II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN

II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS
DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE
LA PARTÍCULA
En este capítulo y el siguiente estudiaremos exclusivamente sistemas
de fuerzas en el plano, es decir, en dos dimensiones. Una vez comprendido
cabalmente será muy fácil entender los sistemas de fuerzas en tres
dimensiones, llamadas también fuerzas en el espacio. Seguiremos la división que señalamos en el capítulo anterior: fuerzas colineales y fuerzas
concurrentes en este capítulo, y fuerzas paralelas y fuerzas no concu-rrentes
ni paralelas, en el siguiente
Resultantes de los sistemas de fuerzas colineales
Consideremos dos fuerzas concurrentes en el punto A. Por la ley del
paralelogramo sabemos que su resultante se encuentra en la diagonal del
paralelogramo formado por ellas.
Si el ángulo que forman dichas acciones es muy pequeño, la magnitud
F2
R
de la diagonal se aproxima a la suma
F1
de los lados. Podemos deducir que si
dos fuerzas son colineales, la resultante es otra fuerza colineal cuya mag-
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
R
nitud es igual a la suma de las magnitudes de las dos fuerzas.
F1
F2
En el caso en que las dos fuerzas
colineales tengan sentidos contrarios,
el razonamiento anterior nos lleva a
R
F2
concluir que entonces la resultante
tiene el sentido de la fuerza más
F1
grande y su magnitud es la diferencia
entre las magnitudes de las dos fuerzas.
Si un sistema, en vez de ser de dos fuerzas, está formado por mil, el
procedimiento se podría repetir mil veces para obtener la magnitud y el
sentido de la resultante. O sea, que podemos generalizar y afirmar que la
obtención de la resultante de un sistema de fuerzas colineales se logra
mediante la siguiente ecuación:
𝑅 = ∑𝐹
es decir, que la magnitud es la resultante es igual a la suma algebraica de
las fuerzas del sistema, su sentido queda determinado por el signo de esa
suma, y su línea de acción es la misma que la de las fuerzas del sistema.
Ejemplo. Determine la magnitud y la
dirección de la resultante de las cuatro
fuerzas que actúan sobre la argolla de la
figura.
Elegimos un sistema de referencia así
x
15°
20
10 kg
24 kg
15°
28 kg
16 kg
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
R = ∑ 𝐹𝑥
R = 10 + 24 − 28 − 16 = −10
El signo negativo significa que la fuerza resultante tiene sentido contrario del eje de las equis
R = 10 kg 15°
Resultantes de los sistemas de fuerzas concurrentes
Dividiremos nuestro estudio en dos casos: resultante de sólo dos fuerzas concurrentes, y resultantes de más de dos fuerzas concurrentes.
A) Dos fuerzas concurrentes
La ley del paralelogramo establece claramente como hallar gráficamente la magnitud y la dirección de la resultante de dos fuerzas que concurren en un punto.
40 kg
Ejemplo. Determine gráficamente la
resultante de las dos tensiones que jalan la
argolla de la figura.
30°
45°
50 kg
Dibujamos un paralelogramo cuyos lados
sean proporcionales a las magnitudes de las
fuerzas. Por cada 10 kg daremos a los lados una
longitud de 1 cm y con el transportador medimos
los ángulos que los lados forman con la
horizontal. Una vez dibujado el cuadrilátero,
trazamos la diagonal que pasa por el punto de
concurrencia de las fuerzas y medimos tanto su
21
40
75°
50
θ
R
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
longitud como el ángulo que forma con la horizontal. Como a cada cm correspondieron 10 kg, la resultante de estas dos fuerzas es
R = 71 kg
12°
Puesto que el método gráfico es poco preciso e impráctico, intentaremos deducir un método analítico o trigonométrico.
Observemos que el paralelogramo del ejemplo está contiene dos triángulos, dos de cuyos lados son las fuerzas y el tercero, la resultante. Por
tanto, en vez de construir un paralelogramo, dibujaremos una fuerza a
continuación de la otra; y la resultante unirá el origen de la primera con la
punta de la segunda. Del triángulo conocemos, por tanto, dos lados y el
ángulo que forman entre sí. Y mediante cualquier ley del triángulo
podemos hallar la magnitud de R y su dirección.
40 kg
Ejemplo. Halle analíticamente, mediante la ley del triángulo, la magnitud y
la dirección de la resultante de las dos
fuerzas que actúan sobre la argolla de la
figura.
