1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b)

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1
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 4 > x +6
b) - x + 1 < 2x + 4
c) x + 51 > 15x + 9
Solución:
a) x < 2
2
b) x > -1
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 4 > x +6
b) - x + 1 > 2x + 4
c) 5x + 10 < 12x - 4
Solución:
a) x > 2
3
b) x < - 1
c) x > 2
Resuelve las siguientes inecuaciones:
2
5x 2 − 6x + 1 ≥ 0
a) 4x − 2x < 2
b)
Solución:
 1 
 − ,1
 2 
a)
4
c) x < 4
1

 − ∞,  ∪ [1,+∞ )
5

b)
Resuelve las siguientes inecuaciones:
(x + 1)(2x + 1) ≥ 0
− x2 − x + 3 < 0
a)
b)
Solución:
(− ∞,−1] ∪ − 1 ,+∞ 
 2

a)
5
Resuelve las siguientes inecuaciones:
(4x − 8 )(x + 3) < 0
3x 2 < −4x + 4
a)
b)
Solución:
2

 − 2, 
3

a)
6
(− 3,2)
b)
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x + 2x + 3x < 5x + 1
b) 5x + 10 > 12x - 4
c) 4x + 2 - 2x < 8x
Solución:
a) x < 1
7
(− ∞,−2) ∪ (1,+∞ )
b)
b) x < 2
c) x > 1/3
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 4 < x +6
b) - x + 1 > 2x + 4
c) x + 51 < 15x + 9
Solución:
a) x > 2
b) x < -1
c) x > 4
8
Encuentra los números cuyo triple menos 20 unidades es menor que su doble más 40.
Solución:
Se plantea la inecuación:
3x - 20 < 2x + 40;
x < 60
9
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x + 2x + 3x > 5x + 1
b) 5x + 10 < 12x - 4
c) 4x + 2 - 2x > 8x
Solución:
a) x > 1
b) x > 2
c) x < 1/3
10 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2(x - 3) > 1 - 3(x - 1)
b) 10(20 - x) < 8(2x - 1)
c) 2(1 - x) - 4 > 2(x + 3)
Solución:
a) x > 2
b) x > 8
c) x > -2
11 Un vendedor de seguros tiene dos opciones de sueldo, debe elegir entre un fijo de 800 Euros más 80 Euros
por póliza o cobrar 150 Euros de comisión pura (sin fijo) por póliza. ¿A partir de que cantidad de pólizas es
más rentable la opción de comisión pura?
Solución:
Se plantea la inecuación: “x” es el número de pólizas
800 + 80x < 150x; x >11,4
A partir de 12 pólizas es más rentable la comisión pura.
12 Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:
x −1 x +3 x −5
<
−
4
3
2
Solución:
Multiplicamos por 12 que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:
3(x - 1) < 4(x + 3) - 6(x - 5)
Se quitan los paréntesis:
3x - 3 < 4x + 12 - 6x + 30
Se trasponen términos:
3x - 4x + 6x < 3 + 12 + 30
Se opera en cada miembro:
5x < 45
Se divide por cinco:
x<9
13 Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:
3 − 2x 1 − 3x 37
− 4x +
>
−
4
3
12
Solución:
Multiplicamos por 12 que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:
-48x + 9 - 6x > 4 - 12x - 37
Se trasponen términos:
-48x - 6x +12x > 4 - 37 - 9
Se opera en cada miembro
-42x > - 42
Se divide por -42 cada miembro y se cambia el sentido de la desigualdad:
x<1
14 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2(x - 3) < 1 - 3(x - 1)
b) 10(20 - x) > 8(2x - 1)
c) 2(1 - x) - 4 < 2(x + 3)
Solución:
a) x < 2
b) x < 8
c) x < -2
15 Resuelve las siguientes inecuaciones:
− (x + 2 )(x − 6 ) ≤ 0
x2 − 9 < 0
b)
a)
Solución:
(− 3,3 )
a)
b)
[− 2,6]
16 Una empresa de mantenimiento de ascensores cobra 100 Euros al trimestre más 15 Euros por visita. Otra
empresa del sector cobra 400 Euros fijos al trimestre y no cobra las visitas. ¿En que condiciones conviene
elegir una u otra empresa?
Solución:
Se plantea la inecuación: “x” es el número de visitas
100 + 15x < 400; x < 20
Para menos de 20 visitas al trimestre es más barata la tarifa de la empresa que cobra 100 fijo + 15 visita.
17 A un vendedor de coches le ofrecen en un concesionario 1000 Euros de sueldo fijo más 200 Euros por
coche vendido. En otro concesionario le ofrecen 1800 Euros de fijo más 110 Euros por coche vendido. Si
vende una media de 132 coches al año, ¿Qué oferta debe coger?
Solución:
132
= 11
12
Calculamos el número de coches que vende al mes:
Se plantea la inecuación calculando cuando es menor el ingreso en uno de los concesionarios, en este caso en el
primero: “x” es el número de coches
1000 + 200x < 1800 +110x;
x < 8,9 ≈ 9coches
El segundo concesionario (1800 de fijo más 110 de comisión) es mejor oferta si se venden menos de 9 coches,
como el vendedor tiene una media de 11 coches debe coger la oferta del primer concesionario.
18 Resuelve las siguientes inecuaciones:
x (x + 3 ) > 2 − x 2
(x + 1)(x − 1) ≥ 0
a)
b)
Solución:
(− ∞,−2) ∪  1 ,+∞ 
2
a)

