación y se considerarán constantes durante la
misma y válidos para todo punto de la superficie terrestre. En la Figura 9.5,
O es el centro del planeta, C el punto de contacto con el limbo de la luna,
que se puede aproximar sin error apreciable por la tangente común mn a los
limbos de ésta y del planeta. OM se dirige al centro de la Luna y D es la
intersección de ésta lı́nea con el limbo lunar. OA y OQ son los ejes a los que
se refiere la ecuación de la curva iluminada, es decir, aquellos a los que se
refieren las coordenadas (u, v). Llamaremos θ al ángulo QOD, y s′′ al arco
OD.
P
Q
M
m
D
C
O
A
n
Figura 9.5 Geometrı́a del contacto
La ecuación de la tangente mn es aproximadamente
u sen θ + v cos θ = s′′
(9.37)
y por otra parte
dv
= − tan θ
(9.38)
du
Supondremos que el punto D cumple simultáneamente las ecuaciones
(9.24) y (9.37). Diferenciando (9.24):
sen ω
v
sen ω)(cos ω +
tan θ)
c
c
v
cos ω
+(u sen ω + cos ω)(sen ω −
tan θ) sec2 V = 0
c
c
(u cos ω −
(9.39)
116
9. Ocultación de planetas por la Luna
Ahora, podemos usar (9.24) junto con (9.37) y (9.39) para eliminar u y
v y obtener una relación entre s y s′′ . Llamando
x = u cos ω − (v/c) sen ω
y = u sen ω + (v/c) cos ω
sen θ
c′ sen θ′ =
c
c′ cos θ′ = cos θ
(9.40)
tenemos
x cos(θ′ − ω) − y sen(θ′ − ω) sec2 V
x2 + y 2 sec2 V
= 0
= s2
s′′
x sen(θ′ − ω) + y cos(θ′ − ω) =
cc′
(9.41)
como se comprueba al tener en cuenta que
u = x cos ω + y sen ω
v
= −x sen ω + y cos ω
c
(9.42)
De la primera y la segunda de (9.41)
x = s sen(θ′ − ω)(1 − cos2 (θ′ − ω) sen2 V )−1/2
y = s cos(θ′ − ω) cos2 V (1 − cos2 (θ′ − ω) sen2 V )−1/2
(9.43)
y sustituyendo en la tercera:
q
(9.44)
s′′ = scc′ cos X
(9.45)
s′′ = scc′ 1 − cos2 (θ′ − ω) sen2 V
y si ponemos sen X = cos(θ′ − ω) sen V , entonces
Como en todos los casos prácticos puede tomarse ω = 90◦ , tenemos
9.2. Contacto entre los limbos de la Luna y el planeta
1
tan θ
c
sen X = sen θ′ sen V
s sen θ cos X
s′′ =
sen θ′
117
tan θ′ =
(9.46)
s′′ es el semidiámetro del cuerpo eclipsado, de forma que, a partir de este
punto, hemos de remitirnos a la teorı́a general. Los detalles de este encaje
entre los razonamientos anteriores y la teorı́a precedente dependen del grado
de elipticidad del planeta considerado (incluyendo los anillos de Saturno) y
de si el contacto se produce entre la elipse primera o la segunda. Remitimos
para estas consideraciones a la obra de referencia 1 .
1
WILLIAM CHAUVENET, Spherical and Practical Astronomy
118
9. Ocultación de planetas por la Luna
Capı́tulo 10
Tránsitos
10.1.
Introducción
Cuando los planetas Venus o Mercurio, cuyas órbitas se encuentran entre
el Sol y la órbita de la Tierra se interponen entre nosotros y el Sol, se produce un tránsito. La geometrı́a de este fenómeno es la misma que la de los
eclipses solares, salvo que uno de los planetas interiores sustituye a la Luna.
Deben hacerse no obtante algunas precisiones. Para Venus k = 0,9975 y para
Mercurio k = 0,3897, valores que habrán de ser sustituidos en (4.39) y (4.40).
Por otro lado, la cantidad b que aparece en (4.6) no puede considerarse ahora
una cantidad pequeña, y por tanto usaremos las ecuaciones exactas (4.7) y
(4.13) en lugar de sus aproximaciones.
Los tránsitos de planetas interiores son un fenómeno difı́cil de observar,
en especial por lo que se refiere al primer contacto interior. Sin embargo, se
empleó mucho tiempo y esfuerzo en intentar optimizar las observaciones, y
ello debido a que de éstas se pueden deducir correcciones tanto al paralaje del
planeta como al del Sol, y por tanto determinar más exactamente la unidad
astronómica.
