resultados posibles de total número A evento al favorables

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS
ACTIVIDAD ACADEMICA: ESTADISTICA DE LA PROBABILIDAD
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD N° 2: REGLAS DE PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda
ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es
más susceptible de ocurrir que otro.
TRES DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
1. ENFOQUE CLASICO
Este enfoque es el de las situaciones que tienen resultados igualmente probables. En este caso es
necesario identificar primero el número de resultados favorables y después dividir el número entre el
número total de resultados del espacio muestral. Si m es el número de posibles resultados elementales
favorables al evento A y n el número de resultados posibles del espacio muestral S y todos los resultados
elementales son igualmente probables y mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra
el evento A es
P ( A)
núm erode resultadosfavorablesal evento A
núm erototalde posiblesresultados
P ( A)
m
n
Ejemplo1: Una prestigiosa compañía desea escoger al nuevo jefe de ventas entre un grupo de 35
empleados. ¿Cuál es la probabilidad de ser seleccionado como jefe de ventas?
1
35
P( A) 0,028
P( A)
Ejemplo 2: Ante el la inclusión de nuevas enfermedades al plan obligatorio de salud POS, una EPS desea
determinar la probabilidad de ocurrencia de ciertas enfermedades laborales, para poder fijar los precios
de las cuotas moderadoras. Se contrata una empresa encuestadora que recolecta información 1500
adultos empleados y encuentra que 65 personas padecen de algunas de las enfermedades establecidas
como laborales. Determine la probabilidad de que se afilien trabajadores con algún tipo de enfermedad
profesional.
Solución
Sea Al suceso “afiliar trabajadores con enfermedades laborales””
Resultados favorables m = 65
Resultados posibles(tamaño de la muestra) n=1500
La probabilidad de afiliar trabajadores con enfermedades laborales viene dada por
m
Reemplazando
n
65
P( A)
1500
P( A) 0,043
P ( A)
El resultado puede expresarse en porcentaje multiplicando por 100%, en este caso
P(a)=0,043×100% = 4,3%
2. ENFOQUE EMPIRICO
Se basa en las frecuencias relativas de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de
ensayos repetidos. Con lo que la probabilidad viene dada por
P ( A)
núm erode vecesque ocurre A
núm erototalde ensayos u observacio
nes
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
P( A)
N( A)
N(S)
3. ENFOQUE SUBJETIVO
Las probabilidades subjetivas son estimaciones personales de la posibilidad que un evento ocurra basadas
en un grado de confianza, son el resultado de un esfuerzo por cuantificar los sentimientos o convicciones
respecto a algo. Los abogados, médicos, administradores, líderes y casi todos los hombres de negocios
utilizan este enfoque satisfactoriamente
PROBABILIDAD EXPRESADA MEDIANTE CONJUNTOS
Dado el lenguaje relacionado, algunas expresiones propias referentes a las operaciones entre conjuntos
son las siguientes
1. UNION DE SUCESOS
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A U B se lee como "A o B"
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si
A ="sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A U B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A U B = {2, 3, 4, 6}
La afirmación A ocurre o B ocurre se escribe A B y significa que A
ocurre ó B ocurre. Por lo tanto la probabilidad de que A o B ocurran
corresponde a la probabilidad A B , esto es:
P(A ocurra o B ocurra) =P(AUB)
2. INTERSECCION DE SUCESOS
La intersección de sucesos, A ∩B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y
B.
Es decir, el suceso A ∩B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
A ∩B se lee como "A y B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar
par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∩B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A ∩ B = {6}
La afirmación A ocurre y B ocurre se escribe A∩B y significa que A y B
ocurre, así que,
P(A ocurre y B ocurre) = P(A∩B)
4. DIFERENCIA DE SUCESOS
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
A − B se lee como "A menos B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
La afirmación A ocurre y B no ocurre y B no ocurre se escribe A-B o bien
A ∩ B’, por lo tanto
P(A ocurre y B no ocurre)= P(A ∩ B’ )
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
5. SUCESOS CONTRARIOS O COMPLEMENTARIOS
El suceso A’= E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y
cuando no se verifique A.
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar
par". Calcular A’ .
A = {2, 4, 6}
A’= {1, 3, 5}
La afirmación A no ocurre se escribe A’ y significa A no ocurre por
consiguiente P(A no ocurre) = P(A’)
EXPRESIÓN DE LA PROBABILIDAD
1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
P(E) = 1
3. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso
contrario es:
P(A’)= 1-P(A)
4. Probabilidad del suceso imposible es cero.
P( ) 0
REGLAS DE ADICION
Las reglas de adición se emplean cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un evento u
otro (o ambos) en una sola observación. Existen dos variantes de la regla de adición dependiendo de si
los dos eventos son mutuamente excluyentes o no. Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos
si no pueden ocurrir al mismo tiempo
Para eventos mutuamente excluyentes se tiene P(AUB) = P(A) + P(B)
Para eventos mutuamente no excluyentes P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
REGLAS DE LA MULTIPLICACION
Existen dos variantes de la regla de multiplicación, según si los dos eventos son dependientes e
independientes. Cuando dos eventos son dependientes se emplea el concepto de probabilidad condicional.
La expresión P(B/A) indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ha ocurrido el evento
A.
Para eventos independientes P(A∩B)=P(A).P(B)
Para eventos dependientes P(A∩B)=P(A).P(B/A), De donde se desprende P(B / A)
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
P( A B)
P( A)