(− ∞,−1] ∪ [1,+∞ )
b)
19 Resuelve las siguientes inecuaciones:
(x + 5 )(x − 4 ) ≥ 0
x 2 + 2x + 3 ≤ −1
a)
b)
Solución:
a)
R
(− ∞,−5] ∪ [4,+∞ )
b)
20 Resuelve las siguientes inecuaciones:
x

 + 3 (− x + 1) > 0
2


a)
b)
Solución:
 3 
 − ,1
 2 
x 2 − 2x − 3 ≥ 0
(− ∞,−1] ∪ [3,+∞ )
a)
b)
21 Resuelve las siguientes inecuaciones:
(x − 1)(x − 6) ≤ 0
4x 2 + 4x + 3 < 0
a)
b)
Solución:
R
a)
b)
[1,6]
22 Un padre y su hijo se llevan 25 años. Encuentra el periodo de sus vidas en que la edad del padre excede en
más de 5 años al doble de la edad del hijo.
Solución:
Se plantea la ecuación: “x” edad del hijo, “25 + x” edad del padre.
25 + x > 5 + 2x;
x < 20
Mientras la edad del hijo sea menor de 20 años.
23 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
2x + 2 < 6
x − 2 ≥ 0


3x − 1 ≥ −7
2x ≤ 10
a)
b)
Solución:
[− 2,2)
a)
b)
[2,5]
24 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
3x + 1 > x + 9
2x − 6 < 0


x + 5 < 2 - 3x
x − 4 > −5
a)
b)
Solución:
(− 1,3 )
a) Ø
b)
25 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
x − y ≥ 3
x − 2y ≥ 5


x + y ≤ 2
x + y < 1
a)
Solución:
a)
b)
b)
26 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
x + y > 0
x + y ≤ 4


x - y < 0
- x + y ≤ 0
a)
b)
Solución:
a)
b)
27 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
5 - x < -12
3x − 2 > −7


16 - 2x < 3x - 3
5 - x < 1
a)
b)
Solución:
 19

 ,17 
5


(4,+∞ )
b)
a)
28 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
6 - x ≤ 4x - 5
2x − 6 < 0


1 - 2x ≥ -3
x − 4 > −5
a)
b)
Solución:
(− 1,3 )
a) Ø
b)
29 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
2x + y ≥ −1

- x + y ≥ −1
a)
x + y > 0

- 2x + y > 1
b)
Solución:
a)
b)
30 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
1 3
3


2x + 1 > x x - < x − 1
2
3 2


2x - 1 < 1 - 3x
4x - 5 < 2 - 5x


a)
b)
Solución:
 5 2
− , 
 2 5
a)
b) Ø
31 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
2x - y ≤ 4
x + 2y ≥ 2


- x + 3y ≥ −1
x + y ≤ 1
a)
b)
Solución:
a)
b)
32 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
6x + 5 ≤ 5x − 2

1

x + 1 < 2
3x − 2 > −5


x − 1 > −2
a)
b)
Solución:
(− 1,1)
a) Ø
b)
33 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
15 − 9x

8x − 7 >
2

4x − 5 > 5x − 8
3

Solución:
 29 7 
, 

 25 3 
34 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
2

5x + 5 > 4x + 3

 8x + 3 < 2x + 21
 3
Solución:
 13

 ,30 
5


35 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
2x - 15 ≤ x - 5
2x − 10 > − x + 2


− x + 12 ≥ 6
10 − 4x > −3x
a)
Solución:
(− ∞,6]
a)
b)
(4,10 )
b)
36 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
- x + y ≤ 3
2x - y > 6


x + y - 3 > 0
3x + 5y - 10 < 0
a)
Solución:
a)
b)
b)
37 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
x + 2y - 3 > 0

