Matemáticas II Septiembre 2009 Problema 2.2. Sea π el plano de ecuación π: 3 x + 2 y + 4 z – 12 = 0, se pide calcular razonadamente: a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a π que distan 5 unidades de π. (1,2 puntos). b) Los tres puntos A, B y C, intersección del plano π con cada uno de los tres ejes coordenados. (0,6 puntos). c) Los tres ángulos del triángulo ABC. (1,5 puntos). Solución: a) Ecuaciones de los planos paralelos a π que distan 5 unidades de π. Los planos paralelos a π tienen por ecuación, π´: 3 x + 2 y + 4 z + D = 0. Como estos dos planos son paralelos, la distancia entre ellos la calculamos de la siguiente forma: d (π , π ′) = d (Pπ , π ′), siendo Pπ un punto cualquiera del plano π . Pπ podemos obtenerlo para x = y = 0, en la ecuación del plano π, luego: 4 x – 12 = 0 → → Pπ ( 0 , 0 , 3 ) 3 .0 + 2 .0 + 4 .3 + D 12 + D 12 + D d (Pπ , π ′) = = = 9 + 4 + 16 29 32 + 2 2 + 4 2 12 + D = 5 → 12 + D = 5 29 → D = −12 + 5 29 12 + D 29 y debe ser =5 → 12 + D 29 = −5 → 12 + D = −5 29 → D = −12 − 5 29 29 Finalmente, las ecuaciones de los planos pedidos son: π 1 : 3x + 2 y + 4 z − 12 + 5 29 = 0 ∧ π 2 : 3x + 2 y + 4 z − 12 − 5 29 = 0 b) Los tres puntos A, B y C, intersección del plano π con cada uno de los tres ejes coordenados. A, corte del plano π con eje X 3x + 2 y + 4 z − 12 = 0 → 3x − 12 = 0 → x = 4 → A(4,0,0) y = 0 z = 0 B, corte del plano π con eje Y 3x + 2 y + 4 z − 12 = 0 → 2 y − 12 = 0 → x = 0 z = 0 C, corte del plano π con eje Z 3x + 2 y + 4 z − 12 = 0 → 4 z − 12 = 0 → x = 0 y = 0 c) Los tres ángulos del triángulo ABC. y=4 → B(0,6,0) z = 3 → C (0,0,3) z=3 → ∧ → Aˆ = AB , AC → → AB = (0,6 ,0 ) − (4,0,0 ) = (−4,6 ,0 ) → AC = (0,0,3) − (4,0,0 ) = (−4,0,3) → → AB . AC cos Aˆ = → → = AB AC = (−4,6 ,0 ).(−4,0,3) ( −4 ) 2 + 6 2 + 0 2 ( −4 ) 2 + 0 2 + 3 2 16 16 + 36 16 + 9 = 16 52 25 Aˆ = 63´6560 º ∧ → → Bˆ = BA , BC → → BA = (4,−6,0) es el opuesto del AB calculado anteriormente → BC = (0,0,3) − (0,6,0) = (0,−6,3) cos Bˆ == (4,−6,0).(0,−6,3) 4 2 + (−6) 2 + 0 2 0 2 + (−6) 2 + 32 Bˆ = 41´9088º Finalmente, Cˆ = 180º − Aˆ − Bˆ = 74´4352º = 36 16 + 36 36 + 9 = 16 52 45 = 16 5 52 =