polarización del campo electromagnético

POLARIZACIÓN DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
CARLOS S. CHINEA
POLARIZACIÓN DEL CAMPO
ELECTROMAGNÉTICO
Vemos a continuación cómo el campo eléctrico y también el campo
magnético se polarizan elípticamente, a partir de la expresión matemática
de las ondas electromagnéticas y del hecho de que cada uno de estos
campos se propaga en un plano (ver “Ecuaciones de las ondas
electromagnéticas”, en esta misma web).
0. Introducción:
Sabemos del trabajo de estudio de las Ecuaciones de las Ondas Electromagnéticas
que las soluciones de las ecuaciones de onda son de la forma
[
]
r
r
r
r
E = Re Γe .e jwt = E r cos ωt − Ei senωt ,
[
]
r
r
r
r
H = Re Γh .e jwt = H r cos ωt − H i senωt
r
r
Siendo j la unidad imaginaria de los números complejos, y los vectores E r , E i que
r
r
aparecen en la expresión del vector campo eléctrico, así como los vectores H r , H i
de la expresión del vector campo magnético verifican que
r
r
r
Γe = E r + j.Ei
r
r
r
Las ecuaciones E = E r cos ωt − E i senωt ,
r
r
r
Γh = H r + j.H i
r
r
r
H = H r cos ωt − H i senωt
[1]
nos indican que el vector campo eléctrico se mantiene siempre en un mismo plano
y el vector campo magnético se mantiene también en un mismo plano, distinto en
general del anterior.
Lo que vamos a ver ahora es que tanto el campo eléctrico como el campo
magnético describen en el tiempo una elipse cada uno en su plano de propagación,
es decir, que el campo electromagnético sufre una polarización elíptica.
Puesto que la expresión de ambos campos es la misma, haremos el cálculo
solamente con el campo eléctrico y extenderemos el resultado al campo magnético
por analogía.
1
POLARIZACIÓN DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
CARLOS S. CHINEA
En la figura hemos colocado un sistema de referencia en el plano de propagación
del campo eléctrico, y hemos llamado α y β a los ángulos que sobre uno de los
r
r
ejes del sistema definen ambos vectores E i y E r , respectivamente.
1. Polarización. La elipse de polarización.
Si llamamos Eε y
E µ a las componentes del campo eléctrico en el sistema de
referencia de la figura, se tiene que podemos expresar los vectores en la forma:
r
E = (Eε , Eµ )
r
Er = (Er cos β , Er senβ )
r
Ei = (Ei cos α , Ei senα )
Sustituyendo en la ecuación vectorial [1]:
r r
r
E = Er cos ωt − Ei senωt = (Er cos β , Er senβ ). cos ωt − (Ei cos α , Ei senα ).senωt =
= (Er cos β cos ωt − Ei cos αsenωt , Er senβ cos ωt − Ei senαsenωt ) = (Eε , Eµ )
O sea, se tiene para la expresión de las componentes del campo eléctrico en dicho
sistema:
Eε = Er cos β cos ωt − Ei cos αsenωt
Eµ = Er senβ cos ωt − Ei senαsenωt
Veamos que tanto
[2]
Eε como E µ pueden expresarse en la forma
Eε = Eε 0 . cos(ϕ ε + ωt )
E µ = E µ 0 . cos(ϕ µ + ωt )
Es decir, el vector campo eléctrico describe una elipse en el tiempo.
Bastará comprobar que las constantes introducidas,
Eε 0 , E µ 0 , ϕ ε , ϕ µ , se obtienen
inmediatamente desde las expresiones [2], esto es, en función de
α , β , Ei , E r :
[3]
[4]
Eε = E r cos β cos ωt − Ei cos αsenωt = Eε 0 . cos(ϕ ε + ωt )
E µ = E r senβ cos ωt − Ei senαsenωt = E µ 0 . cos(ϕ µ + ωt )
Si hacemos en [3]:
ωt = 0 → Er cos β = Eε 0 . cos ϕε
[3.1]
2
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ωt =
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π
π

→ − Ei cos α = Eε 0 . cos ϕε +  = − Eε 0 .senϕε
2
2

[3.2]
Si hacemos en [4]:
[4.1]
ωt = 0 → E r senβ = E µ 0 . cos ϕ µ
ωt =
π
π

→ − Ei senα = Eµ 0 . cos ϕ µ +  = − Eµ 0 .senϕ µ
2
2

Si dividimos [3.2] por [3.1]:
Si dividimos [4.2] por [4.1]:
[4.2]
senϕε
E cos α
E cos α
= i
→ tgϕε = i
cos ϕε Er cos β
Er cos β
senϕ µ
cos ϕ µ
=
E senα
Ei senα
→ tgϕ µ = i
Er senβ
Er senβ
Elevamos al cuadrado [3.2] y [3.1] y sumamos a continuación:
Eε20 . cos 2 ϕε + Eε20 .sen 2ϕε = Er2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α →
→ Eε20 = Er2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α → Eε 0 = + Er2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α
Elevamos al cuadrado [4.2] y [4.1] y sumamos a continuación:
E µ2 0 . cos 2 ϕ µ + E µ2 0 .sen 2ϕ µ = E r2 .sen 2 β + Ei2 .sen 2α →
→ Eε20 = E r2 .sen 2 β + Ei2 .sen 2α → E µ 0 = + E r2 .sen 2 β + Ei2 .sen 2α
Por tanto, las componentes del vector campo eléctrico en un sistema de referencia
del plano (ε , µ ) de propagación puede expresarse por
Eε = Eε 0 . cos(ϕ ε + ωt )
E µ = E µ 0 . cos(ϕ µ + ωt )
[5]
siendo
Eε 0 = + Er2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α
Eµ 0 = + Er2 .sen 2 β + Ei2 .sen 2α
[6]
 Ei cos α
 Er cos β
ϕε = arctg 