3x + 6y - 15 < 0
Solución:
38 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 49º ; b) 41º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 49º = 0,7547 ; cos 49º = 0,6561 ; tg 49º = 1,1504.
b) sen 41º = 0,6561 ; cos 41º = 0,7547 ; tg 41º = 0,8693.
sen 49º = cos 41º ; cos 49º = sen 41º porque 49º +41º = 90º.
39 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 9º ; b) 81º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 9º = 0,1564 ; cos 9º = 0,9877 ; tg 9º = 0,1584.
b) sen 81º = 0,9877 ; cos 81º = 0,1564 ; tg 81º = 6,3138.
sen 9º = cos 81º ; cos 9º = sen 81º porque 9º +81º = 90º.
40 En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A, si tgB = 1,2 y b = 3 cm, ¿cuánto mide c?
Solución:
b
3
3
tgB = ⇒ 1,2 = ⇒ c =
= 2,5 cm
c
c
1,2
41 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 28º ; b) 62º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 28º = 0,4695 ; cos 28º = 0,8829 ; tg 28º = 0,5317.
b) sen 62º = 0,8829 ; cos 62º = 0,4695 ; tg 62º = 1,8807.
sen 28º = cos 62º ; cos 28º = sen 62º porque 28º +62º = 90º.
42 Trabajando con ángulos agudos, ¿es cierto que a mayor ángulo le corresponde mayor seno? ¿Y para el
coseno?
Solución:
Cuando los ángulos son agudos, el seno es creciente, es decir, a mayor ángulo, mayor seno, pero el coseno es
decreciente, esto es, a mayor ángulo, menor coseno.
43 Un ciclista tiene que subir una cuesta que tiene una inclinación de 12º. ¿Qué altura habrá subido cuando
haya recorrido 200m?
Solución:
La hipotenusa del triángulo es 200 m y la altura es el cateto opuesto a los 12º, por lo que
h
sen 12º =
⇒ h = 200 sen 12º = 200·0,2079 = 41,58 m
200
.
44 Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
1
cos 2 a =
=
2
1 + tg a
1
= 0,8621 ⇒ cos a = 0,8621 = 0,9285;
1 + 0,16
sen a = cos a⋅ tg a = 0,9285 ⋅ 0,4 = 0,3714.
45 Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,5, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos 2 a =
1
2
1 + tg a
1
=
1
4
1+
sen a = cos a⋅ tg a =
=
2
4
2
⇒ cosa =
= 0,8944;
5
5
1
1
=
= 0,4472.
5 2
5
⋅
46 Si a es un ángulo agudo y sen a =0,3, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a = 1 − sen 2 a = 1 − 0,09 = 0,91 = 0,9539;
tg a =
sen a
0,3
=
= 0,3145.
cos a 0,9539
47 Si a es un ángulo agudo y sen a = 0,2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a = 1 − sen 2 a = 1 − 0,04 = 0,96 = 0,9798;
tg a =
sen a
0,2
=
= 0,2041.
cos a 0,9798
48 En un triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es A, se sabe que a = 8 m y b = 6m. ¿Cuánto mide c?
Calcula las razones de los ángulos B y C.
Solución:
82 = 6 2 + c 2 ⇒ c = 28 = 2 7 m
Por el teorema de Pitágoras:
. Por tanto:
6 3
2 7
7
6
3 7
7 3 7
4
4 7
4
senB = = , cosB =
=
, tgB =
=
, cotgB =
=
, secB =
=
, cosecB =
8 4
8
4
7
3
7
7
3
2 7
7
.
6
3 7
4
4
4 7
2 7
7
6 3
2 7
7 cotgC =
=
, secC = , cosecC =
=
senC =
=
, cosC = = , tgC =
=
,
7
3
7
2 7
7
8
4
8 4
6
3
.
49 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, si conocemos la hipotenusa c = 12 cm y el ángulo
ˆ = 25º.
A
Solución:
B̂ = 90º −  = 65º ; a = c⋅ sen = 12 ⋅ sen 25º = 5,071 cm ; b = c⋅ senB̂ = 12 ⋅ sen 65º = 10,876 cm .
50 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC si conocemos la hipotenusa c = 25 cm y el ángulo
ˆ = 28º.
B
Solución:
 = 90º − B̂ = 62º ; a = c⋅ sen = 25 ⋅ sen 62º = 22,074 cm ; b = c⋅ sen 28º = 25 ⋅ sen 28º = 11,737 cm .