La justificación de esta última afirmación y la comprensión del esfuerzo
que durante el siglo XIX se puso en la observación de tránsitos requerirá que
nos introduzcamos, al menos someramente, en toda una rama de la teorı́a de
eclipses que todavı́a no habı́amos citado: la aplicación de las observaciones
a la corrección de los elementos que se usaron para esas observaciones, y a
la corrección de longitudes terrestres. Comoquiera que esta rama se desarrolló en principio en conexión con los eclipses solares, nos referiremos a la
Luna como cuerpo eclipsante, pero no debe perderse de vista que la geometrı́a
de un tránsito es la misma, por lo que todo cuanto deduzcamos en adelante
referido a eclipses solares tendrá aplicación inmediata a tránsitos con solo
119
120
10. Tránsitos
guardar las precauciones indicadas arriba.
Es preciso decir que los métodos que se exponen a continuación no son ni
modernos ni precisos en comparación con otros desarrollados posteriormente, por lo que el lector no interesado en ellos puede omitirlos directamente.
Aquı́ se exponen por su interés histórico y porque nos interesa más la exposición de la geometrı́a que el método práctico.
10.2.
Longitud de un lugar a partir de la observación de un eclipse
La observación de un eclipse da los tiempos locales de los contactos entre
los discos del Sol y la Luna. En el caso de un eclipse parcial sólo hay dos contactos, los exteriores. En el caso de un eclipse total o anular también existen
dos contactos interiores. Sean ω la longitud oeste del lugar de observación,
t el tiempo medio local de un contacto y µ el tiempo sidéreo local en t. La
conversión de t en µ requiere saber la longitud del lugar, que supondremos
conocida por el observador al menos con la suficiente precisión. Sea T0 un
instante local de Greenwich en que se han calculado x e y, y sean (x0 , y0 )
los valores de (x, y) en T0 y (x′ , y ′) la variación horaria en t + ω. Si ponemos
τ = t + ω − T0 , los valores de (x, y) en t + ω, que es el instante del meridiano
origen en que el observador situado a la longitud ω observa el contacto, son
x = x0 + x′ τ
y = y0 + y ′ τ
(10.1)
Los valores de (x′ , y ′) que han de ser empleados en (10.1) se toman para el
tiempo t + ω, obtenido del valor aproximado de ω. Las cantidades l e i varı́an
tan lentamente que sus valores, tomados en el instante aproximado t + ω no
difieren apreciablemente de los valores verdaderos. Por la misma razón, las
cantidades (a, d) tomadas en t + ω son suficientemente precisas. Por tanto
conocida la latitud, las coordenadas del lugar de observación (ξ, η, ζ) pueden
obtenerse a partir de (4.32). En el instante de contacto, las ecuaciones (4.47)
y (4.48) se cumplen exactamente, luego:
L sen Q = x0 − ξ + x′ τ
L cos Q = y0 − η + y ′ τ
donde τ es una cantidad desconocida. Llamando
(10.2)
121
10.3. Corrección de la longitud
m sen M
n sen N
m cos M
n cos N
=
=
=
=
x0 − ξ
x′
y0 − η
y′
(10.3)
(10.2) se transforma en
L sen Q = m sen M + τ n sen N
L cos Q = m cos M + τ n cos N
(10.4)
a partir de donde, poniendo Ψ = Q − N:
1
m sen(M − N)
L
1
(L cos Ψ − m cos(M − N)
(10.5)
τ =
n
Como en los casos similares que han sido discutidos, Ψ ha de tomarse de
forma que L cos Ψ sea negativo para los primeros contactos, y positivos para
los últimos, pero teniendo en cuenta que L es una cantidad negativa para
eclipses totales. Habiendo encontrado τ , la longitud es entonces
sen Ψ =
ω = T0 − t + τ
10.3.
(10.6)
Corrección de la longitud
El método expuesto anteriormente permite deducir la longitud de un lugar
a partir de los instantes en que se observan los contactos, pero como los
elementos del eclipse no se conocen exactamente, debemos saber cómo afectan
al valor encontrado los errores de tales elementos. Llamaremos ∆x, ∆y y ∆L
a los errores cometidos en x, y y L; ∆ξ y ∆η a los errores en ξ y η por errores
en ϕ′ y ρ y ∆τ al error resultante en τ .