30°
45°
50 kg
Dibujamos esquemáticamente una fuerza a continuación de la otra y
unimos el origen de la primera con la punta de la segunda: este lado corresponde a la resultante. Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos
dos lados y el ángulo que forman entre sí. Conforme la ley de cosenos,
𝑅 2 = 𝐹1 2 + 𝐹1 2 − 2𝐹1 𝐹2 cos 𝛳
θ
R
𝑅 2 = 402 + 502 − 2(40)50 cos 105° = 71.7
50
105°
22
40
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
y, por la ley de senos,
sen 𝛳 sen 105°
=
40
71.7
por tanto  = 32.6°. Y el ángulo que R forma con la horizontal es 45 – 32.6
= 12.4. Por fin
R = 71.7 kg
12.4°
Resolución de fuerzas
Una vez que sabemos cómo hallar la resultante de dos fuerzas concurrentes, trataremos de realizar el proceso contrario, es decir, resolver o
descomponer una fuerza dada en dos componentes que constituyan un sistema equivalente. Ilustraremos el procedimiento de los tres casos principales mediante cuatro ejemplos. El primer caso consiste en resolver una
fuerza en dos componentes que tengan ciertas direcciones; el segundo,
descomponer la fuerza en dos componentes de cierta magnitud; y el último, en resolver la fuerza en una componente en cierta dirección y otra de
cierta magnitud.
A
Ejemplo. Resuelva la tensión horizontal de 120 kg en dos componentes: C1
en la dirección de las barra AB, y C2, en la
dirección de la barra BC.
75°
B
60°
120 kg
Comenzamos dibujando la fuerza que ha de descomponerse, y en cada uno de sus extremos líneas paralelas a las direcciones de las componentes
23
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
Ley de senos:
60°
120
𝐶1
𝐶2
=
=
sen 135° sen 30°
sen 15°
120
(sen 30°)
𝐶1 =
sen 135°
75°
120
C2
135°
C1
𝐶2 =
15°
30°
120
(sen 15°)
sen 135°
120
𝐶1 = 84.9 kg
𝐶2 = 43.9 kg
θ1
Ejemplo. Diga cuáles deben ser las
direcciones 1 y 2 de modo que la resultante de las dos tensiones ejercidas sobre
la argolla sea una fuerza vertical de 750
lb.
A 600#
θ2
B
500#
Dibujamos la fuerza que deseamos descomponer y, con centro en sus
extremos, trazamos dos arcos de circunferencia correspondientes a las
fuerzas de 600 y 500 lb.
Ley de cosenos
500
β
5002 = 7502 + 6002 − 2(750)600 cos 𝛼
750
α
600
7502 + 6002 − 5002
cos 𝛼 =
2(750)600
𝛼 = 41.6
24
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
Ley de senos
θ1
β
sen 𝛽 sen 41.6°
=
600
500
sen 𝛽 =
α
θ2
600 sen 41.6°
500
𝛽 = 52.9
Puesto que α y β son los ángulos complementarios de θ2 y θ 1, respectivamente,
𝛳1 = 37.1°
𝛳2 = 48.4°
Ejemplo. Descomponga el peso de
2000 N en dos componentes: C1 que forme un ángulo de 30° con la vertical, y C2
cuya magnitud sea de 1100 N.
C2=1100 N
θ
C1
30°
2000 N
Dibujamos la fuerza vertical que vamos a descomponer. En un extremo, una línea a 30°, y con centro en el otro, trazamos un arco de circunferencia que corresponde a la fuerza de 110 N
2000
C1’
30°
30°
30°
C1
2000
2000
α’
θ’
θ
α
1100
25
1100
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
Como se pueden formar dos triángulos, hay dos soluciones.
Primera solución
Ley de senos
sen 𝛼 sen 30°
=
2000
1100
sen 𝛼 =
2000 sen 30° 10
=
1100
11
𝛼 = 65.4
𝛳 = 180° − 30° − 65.4 = 84.6°
𝐶1 ′
1100
=
sen 35.4° sen 30°
𝐶1
1100
=
sen 84.6° sen 30°
𝐶1 ′ =
𝐶1 =
1100 sen 84.6°
= 2190
sen 30°
1100 sen 35.4°
sen 30°
Y las segundas respuestas son
𝐶1 ′ = 1274 N
Las primeras respuestas son
𝛳′ = 35.4°
𝐶1 = 2190 N
𝛳 = 84.6°
A
Ejemplo. Descomponga el peso de
240 lb en dos componentes: C1 en
dirección de la barra BC, y C2, cuya
magnitud sea la menor posible.
