i
A
*
*
W
u (t)
C=200µF
El circuito de la se alimenta con una tensión que viene dada por la siguiente ecuación:
u (t ) = 100sen314t V, ∀t ≥ 0s
Determínese:
1 Frecuencia de la tensión (u), corriente (i) y potencia (p). ¿El la misma para las tres?
2 Lecturas del amperímetro y vatímetro.
3 Forma gráfica de las funciones u, i y p.
u
[V]
uˆ = 100V
π
10
2π
20
θ= ωt [rad]
t[ms]
Ecuación de definición de la tensión:
El periodo se obtiene a partir de la onda sinusoidal de la que hemos obtenido u(t). Y el
periodo para la onda rectificada es la mitad de la onda sinusoidal de la que se obtiene.
2π
2π
ω=
→T =
= 20ms
T
314
Y por tanto, el periodo de la onda rectificada es: 10ms y la frecuencia: 100Hz
0 ≤ t ≤ 10·10 −3
u (t ) = 100sen314t
Ecuación de definición de la corriente,
du (t )
iC (t ) = C ⋅
dt
d(100sen314t )
iC (t ) = 200·10 −6 ⋅
= 200 ⋅ 10 −6 ·100·314 cos 314t = 6,28 cos 314t A
dt
La frecuencia de la corriente y de la tensión es la misma: 100Hz
Ecuación de definición de la potencia
0 ≤ t ≤ 10·10 −3
p (t ) = 100sen314t ·6,28 cos 314t = 628sen314t ·cos 314t
Para dibujarla de forma más sencilla transformaremos la ecuación de definición de la
potencia de la siguiente forma:
sen2α = 2senα ·cosα
0 ≤ t ≤ 5·10 −3
p (t ) = 314sen628t W
Frecuencia de la potencia:
2πf = ω
628
= 100Hz
2π
La potencia es una función que es de la misma frecuencia que la tensión y la corriente luego
f=100Hz.
A continuación se representan gráficamente las tres funciones anteriores: tensión,
corriente y potencia.
f =
u
[V]
uˆ = 100V
π
10
i
2π
20
θ= ωt [rad]
t[ms]
[A]
iˆ = 6,28A
π/2 π
5
10
p
2π
20
θ= ωt [rad]
t[ms]
[W]
pˆ = 314W
π
10
2π
20
θ= ωt [rad]
t[ms]
Lecturas de los instrumentos:
Lectura del amperímetro:
LA = iC = iC =
1
10·10 −3
10·10 −3
∫
6,28 cos 314t ·dt =
0
1
10·10
·
−3
6,28
·10 −3
[sen314t ] 10
= 4(0 − 0 ) = 0A
0
314
T
efectivamente tiene simetría de media onda: f (t ) = −f t +
2
Lectura del vatímetro:
LW = p (t )
LW =
10·10 −3
1
10·10
−3
1
314
∫ 314sen628t ·dt = 10·10−3 · 628 [− cos 628t ] 0
10·10 −3
= 50(− 1 + 1) = 0W
0
También se puede determinar la lectura del vatímetro conceptualmente: El vatímetro está
conectado para medir la potencia media que consume el condensador. Como el condensador
es un elemento almacenador
el valor medio de su potencia deber ser nulo
independientemente de la forma de onda de tensión o corriente. Luego LW=0W.
Otra forma:
La expresión de la tensión en el condensador:
u (t ) = 100sen314t V
De la expresión de la tensión se puede obtener la de la energía en el condensador:
1
2
WC = C ·U 2 ; U 2 = U
2
1
200·10 −6 ·100 2 ·sen 2 314t = sen 2 314t
2
1 − cos 2α
Como: sen 2α =
la expresión de la energía queda de la siguiente forma:
2
1 1
WC = − cos 628t
2 2
WC =
Conocida la energía en el condensador se puede obtener la potencia derivando la expresión
de la energía:
dW
dt
1
p = 0 − (− 628·sen 628t )
2
p = 314·sen 628t
p=
Conocidas la potencia y la tensión se puede deducir la expresión de la corriente dado que:
p = u ·i
p = 314·sen 628t = i ·100·sen314t
i =
314·sen 628t
100·sen314t
Como: sen2α = 2senα cos α
i =
314·sen 628t 314·2·sen314t cos 314t
=
= 6,28·cos 314t A
100·sen314t
100·sen314t
Otra forma de obtener la lectura del vatímetro y las funciones de corriente y potencia,
empleando para ello únicamente las variables fundamentales.
u
[V]
uˆ = 100V
u = 100·sen314t V
π
10
w
2π
20
θ= ωt [rad]
t[ms]
[J]
1
2
1
20
wC = C ·u 2 ; u 2= u 2
π
10
p
2π
20
θ= ωt [rad]
t[ms]
1 1
d − cos 628t
dw
2 2
p=
=
dt
dt
1
p = 0 − ((− sen628t )·628)
2
p = 314·sen628t W
[W]
pˆ = 314W
π
10
i
1
200·10 − 6 ·1002 ·sen2 314t = sen2 314t
2
1 − cos 2α
sen2α =
2
1 1
wC = − cos 628t
2 2
wC =
1/2
20
2π
20
θ= ωt [rad]
De la representación gráfica se deduce el
t[ms]
valor medio de la potencia que es nulo por
ser el área positiva igual a la negativa en
un periodo.
p =0
p = u ·i
[A]
314sen628t = 100sen314t ·i
iˆ = 6,28A
i =
π/2 π
5
10
2π
20
θ= ωt [rad]
t[ms]
314sen628t
100sen314t
sen2α = 2·senα ·cosα
i =
314·2·sen314t ·cos 314t
= 6,28·cos 314t A
100sen314t
0