Suponiendo que las correcciones son muy pequeñas, la relación entre ellas
se encuentra diferenciando (10.2):
∆L sen Q + L cos Q∆Q = ∆x − ∆ξ + x′ ∆τ
∆L cos Q − L sen Q∆Q = ∆y − ∆η + y ′∆τ
(10.7)
122
10. Tránsitos
donde ∆x y ∆y, que son las correcciones en x0 + x′ τ e y0 + y ′τ , incluyen
las correcciones en x′ e y ′ . Si sustituimos
x′ = n sen N
y ′ = n cos N
(10.8)
y eliminamos ∆Q, obtenemos
∆L = (∆L − ∆ξ) sen Q + (∆y − ∆η) cos Q + n cos(Q − N)∆τ
(10.9)
y si sustiuimos Q = N + Ψ:
∆τ = −(∆x − ∆ξ)
sen(N + Ψ)
cos(N + Ψ)
∆L
− (∆y − ∆η)
+
(10.10)
n cos Ψ
n cos Ψ
n cos Ψ
o bien
1
∆τ = − (∆x sen N + ∆y cos N)
n
1
= + (−∆x cos N + ∆y sen N) tan Ψ
n
1
+ (∆ξ sen N + ∆η cos N)
n
1
− (−∆ξ cos N + ∆η sen N) tan Ψ
n
∆L sec Ψ
+
n
(10.11)
y como ∆ω = ∆τ , como se sigue de (10.6), la ecuación anterior es al mismo
tiempo la corrección en longitud. Obsérvese que las correcciones ∆x, ∆y,
∆ξ y ∆η tienen valores particulares dependientes del lugar de observación.
∆ξ y ∆η a través de ρ y ϕ, y ∆x y ∆y a través del instante en que se
realiza la observación. Por tanto, es conveniente expresarlos como función
de cantidades constantes durante todo el tiempo de duración del eclipse e
independientes del lugar de observación. Consideremos en primer lugar la
parte de ∆τ que depende de ∆x y ∆y. Para un instante cualquiera T1 del
meridiano origen
x = x0 + n(T − 1 − T0 ) sen N
y = y0 + n(T1 − T0 ) cos N
(10.12)
10.3. Corrección de la longitud
123
de donde
x sen N + y cos N = x0 sen N + y0 cos N + n(T1 − T0 )
−x cos N + y sen N = −x0 cos N + y0 sen N
(10.13)
Cada miembro de la segunda ecuación es una constante que llamaremos
X:
X = −x cos N + y sen N = −x0 cos N + y0 sen N
(10.14)
y de (10.13) se sigue que
x2 + y 2 = X 2 + (x0 sen N + y0 cos N + n(T1 − T0 ))2
(10.15)
Esta expresión muestra que la distancia del eje de sombra al eje de la
Tierra no puede ser inferior a X, alcanzando su valor mı́nimo cuando el
segundo término se anula, es decir, cuando
x0 sen N + y0 cos N + n(T1 − T0 ) = 0
(10.16)
que sucede cuando
1
(x0 sen N + y0 cos N)
(10.17)
n
Mediante la introducción de X y T1 como cantidades auxiliares podemos
expresar de forma más conveniente la parte de ∆τ que depende de ∆x y ∆y.
En el instante de observación t + ω
T1 = T0 −
x sen N +y cos N = x0 sen N +y0 cos N +n(t+ω−T0 ) = n(t+ω−T1 ) (10.18)
Si ∆n, ∆T1 y ∆X son las correcciones a n, T1 y X, tenemos
∆x sen N + ∆y cos N = −n∆T1 + (t + ω − T1 )∆n
−∆x cos N + ∆y sen N = ∆X
(10.19)
con lo cual la parte de ∆τ que depende de ∆x y ∆y queda en función de
∆n, ∆T1 y ∆X, que pueden considerarse como constantes (independientes
del lugar de observación) para un eclipse dado.
Consideremos ahora la parte que depende de ∆ξ y ∆η. Estas correcciones
podemos considerarlas en último término como procedentes de la corrección
en la excentricidad del meridiano terrestre, ya que la latitud puede conocerse
124
10. Tránsitos
con la precisión que se desee y la posición del Sol se puede considerar correcta.
