Matemáticas II
Septiembre 2009
Problema 2.2. Sea π el plano de ecuación π: 3 x + 2 y + 4 z – 12 = 0, se pide calcular
razonadamente:
a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a π que distan 5 unidades de π. (1,2 puntos).
b) Los tres puntos A, B y C, intersección del plano π con cada uno de los tres ejes
coordenados. (0,6 puntos).
c) Los tres ángulos del triángulo ABC. (1,5 puntos).
Solución:
a) Ecuaciones de los planos paralelos a π que distan 5 unidades de π.
Los planos paralelos a π tienen por ecuación, π´: 3 x + 2 y + 4 z + D = 0.
Como estos dos planos son paralelos, la distancia entre ellos la calculamos de la siguiente forma:
d (π , π ′) = d (Pπ , π ′), siendo Pπ un punto cualquiera del plano π .
Pπ podemos obtenerlo para x = y = 0, en la ecuación del plano π, luego: 4 x – 12 = 0 →
→ Pπ ( 0 , 0 , 3 )
3 .0 + 2 .0 + 4 .3 + D
12 + D
12 + D
d (Pπ , π ′) =
=
=
9 + 4 + 16
29
32 + 2 2 + 4 2
12 + D
= 5 → 12 + D = 5 29 → D = −12 + 5 29
12 + D
29
y debe ser
=5 →
12 + D
29
= −5 → 12 + D = −5 29 → D = −12 − 5 29
29
Finalmente, las ecuaciones de los planos pedidos son:
π 1 : 3x + 2 y + 4 z − 12 + 5 29 = 0
∧
π 2 : 3x + 2 y + 4 z − 12 − 5 29 = 0
b) Los tres puntos A, B y C, intersección del plano π con cada uno de los tres ejes coordenados.
A, corte del plano π con eje X
3x + 2 y + 4 z − 12 = 0
→ 3x − 12 = 0 → x = 4 → A(4,0,0)
y = 0
z = 0
B, corte del plano π con eje Y
3x + 2 y + 4 z − 12 = 0
→ 2 y − 12 = 0 →
x = 0
z = 0
C, corte del plano π con eje Z
3x + 2 y + 4 z − 12 = 0
→ 4 z − 12 = 0 →
x = 0
y = 0
c) Los tres ángulos del triángulo ABC.
y=4 →
B(0,6,0)
z = 3 → C (0,0,3)
z=3
→
∧
→
Aˆ = AB , AC
→
→
AB = (0,6 ,0 ) − (4,0,0 ) = (−4,6 ,0 )
→
AC = (0,0,3) − (4,0,0 ) = (−4,0,3)
→
→
AB . AC
cos Aˆ =
→
→
=
AB AC
=
(−4,6 ,0 ).(−4,0,3)
( −4 ) 2 + 6 2 + 0 2 ( −4 ) 2 + 0 2 + 3 2
16
16 + 36 16 + 9
=
16
52 25
Aˆ = 63´6560 º
∧
→ →
Bˆ = BA , BC
→
→
BA = (4,−6,0) es el opuesto del AB calculado anteriormente
→
BC = (0,0,3) − (0,6,0) = (0,−6,3)
cos Bˆ ==
(4,−6,0).(0,−6,3)
4 2 + (−6) 2 + 0 2 0 2 + (−6) 2 + 32
Bˆ = 41´9088º
Finalmente, Cˆ = 180º − Aˆ − Bˆ = 74´4352º
=
36
16 + 36 36 + 9
=
16
52 45
=
16
5 52
=
0
