El eje no focal de una hipérbola mide 8 cm y las ecuaciones de la

Ejercicio realizado por Patricia Delgado Martínez
Enunciado:
El eje no focal de una hipérbola mide 8 cm y las ecuaciones de las asíntotas
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son: y = ± x. Calcular la ecuación de la hipérbola, así como sus elementos.
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Teoría:
•
Hipérbola: es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
d ( A , F´ ) – d ( A , F ) = cte Î A es un punto cualquiera
•
Puntos fijos: Son los focos Î F y F´.
•
Eje focal: Es la recta que pasa por F y F´.
•
Eje no focal: es la mediatriz del segmento FF' .
•
Centro: intersección de los ejes.
•
Radio vectores:
d (P , F) = r
d (P, F´) = r´
r´ - r = cte
•
Distancia focal: Es la distancia entre los focos. FF´ = 2c
•
Vértices: Son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal
A y A´.
•
Eje mayor: Es la distancia entre los vértices Î AA´ = 2a
•
Vértices imaginarios: B y B´.
•
Eje menor: Es un eje imaginario, mediatriz del eje mayorÎ BB' = 2b
•
Ejes de simetrías: Son las rectas que contienen al eje real y al
imaginario.
•
Asíntotas: son las diagonales del rectángulo construido sobre AA´ y BB' .
Rectas a las cuales la hipérbola se aproxima, pero se cortan sólo en el
infinito.
•
Relaciones fundamentales:
AF – AF´ = cte = 2a
c2 = a2 + b2
•
Excentricidad: Mide el achatamiento de la hipérbola
c
e=
a
•
Ecuación reducida de la hipérbola:
r r
o Sistema de referencia: R = (0, i , j)
o Eje Focal = eje ox
o Centro: C = (0,0)
o Eje imaginario = eje y
x 2 y2
−
=1
a 2 b2
•
Ecuación de las asíntotas (rectas tangentes a la hipérbola en el infinito)
o Centro: C (0,0)
o Eje focal: eje x
b
y=± x
a
Resolución gráfica:
1. Dibujamos los ejes de coordenadas.
2. Dibujamos su eje no focal de 8 cm., sobre el eje y.
3. Dibujamos sus asíntotas, ya que tenemos su ecuaciones: y = ±
4. Dibujamos la parábola, siendo tangente a dichas asíntotas.
2
x
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Cálculo:
Nos dicen que el eje no focal BB' = 8 cm. Y las ecuaciones de las asíntotas
son:
b
y=± x
a
BB' = 8 cm = 2b; Por tanto b = 4 cm.
2 b 2 4
= ;
=
3 a 3 a
Por tanto despejamos y obtenemos:
a=
4⋅3
=6
2
Como ya tenemos b = 4 cm; y a = 6 cm; podemos sustituir en la ecuación
general, de tal forma que:
x2 y2
x2 y2
−
=
1
Æ
−
=1
36 16
a2 b2
Los elementos de esta parábola serían:
a = 6 cm
b = 4 cm
c 2 = a2 + b2
c 2 = 36 + 16 = 52
Despejamos y obtenemos:
c = 52
Para hallar la excentricidad de la hipérbola utilizaremos la fórmula:
e=
c
52
Æ e=
a
4
Soluciones: a = 6cm
b = 4cm
c = 52
e=
52
6
Focos: F = (- 52 , 0)
Vértices: A(6, 0), A’ (-6, 0), B(0, 4), B(0. –4)
Asíntotas: y = ±
2
x
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