Si e es la excentricidad del meridiano, recordemos que
ρ cos ϕ′ = cos ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2
ρ sen ϕ′ = (1 − e2 ) sen ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2
(10.20)
Diferenciando:
∆ρ
1 2
′
cos
ϕ
=
β ρ cos ϕ′
2
∆e
2
∆ρ
1 2
′
sen ϕ =
β ρ sen ϕ′ − β
2
∆e
2
(10.21)
donde β = ρ sen ϕ′ (1 − e2 )−1 . Por otra parte, de
ξ = ρ cos ϕ′ sen(µ − a)
η = ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos(µ − a)
(10.22)
junto con (10.21) se sigue
1 2
∆ξ
=
β ξ
2
∆e
2
∆η
1 2
=
β η − β cos d
2
∆e
2
(10.23)
de donde
1 2
β (ξ sen N + η cos N)∆e2
2
−β cos d cos N)∆e2
1 2
−∆ξ cos N + ∆η sen N =
β (−ξ cos N + η sen N)∆e2
2
−β cos d sen N)∆e2
∆ξ sen N + ∆η cos N =
(10.24)
Puede ponerse ahora
ξ = x0 − (x0 − ξ) = x0 − m sen M
η = y0 − (y0 − η) = y0 − m cos M
(10.25)
125
10.3. Corrección de la longitud
y los segundos miembros se transforman en
1 2
β [x0 sen N + y0 cos N − m cos(M − N)]∆e2
2
−β cos d cos N∆e2
1 2
β [−x0 cos N + y0 sen N + m sen(M − N)]∆e2
2
−β cos d sen N∆e2
(10.26)
o bien, de la definición de X y de (10.17):
1 2
β [n(T0 − T1 ) − m cos(M − N)]∆e2
2
−β cos d cos N∆e2
1 2
β [X + m sen(M − N)]∆e2
2
−β cos d sen N∆e2
(10.27)
o, finalmente, de (10.5)
1 2
β [n(t + ω − T1 ) − L cos Ψ]∆e2
2
−β cos d cos N∆e2
1 2
β [X + L sen Ψ]∆e2
2
−β cos d sen N∆e2
(10.28)
Con todo esto, la parte de ∆τ que depende de ∆e2 es
β2
[n(t + ω − T1 ) − X tan Ψ − L sec Ψ]∆e2
2n
β cos d cos(N + Ψ) 2
−
∆e
n cos Ψ
Y en total tenemos
∆τ = ∆ω = ∆T1 + tan Ψ
−(t + ω − T1 )
∆X
n
∆n
∆L
+ sec Ψ
n
n
(10.29)
126
10. Tránsitos
1 β2
+ [ (n(t + ω − T1 ) − X tan Ψ − L sec Ψ)
n 2
β cos d cos(N + Ψ)
]∆e2
−
cos Ψ
(10.30)
Hemos encontrado una expresión de ∆ω en función de ∆n, ∆T1 , ∆X y
∆e que tienen el mismo valor desde cualquier punto desde el que se realice la observación, de modo que una serie de ecuaciones de la forma (10.30)
obtenidas en distintos puntos permiten por el método de mı́nimos cuadrados encontrar todas las correcciones. Pero también puede expresarse ∆ω en
función de las correcciones a las Efemérides, y encontrarlas por el mismo
método.
2
Capı́tulo 11
Apéndices
11.1.
Interpolación lagrangiana
Dado un conjunto de puntos (xi , yi ), con i = 1, 2, ...n, se trata de asignar
un valor y a un x arbitrario. Se admite en general que si los xi se encuentran en
un intervalo dado, x pertenece a ese mismo intervalo. La solución al problema
viene de encontrar una función y(x) tal que, para todo i, y(xi ) = yi . Un
polinomio de grado n − 1 pasa exactamente por los n puntos (xi , yi), y se
puede adoptar como valor interpolado y para un x dado el que proporciona
el polinomio y(x). Pero si n es grande no es práctico trabajar con polinomios
de grado elevado. Polinomios de grado inferior en general no pasan por todos
los puntos (xi , yi ), y se acude al mejor polinomio pk (x) de grado k < n − 1,
donde ”mejor” significa que sea mı́nima la cantidad
X
i
(yi − pk (xi ))2
(11.1)
Esto conduce a un sistema lineal de ecuaciones de donde se extraen los
coeficientes del polinomio pk .
Otra aproximación es debida a Lagrange. En efecto, definimos los polinomios lj en la forma
(x − xi )
lj = Q i6=j
i6=j (xj − xi )
Q
y definimos el polinomio
L(x) =
X
lj yj
(11.2)
(11.3)
j
Es claro que L(xj ) = yj , para todo j. En particular, si tenemos tres
parejas (xi , yi ):
127
128
11. Apéndices
(x − x2 )(x − x3 )
(x − x1 )(x − x3 )
(x − x1 )(x − x2 )
y1 +
y2 +
y3
(x1 − x2 )(x1 − x3 )
(x2 − x1 )(x2 − x3 )
(x3 − x1 )(x3 − x2 )
(11.4)
Puede usarse esta expresión para calcular numéricamente la derivada en
L(x) =
x:
L′ (x) =
11.2.