 Ei senα 

E
sen
β

 r
ϕ µ = arctg 
3
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r
Las ecuaciones [5] indican que el vector campo eléctrico E describe en el tiempo
una elipse plana que llamamos elipse de polarización del campo.
2. El caso de linealidad:
Veamos que si se verifica que
ϕε = ϕ µ
entonces la elipse de polarización se reduce
r
r
a una línea recta, por tener en este caso los vectores Ei y E r la misma dirección:
ϕε = ϕ µ → tgϕε = tgϕ µ →
cos α senα
Ei cos α Ei senα
senα senβ
=
→
=
→
=
→
Er cos β Er senβ
cos β senβ
cos α cos β
α = β
→ tgα = tgβ → 
α = β ± π
r
r
Si
α = β → Ei
Si
α = β ± π → Ei
Por tanto, el caso
y E r tienen la misma dirección y sentido.
r
r
y E r tienen la misma dirección y contrario sentido.
ϕε = ϕ µ
corresponde a una polarización lineal del campo
eléctrico.
4
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3. El caso de polarización circular:
 Eε 0 = E µ 0

π . Veamos como sería
ϕ
ϕ
=
±
ε
µ

2
Este caso corresponde a la situación en que es 
la polarización en estas condiciones.
- De ser Eε 0 = E µ 0 y teniendo en cuenta [6] se verifica que
E r2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α = E r2 .sen 2 β + Ei2 .sen 2α → E r2 (cos 2 β − sen 2 β ) = − Ei2 (cos 2 α − sen 2α )
O sea:
- De ser
ϕε = ϕ µ ±
E r2 . cos 2β = − Ei2 . cos 2α
π
π
1

→ tgϕ ε = tg  ϕ µ ±  = −
, teniendo en cuenta [6]:
tgϕ µ
2
2

E i cos α
E senβ
=− r
→ E r2 senβ . cos β = − E i2 senα . cos α → E r2 sen 2 β = − E i2 sen 2α
E r cos β
Ei senα
O sea:
E r2 .sen2 β = − Ei2 .sen2α
En definitiva, en este caso se verifican las relaciones
 E r2 .sen2 β = − E i2 .sen2α
 2
2
 E r . cos 2 β = − E i . cos 2α
[7]
de donde se deduce que tg 2 β = tg 2α → 2α = 2 β o bien 2α = 2 β ± π
Si es 2α = 2 β → α =
β , que corresponde al caso de linealidad, visto antes.
Si es 2α = 2 β ± π será entonces sen 2α = − sen 2 β , por tanto, de [7] es E r = E i , es
decir, la elipse de polarización es ahora una circunferencia.
4. Los ejes principales de la elipse de polarización:
Los ejes principales de la elipse de polarización la cortan en aquellos puntos en los
r
que el vector de posición, vector campo eléctrico, E , es perpendicular a la
r
∂E
:
tangente, esto es, es perpendicular al vector
∂t
5
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r
r ∂E
E.
=0
∂t
Podemos encontrar los instantes tp en los que el vector campo eléctrico pasa por los
puntos de corte de la elipse con los ejes principales.
Se tiene que
Por tanto:
r
r r
r
r
r
∂E
= −ωE r sen ωt − ωEi cos ωt
E = E r . cos ωt − Ei .sen ωt →
∂t
r
r ∂E
r
r
r
r
r
E.
= E r . cos ωt − Ei .senωt . − ωE r senωt − ωEi cos ωt = E r2 cos ωt.senωt +
∂t
r r
r r
r
+ Ei .E r cos 2 ωt − Ei .E r sen 2ωt − Ei2 senωt. cos ωt = 0
(
)(
)
O sea:
(
)
r r
1 r2 r2
Er − Ei .sen(2ωt p ) + Ei .Er . cos(2ωt p ) = 0
2
de lo cual
sen(2ωt p )
r r
r r
Ei .Er
2 Ei .Er
tg (2ωt p ) =
=
= r2 r2
cos(2ωt p ) 1 Er 2 − Er 2
Ei − Er
i
r
2
) (
(
)
En definitiva:
r r
 2 Ei .Er
1
tp =
.arctg  r 2 r 2
2ω
 Ei − E r
(
)




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5. Documentación:
Básicos:
ADLER, Richard - CHU, Lan Jen, y FANO, Robert M.
Electromagnetic Energy Transmission and Radiation.
Edit John Wiley and Sons, Inc. 1968, New York.
PANOFSKY, Wolfgang y PHILIPS, Melba
Classical Electricity and Magnetism.
Edit Adisson-Wesley, 2ª Edición, 1962, Cambridge. Massachusetts
LANGMUIR, Robert V.
Electromagnetic Fields and Waves.
Edit Mc Graw Hill, 1961. New york
Ampliación:
FELSEN, L.B. y MARCUVITZ, N.
Radiation and scattering of Waves.
Edit IEE. 1994. Cambridge. N. Jersey
COLLIN, R.E.
Field Theory of Guided Waves
Edit IEE, 1991, Cambridge. New Jersey
BALANIS, C.A.
Advanced Engineering Mathematics
Edit John Wiley, 1989. New York
VAN BLADEL, J.
Singular Electromagnetic Fields and Sources
Edit Oxford University Press, 1991. Oxford, U.K.
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