51 Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 25 m cuando el ángulo de elevación del sol
respecto a la horizontal vale 23º.
Solución:
h
tg 23º =
⇒ h = 25 ⋅ tg 23º = 10,612 m .
25
52 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 26 cm y
ˆ = 30º.
B
el ángulo
Solución:
 = 90º − B̂ = 60º ; c =
a
senÂ
=
26
= 30,022 cm ;
sen 60º
tgB̂ =
b
⇒ b = a⋅ tgB̂ = 26 ⋅ tg 30º = 15,011 cm .
a
53 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto b = 11 cm y
ˆ = 56º.
A
el ángulo
Solución:
B̂ = 90º − Â = 34º ; c =
b
=
senB̂
11
= 19,671 cm ;
sen 34º
tg =
a
⇒ a = b⋅ tg = 11 ⋅ tg 56º = 16,308 cm .
b
54 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos la hipotenusa c = 18
ˆ = 38º.
A
cm y el ángulo
Solución:
B̂ = 90º −  = 52º ; a = c⋅ sen = 18 ⋅ sen 38º = 11,082 cm ; b = c⋅ sen 52º = 18 ⋅ sen 52º = 14,184 cm .
55 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 7 cm y el
ˆ = 15º.
B
ángulo
Solución:
 = 90º − B̂ = 75º ; c =
a
senÂ
=
a
= 7,247 cm ; b = c⋅ senB̂ = 7,247 ⋅ sen 15º = 1,876 cm .
sen 75º
56 Averigua la altura de la torre de una iglesia si a una distancia de 80 m, y medido con un teodolito de altura
de 23º.
1,60 m, el ángulo de elevación del pararrayos que está en lo alto de la torre es
Solución:
h
tg 23º =
⇒ h = 80 ⋅ tg 23º = 33,96 m ; H Torre = h+ h teo = h+ 1,60 = 35,56 m .
80
57 ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los rayos solares en el momento en que un bloque de pisos de 25 m de
altura proyecta una sombra de 10 m de longitud?
Solución:
25
tg =
⇒ Â = arctg 2,5 = 68,1986º = 68º 11' 55' '.
10
58 Cuál es la altura de una montaña cuya cima, si nos situamos a una distancia de 3000 m del pie de su
vertical y medimos con un teodolito de altura 1,50 m, presenta un ángulo de inclinación de
49º.
Solución:
tg 49º =
h
⇒ h = 3000 ⋅ tg 49º = 3451,11 ; HM = h+ h teo = h+ 1,50 = 3452,61 m .
3000
59 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 12 cm y
el cateto b = 15 cm.
Solución:
c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c = 15 2 + 12 2 = 369 = 19,209 cm ; tg =
= 38º 39' 35' ' ;
Se cumple que
tgB̂ =
a
= 0,8 ⇒ Â = arctg 0,8 = 38,6598º =
b
b
= 1,25 ⇒ B̂ = arctg 1,25 = 51,3402º = 51º 20' 25' '.
a
 + B̂ = 90º.
60 ¿Cuál es la altura de una torre que es vista desde 30 m de su pie y con un teodolito de 1,20 m de altura
bajo un ángulo de 30º?
Solución:
h
tg 30º =
⇒ h = 30 ⋅ tg 30º = 17,32 ; H Torre = h+ h teo = 17,32 + 1,20 = 18,52 m .
30
61 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 10 cm y
el cateto b = 9 cm.
Solución:
c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c = 10 2 + 9 2 = 181 = 13,454 cm ;
= 48º 46' ' ;
tgB̂ =
tg =
a 10
10
=
⇒ Â = arctg
= 48,0128º =
b
9
9
b
9
=
= 0,9 ⇒ B̂ = arctg 0,9 = 41,9872º = 41º 59' 14' '.
a 10
62 Si la inclinación en un tramo de carretera es del 8%, ¿cuánto vale el ángulo de inclinación en dicho tramo?
¿Cuánto sube la carretera en 100 m?
Solución:
tg = 0,08 ⇒  = arctg 0,08 = 4,5739º = 4º 34' 26' '.
Al ser la pendiente del 8%, cada 100 m en horizontal recorre 8 m en vertical.
63 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos la hipotenusa c = 20
cm y el cateto b = 12 cm.
Solución:
a 2 = c 2 − b 2 ⇒ a = 20 2 − 12 2 = 256 = 16 ; sen =
= 53º 7' 48' ' ;
Se cumple que
senB̂ =
a 16
=
= 0,8 ⇒ Â = arcsen 0,8 = 53,1301º =
c 20
b 12
=
= 0,6 ⇒ B̂ = arcsen 0,6 = 36,8699º = 36º 52' 12' '.
c 20
 + B̂ = 90º.
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