Mat I Temas 3 y 4:Trigonometría

Primero de Bachillerato. Matemáticas I
TEMAS 3 Y 4: TRIGONOMETRIA
Realizar en folios y a bolígrafo, cuidando la presentación:
• un problema de cada tipo entre los ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8
• los apartados a) y b) de los ejercicios 9, 10, 11, 12, 13
1. Problemas tipo 1:
(Nota: Ten en cuenta los distintos cuadrantes a los que puede pertenecer el ángulo)
5
a) Si el coseno de un ángulo vale
halla el resto de sus razones trigonométricas.
6
b) Si la cosecante de un ángulo vale -4, averigua el resto de sus razones trigonométricas.
2. Problemas tipo 2:
a) Halla las razones trigonométricas de 130º a partir del sen 50º = 0.8
b) Halla las razones trigonométricas de 65º y 295º a partir del cos 245º= -0.4
3. Problemas tipo 3:
(Nota: No aplicar teorema de Pitágoras, hacer uso de las razones trigonométricas conocidas)
a) Calcula el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10.
(Sol: 150√3 cm2 de área)
b) Calcula el área de un octógono regular de apotema 3 cm si el cos 22,5º es igual a 0.9.
(Sol: 8√19 cm2 de área)
4. Problemas tipo 4. (De doble observación):
a) Una antena de 1.5 metros de altura se ha colocado en la terraza de una casa. Desde un
punto de la calle medimos los ángulos de elevación a la base de la antena y a su extremo
y son 45º y 60º respectivamente. ¿Qué altura tiene la casa?
(Sol: 3/4(√3+1) metros de altura)
b) El ángulo de elevación del punto más alto de una montaña observado desde un punto
situado en tierra es de 30º. Al aproximarnos mil metros en dirección a la montaña el
nuevo ángulo de elevación es de 60º. ¿Cuál es la altura de la montaña?
(Sol: 500√3 metros de altura)
c) En un instante determinado dos observadores separados a una distancia de 500m ven un
águila que vuela en el mismo plano vertical que ellos bajo los ángulos de 30º y 60º. ¿A
qué altura vuela el águila?
(Sol: Vuela a 125√3 metros de altura)
d) Una escalera de bomberos de 10 metros de longitud se ha fijado en una calle sobre un
punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo
de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la
calle. ¿A qué altura de alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?
(Sol: Las fachadas tienen unas alturas de 5m y 5√5m)
5. Problemas tipo 5 (Triángulos con dos ángulos y un lado conocidos):
a) Desde un punto A, se observa un puente sobre un río. Si B y C son los extremos del
puente sobre las orillas opuestas (B es el más cercano a A), averigua la longitud del
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puente, sabiendo que la distancia AB es de 80 metros y los ángulos BAC y ABC miden
20º y 113º respectivamente.
b) El lado desigual de un triángulo isósceles mide 50 cm y los ángulos iguales miden, cada
uno, 40º. Determina el perímetro, tercer ángulo y área de ese triángulo.
c) Desde el punto A donde me encuentro, deseo hallar la distancia a otro punto B separado
del primero por un río que no puedo cruzar. Para ello me voy a otro punto C que está a
una distancia del punto A de 50 metros. Después mido los ángulos y obtengo 50º el BAC
y 60º el BCA. Realiza un dibujo de la situación, halla la anchura del río y el área del
triángulo ABC.
6. Problemas tipo 6 (Triángulos con dos lados y el ángulo que forman conocidos):
a) Un jugador de fútbol está situado a 5 y 8 metros de los postes de una portería, a la que ve
bajo un ángulo de 60º. ¿Cuál es la anchura de la portería?
b) Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm respectivamente. Ambas se cortan
bajo un ángulo de 50º. Halla el perímetro del paralelogramo.
c) Resuelve el triángulo ABC sabiendo que b=10 cm, c=12 cm y A=26º.
7. Problemas tipo 7 (Triángulos con dos lados y un ángulo conocidos):
a) Un barco mercante A se encuentra a 450 metros de un faro y a 300 metros de una lancha
pesquera B. Si ambos son observados desde dicho faro bajo un ángulo de 32º, ¿a qué
distancia se encuentra la lancha B del faro?
b) Un barco se encuentra a una distancia de 3,5 km del espigón del puerto en el instante en
que otro barco se encuentra a 3 km del primero. Si ambos son observados desde el
espigón bajo un ángulo de 43º, ¿a qué distancia se encuentra el segundo barco del
puerto?
c) En un instante determinado un avión se encuentra a 8 km de la torre de control de un
aeropuerto y a 7,5 km de un dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo de 30º,
¿a qué distancia se encuentra en ese momento el dirigible del aeropuerto?
