π π π π π π π π π α α ππ α λ λ λ λ ππ π β β ππy π δ δ α π π δβ

Matemáticas II
Septiembre 2007
π1
y π 2 de ecuaciones
π 1 : x + 2 y + z + 3 = 0; π 2 : 2 x + y − z − 6 = 0, se pide:
a) Calcular el ángulo α que forman los planos π 1 y π 2 . (1,1 puntos).
Problema 2.2. Dados los planos
b) Calcular la ecuación paramétrica de la recta r, intersección de los planos π 1 y π 2 . (1,1 puntos).
c) Comprobar que el plano π de ecuación x + y – 1 = 0 es el plano bisector de π 1 y π 2 , es decir, π forma un
y π 2 , donde α es el ángulo obtenido en el apartado a). (1,1 puntos).
ángulo α / 2 con cada uno de de los planos π 1
Solución:
a)
α = ang (π 1 , π 2 )
cos α =
(1,2,1) (2,1,−1)
(2,1,−1)
(1,2,1)
2 + 2 −1
=
2
2
2
2
1 + 2 +1
2
2 + 1 + (−1)
2
3
=
6 6
=
3 1
π
=
⇒ α = rds
6 2
3
=
3
2
b)
 x + 2 y + z = −3
r :
2 x + y − z = 6
1 2
como
= 1 − 4 = −3 ≠ 0
2 1
resolvemos el sistema usando x e y como incógnitas principales.
 x + 2 y = −3 − z

2 x + y = 6 + z
−3− z 2
6 + z 1 − 3 − z − 12 − 2 z − 15 − 3 z
x=
=
=
=5+ z
−3
−3
−3
1 −3− z
2 6+ z
6 + z + 6 + 2 z 12 + 3 z
y=
=
=
= −4 − z
−3
−3
−3
x = 5 + λ

Solución r :  y = −4 − λ
λ ∉ℜ
z = λ

c)
Sea β el ángulo que forman los planos π y π 1 .
cos β =
(1,2,1) (1,1,0)
(1,2,1)
(1,1,0)
1+ 2
=
2
2
2
1 + 2 +1
2
2
1 +1 + 0
2
=
3
6 2
=
3
2 3
⇒ β=
π
6
rds
Sea δ el ángulo que forman los planos π y π 2 .
cos δ =
(2,1,−1) (1,1,0)
(2,1,−1)
(1,1,0)
=
2 +1
2 2 + 12 + (−1) 2 12 + 12 + 0 2
π
Luego
β =δ =
π
α
= 3 =
6 2 2
como queríamos comprobar.
=
3
6 2
=
3
2 3
=
3
2
⇒ δ=
π
6
rds