C
58°
B
240 #
26
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
Dibujamos la fuerza vertical de 240 lb, y una línea a 58°. El lado menor
con que se puede formar un triángulo es uno perpendicular a la línea de 58°
32°
240
C2
𝐶1 = 240 cos 58°
𝐶2 = 240 cos 32°
240
58°
𝐶1 = 127.2 lb
58°
C1
𝐶2 = 204 lb
Componentes cartesianas
Un caso importante y frecuente de resolución de fuerzas es el que se
efectúa en dos direcciones perpendiculares entre sí para obtener componentes ortogonales. Más frecuente aún es la descomposición en las direcciones de los ejes cartesianos: se trata de obtener las componentes ortogonales y en el sentido de los ejes equis y ye.
Consideremos una fuerza 𝐹 y el sistema cary
F
tesiano que se muestra en la figura. Siguiendo el
procedimiento ilustrado con el primer ejemplo,
trazamos paralelas a las direcciones deseadas en
θ
x
cada uno de los extremos de la fuerza. Como el
cos 𝛳 es igual a la razón de 𝐹𝑥 a 𝐹, y sen 𝛳, la
F
razón de 𝐹𝑦 a 𝐹, entonces, 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛳 y 𝐹𝑦 =
Fy
𝐹 sen 𝛳; con tales expresiones quedan deθ
Fx
terminadas las magnitudes y los sentídos de las
componentes cartesianas (1).
(1) Aquí podría comenzarse a definir los vectores y emplear un lenguaje
vectorial, haciendo 𝑭 = 𝐹𝑥 𝒊 + 𝐹𝑦 𝒋; sin embargo, nos parece que no resulta útil, sino hasta abordar el estudio de las fuerzas en el espacio, es decir,
en tres dimensiones.
27
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
Ejemplo. Obtenga las componentes cartesianas de cada una de las
siguientes fuerzas.
y
𝐹𝑥 = 56 sen 42°
𝐹𝑥 = 37.5 kg
56 kg
42°
𝐹𝑦 = 56 cos 42°
𝐹𝑦 = 41.6 kg
x
y
𝐹𝑥 = 80 (√3⁄2)
𝐹𝑥 = 69.3 lb
80#
x
𝐹𝑦 = −80 (1⁄2)
𝐹𝑦 = −40 lb
x
𝐹𝑥 = −2400 (√2⁄2)
𝐹𝑥 = −1697 N
30°
y
20°
45°
𝐹𝑦 = −240(√2⁄2)
𝐹𝑦 = −1697 N
2400 N
𝐹𝑥 = 150 sen 68°
𝐹𝑥 = 139.1 kg
y
x
2m
𝐹𝑦 = −150 cos 68°
𝐹𝑥 = −56.2 kg
68°
150 kg
28
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
A
Es frecuente que la información acerca de
las fuerzas esté relacionada con las dimensiones
de los cuerpos y no con sus ángulos. Pensemos
12
por ejemplo, en el cable que sostiene un poste
de la figura. Si se sabe que la tensión del cable
es de 260 kg, podríamos establecer la siguiente
5
comparación de dos triángulos semejantes. Por
el teorema de Pitágoras se puede calcular la
longitud de la hipotenusa del primer triángulo y
13
entonces establecer las siguientes proporcio- 12
nes:
2
260 𝐹𝑥 𝐹𝑦
= =
13
5 12
260
B
Fy
5
5
260
Fx
12
por tanto 𝐹𝑥 = 260 (13), y 𝐹𝑦 = −260 (13), es decir, 𝐹𝑥 = 100 kg y 𝐹𝑦 =
−240 kg
Ejemplo. Diga cuáles son las componentes cartesianas de las fuerzas que se muestran a continuación.
y
𝐹𝑥 = 75 (4⁄5)
𝐹𝑥 = 60 kg
75 kg
5
3
𝐹𝑦 = 75 (3⁄5)
𝐹𝑦 = −45 lb
4
4
85 #
3
x
𝐹𝑥 = 85 (15⁄17)
𝐹𝑥 = 75 lb
y
8
8
17
15
𝐹𝑦 = −85 (8⁄17)
𝐹𝑦 = −40 lb
15
x
29
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
B) Más de dos fuerzas concurrentes
Consideremos un cuerpo sujeto a la acción de mil fuerzas concurrentes. Elijamos un sistema de referencia cartesiano, con un eje de las
equis horizontal con sentido hacia la derecha, y un eje de las yes vertical
cuyo sentido sea hacia arriba.