8. Problemas tipo 8 (Triángulos con tres lados conocidos):
a) El entrenador de un equipo de fútbol indica a tres jugadores A, B y C que se sitúen en el
campo formando un triángulo. A debe situarse a 20 metros de B, B a 15 metros de C y C
a 23 metros de A. ¿Bajo qué ángulo observa cada jugador a los otros dos?
b) Tres campamentos A, B y C, están unidos por caminos rectos, de forma que desde A hay
que caminar 2,5 km para llegar a B, y desde B otros 2 km para acceder a C. Si la
distancia de A a C es de 3 km, ¿qué ángulos forman entre sí los caminos?
c) Resuelve el triángulo ABC sabiendo que a=12,5 cm, b=10,5 cm y c= 8,2 cm.
9. Calcula:
a) (tg 45º – sen 60º + cos 30º) . sec (4470º) =
−sen (−30º )−tg π +cos π
6
3
b)
=
cos 600º
c) tg 135º – sen 210º – cotg 1110º + cos 300º =
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d)
sen
2π
5π
7π
+cos
−tg
=
3
6
4
e)
cos
5π
4π
5π
−tg
+sen
=
4
3
4
10.
Simplifica al máximo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
tg a
=¿ (sol= cos 2a)
tg (2a)−tg a
sen ( π −x )
2
tg ( π −x )⋅tg( π−x)−
=¿ (sol= 0)
2
cos(π+ x)
1−cos 2 x+tg (π+ x)⋅tg (π−x )−cos 2 ( π −x)
2
=¿ (sol= - tg2 x)
2
2 π
tg (2 π−x )⋅tg ( −x )
2
sen ( x− y)−sen (x + y)
=¿ (sol= cotg x)
cos ( x+ y)−cos( x− y)
sen(2a)⋅cos a
=¿ (sol= 1)
sen a⋅(1+cos(2a))
sen(π+x )⋅cos( π −x)
2
=¿ (sol = 1)
2
(cos x−1)⋅tg(π−x)⋅cotg(2 π−x)
tg (180º−x)⋅cotg (360º−x)
=¿ (sol = -1)
sec x⋅cos(180º−x)
11.Demuestra las siguientes igualdades:
d) cotg x . sec x = cosec x
e)
1+sen x
cos x
=
cos x
1−sen x
f)
cos 4 x−sen 4 x=2cos 2 x−1
b)
1+cotg 2 x
sen x⋅
=sec x
cos x
g)
c)
1
1
−
=sen2 y−sen 2 x
2
2
1+tg x 1+tg y
x
1−tg 2 ( )
2
cos x=
x
1+tg 2 ( )
2
h) sec x – cos x = tg x . sen x
a)
12.
x
2tg ( )
2
sen x=
x
1+tg 2 ( )
2
2
Resuelve las siguientes ecuaciones:
b)
a)
sen 2(2x)+2cos 2 x=2
1
1 1
sen x cos 2 x− ⋅senx= − ⋅cos2 x
2
4 2
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c)
sen( 2x)=tg x
d)
tg x +cotg x=
e)
f)
4
√3
1
cos (x+ π )=
4 2
1
3
⋅cos x− √ ⋅sen x=0
2
2
13.
2
g)
(tg x−1)⋅( 4sen x−3)=0
h)
tg x⋅tg (2x)=1
i)
sen 2(2x)−cos 2 x =
j)
sen x+ √ 2 cos x=1
k)
tg x +cos( 2x)=1
{
Resuelve los siguientes sistemas:
a)
{
i)
b)
{
j)
{
k)
x+sen y=1
{sen
cos x−cos y=1
c)
d)
e)
f)
sen x cos y=− √
3
4
3
√
cos x sen y=+
4
sen x+cos y=√ 3
− y+x= π
2
2x)+cos(3y )=1
{2sensen((2x)+4sen
(3y )=3
x+3cos y=1
{cos
3cos x−cos y=3
y=2
{4sensenx +5sen
x+sen y=1
x+ y =
− y+x= π
3
cos x+sen y=√ 3
{
m)
{
{
sen x
=2
sen y
sen x=2sen y
1
sen x sen y=
2
l)
x+ y= π
6
cos x sen y=sen x cos y
2π
3
x+ y=120º
1
sen x−sen y=
2
{
{
3
4
1
cos x sen y=
4
sen x cos y=
g)
{
h)
{
tg x+tg y=1
3
cotg ( x + y)=
4
sen x−sen y=1
4 sen x sen y =−1
n)
1
2
1
cos ( x−y )=
2
cos (x+ y )=
o)
1
2