2x − x1 − x3
2x − x1 − x2
2x − x2 − x3
y1 +
y2 +
y3
(x1 − x2 )(x1 − x3 )
(x2 − x1 )(x2 − x3 )
(x3 − x1 )(x3 − x2 )
(11.5)
Latitud geocéntrica y latitud geodésica
Supondremos que la Tierra es un elipsoide de revolución, de semiejes
mayor a y menor b. Debido a la simetrı́a de revolución, razonaremos sobre un
plano meridiano, tal y como se muestra en la figura. Sea un punto P sobre el
meridiano. Su normal corta al eje x con un ángulo ϕ que llamaremos ”latitud
geodésica”. Ası́ pues, en relación con la Figura A1, la latitud geodésica es
ϕ=PCA y la latitud geocéntrica es ϕ′ =POA. Sean (x, y) las coordenadas del
punto P. Se sigue que
tan ϕ′ =
y
x
(11.6)
La ecuación de la elipse meridiana es
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
(11.7)
dx
dy
(11.8)
Por otro lado:
tan ϕ = −
Usando la ecuación de la elipse:
b2
tan ϕ
(11.9)
a2
Queda por encontrar la distancia ρ=OP en función de ϕ. Tenemos que
las coordenadas de P son
tan ϕ′ =
x = ρ cos ϕ′
y = ρ sen ϕ′
(11.10)
129
11.3. Refracción atmosférica
y
P
ϕ’
O
ϕ
C
A
x
Figura A1 Latitud geodésica y geocéntrica
de la segunda
ρ=
y
sen ϕ′
(11.11)
Sustituimos sen ϕ′ en función de tan ϕ′ , y sustituimos igualmente y a
partir de la ecuación de la elipse:
s
x2
(11.12)
a2
donde, a su vez, x viene dada por x = ρ cos ϕ′ . Sustituimos, elevamos al
cuadrado para eliminar la raı́z. Se define la excentricidad como
y =b 1−
b2
(11.13)
a2
Tomando como unidad el semieje mayor, a = 1 y escribiendo b en función
de e, tras alguna sencilla manipulación
e2 = 1 −
ρ2 =
1 + (1 − e2 )2 tan2 ϕ
1 + (1 − e2 ) tan2 ϕ
(11.14)
Comprobamos que ρ(ϕ = 0) = 1 y que ρ(ϕ = π/2) = b.
11.3.
Refracción atmosférica
La atmósfera desvı́a los rayos luminosos, de forma que las posiciones observadas de los astros no son reales, sino aparentes. De aquı́ que cuando una
estrella tiene una altura dada por el ángulo RPQ (Figura A2), el observador
130
11. Apéndices
mide STN. Se trata de encontrar la relación entre estos dos ángulos. Conviene usar distancias cenitales en lugar de alturas. Sea zr la distancia cenital
real y za la aparente: zr = 90◦ − RP Q, za = 90◦ − ST N.
R
P
Q
S
N
T
Figura A2 Refracción en atmósfera plana
Consideremos un modelo de atmósfera plana, dividida en capaz horizontales delgadas, con ı́ndice de refracción constante en cada capa. Si ni es el
ı́ndice de una capa y ni+1 el de la capa inmediatamente inferior, y si zi es
el ángulo de incidencia sobre la interfaz de ambas capas y zi+1 el ángulo de
refracción, de la ley de Snell (Figura A3):
ni sen zi = ni+1 sen zi+1
(11.15)
zi
ni
n i+1
z i+1
Figura A3 Ley de Snell
Escribiendo la ley de Snell sucesivamente para cada interfaz, teniendo
en cuenta que el ı́ndice de refracción en el exterior de la atmósfera es 1 y
llamando ns al ı́ndice en la superficie, tenemos:
131
11.3. Refracción atmosférica
sen zr
n1 sen z1
n2 sen z2
...
nk−2 zk−2
=
=
=
=
=
n1 sen z1
n2 sen z2
n3 sen z3
...
ns sen za
(11.16)
donde hemos dividido la atmósfera en k capas (de la 0 a la k − 1, que
es la que está delimitada por la superficie terrestre en su parte inferior). Se
sigue de aquı́ que
sen zr = ns sen za
(11.17)
zr = sin−1 (ns sen za )
(11.18)
o
donde ns será función de la presión y temperatura en la superficie. Si la
distancia cenital es elevada, no será suficiente con suponer que la atmósfera es plana. En lugar de ello consideraremos capas esféricas concéntricas.
Remitimos a la bibliografı́a 1 .
1
W. M. SMART, Textbook on Spherical Astronomy