Cada una de las fuerzas puede descomponerse en sus componentes
cartesianas en esas direcciones, sin que se alteren los efectos externos; o
sea, que tenemos ahora un sistema equivalente de dos mil fuerzas, mil
horizontales y mil verticales. Cada uno de esos conjunto s de mil fuerzas
constituye un sistema de fuerzas colineales, cuyas resultantes son, respectivamente, una fuerza horizontal y una fuerza vertical, que podemos representar como 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 y cuyos sentidos y magnitudes pueden determinarse mediante las ecuaciones
𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥 y 𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦
Con este procedimiento hemos obtenido un nuevo sistema de fuerzas
equivalente al original formado por dos fuerzas concurrentes. Estas dos se
pueden componer en una sola mediante la ley del paralelogramo. Esta última es la resultante del sistema y su línea de acción contiene el punto de
concurrencia de las fuerzas del sistema (2).
(2) Si empleáramos un lenguaje vectorial, diríamos que la resultante es
𝑹 = 𝑅𝑥 𝒊 + 𝑅𝑦 𝒋 (pues 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 son las componentes cartesianas de la resultante); y que la resultante es la suma vectorial de las fuerzas del sistema, es decir, 𝑹 = ∑ 𝑭. Pero, insistimos, no tiene ninguna ventaja en este
momento, pues lo que interesa es conocer la magnitud y la dirección de la
fuerza buscada
30
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
40 kg
Ejemplo. La argolla de la figura está
sujeta a las tres fuerzas que se muestran.
Determine la resultante de esas fuerzas.
30°
60 kg
45°
120 kg
Elegimos un sistema de referencia cartesiano
y
𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥
40
30°
45°
60
x
𝑅𝑥 = 40 cos 30° + 60 + 120 cos 45°
𝑅𝑥 = 40√3⁄2 + 60 + 120√2⁄2
𝑅𝑥 = 20√3 + 60 + 60√2 = 179.5
120
𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦
𝑅𝑦 = 40 sen 30° − 120 sen 45°
𝑅𝑦 = 40(1⁄2) − 120(√2⁄2)
𝑅𝑦 = 20 − 60√2 = −64.9
y
179.5
64.9
𝑅 = √1792 + 642
64.9
tan 𝛳 =
179.5
x
θ
R
𝑅 = 190.8 kg
Ejemplo. La figura representa un
poste soportado por tres cables coplanares. Las tensiones en los cables AB, AC y
CD son, respectivamente, 150, 260 y 170
lb. Sustituya las tres tensiones que actúan
en el extremo A por una sola que produzca los mismos efectos externos sobre el
poste.
31
19.9°
A
24´
B
C
18´
10´
D
35´
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
Además de escoger un sistema de referencia, trabajamos con las
pendientes de las fuerzas.
y
15
3
𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥
8
4
170
0
12
150
5
𝑅𝑥 = −150(3⁄5) + 260(5⁄13) + 170(15⁄17)
𝑅𝑥 = −90 + 100 + 150 = 160
x
260
5
4
15
13
12
17
3
5
y
𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦
𝑅𝑦 = −150(4⁄5) − 260(12⁄13) + 170(8⁄17)
8
𝑅𝑦 = −120 − 240 − 80 = 440
160
𝑅 = √1602 + 4402
440
tan 𝛳 =
160
θ
440
R
x
𝑅 = 468 lb
Ejemplo. Tres remolcadores empujan una embarcación durante sus manio- 15°
bras en un puerto. Cada remolcador ejerce una fuerza de 2 kN. Diga cuál debe ser 15°
el valor del ángulo , de modo que la
resultante de los tres empujes tenga la θ
dirección del eje longitudinal del buque.
Diga también cuál es la magnitud de la
resultante.
Dibujemos las fuerzas en su sistema de referencia
32
70°
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
y
2
2
15°
15°
θ
Como 𝑅 es horizontal, 𝑅𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0
2 sen 𝛳 − 2 sen 15° − 2 sen 30° = 0
sen 𝛳 = sen 15° − sen 30°
x
𝛳 = 49.4°
𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥
2
𝑅𝑥 = 2(cos 49.4° + cos 15° + cos 30°)
𝑅 = 4.97 kN
33
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
Serie de ejercicios de Estática
RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS
QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA
1 y 2. Halle gráficamente la magnitud y la
dirección de las resultantes de los dos sistemas
de fuerzas de las figuras. Utilice una escala tal,
que permita resolver los problemas ocupando
una hoja tamaño carta.
3 y 4. Resuelva analíticamente los dos
problemas anteriores.
(Sol. 533 kg 10.8º; 5.69 N
6.6º)
5. El cable AB ejerce una tensión de 120
kips y el AC otra de 80. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza única que es capaz de producir los mismos efectos externos
sobre la argolla.
(Sol. 188.4 kip
9.2º)
6. Se desea sostener el cuerpo de 140 lb que
se muestra en la figura. Diga qué tensión T
deberá aplicarse para lograrlo y cuál debe ser el
ángulo.
(Sol. T = 81.2 lb; θ = 29.5º)
34
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
7. Descomponga la fuerza horizontal de
500 kg en dos componentes, en las direcciones
que se indican. Diga cuáles son las magnitudes
de las componentes C1 y C2.
(Sol. C1 = 543 kg, C2 = 442 kg)
8. Los tractores A y B remolcan una
embarcación a lo largo de un canal. La cuerda
jalada por el tractor A forma un ángulo ϴ = 25º
respecto al eje del canal; la cuerda que jala B
tiene una tensión de 3 kips y forma un ángulo
ϕ= 40º respecto al eje del canal. ¿Cuál es la
tensión en la cuerda de A? ¿Qué magnitud tiene
la resultante de las dos tensiones?
(Sol. TA = 4.56 kip; R = 6.43 kip)
9. Si la embarcación del problema anterior
produce una resistencia de 200 kN, y la cuerda
gobernada por el tractor A debe soportar la mínima tensión posible, ¿qué ángulo ϴ deberá
formar con eje del canal, si ϕ= 40º? ¿Cuál es la
tensión de cada cuerda?
(Sol. θ= 50º; TA = 128.6 kN; TB = 153.2 kN)
10. Determine la magnitud de F y del ángulo ϴ para lograr que la resultante de las
compresiones ejercidas por los perfiles de la
figura sea horizontal y de 2.4 ton. La fuerza Q
es de 1.8 ton y el ángulo ϕ= 45º.
( Sol.F=2.30 ton, θ=64.5º;
F’=1.097 ton, θ’=25.5º)
35
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
11. Si la fuerza F del elemento estructural
del problema anterior es de 60 kips, Q de 75 y
su resultante debe ser horizontal y de 90 kips,
¿qué valores deben tener los ángulos ϴ y ϕ?
(Sol. θ =41.4º; ϕ=55.8º)
12. El cuerpo que sostiene la grúa de la
figura es de 800 kg. ¿Cuáles son las componentes de ese peso en las direcciones de las
barras AB y BC?
(Sol. CAB = 1200 kg; CBC = 1600 kg)
13. El cable en el que se aplica la tensión
de 750 kg tiene una pendiente de 4/3. Determine sus componentes cartesianas, conforme al
sistema mostrado en la figura.
(Sol. Fx = 628 kg; Fy = 410 kg)
14. Diga cuáles son la magnitud y la dirección de la resultante de las tres tensiones que
las cuerdas ejercen sobre la argolla de la figura.
(Sol. 47.9 lb
38.8º)
15. Determine la magnitud y la dirección
de la resultante de las cuatro fuerzas que se representan en la figura.
(Sol. 325 N 24.6º)
36
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
16. ¿Por qué fuerza única habría que
cambiar las tres ejercidas por los perfiles so-bre
el elemento estructural mostrado, de modo que
se produjeran los mismos efectos externos
sobre éste?
(Sol. 2260 lb
16.7º)
17. En el centro de un hexágono regular
están aplicadas fuerzas de 1, 3, 5, 7, 9 y 11 N,
colocadas en ese mismo orden y dirigidas hacia
los vértices. Determine la magnitud de su
resultante y diga en la dirección de cuál de las
fuerzas actúa.
(Sol. 12 N en dirección de la fuerza de 9 N)
18. Además de las dos fuerzas mostradas,
sobre el poste de la figura actúa la tensión del
cable. Diga cuáles son las magnitudes de di-cha
tensión y de la resultante de las tres fuer-zas,
sabiendo que es vertical.
(Sol. T = 676 kg; R = 804 kg)
37