Encontrar la ecuación de una hipérbola dado su centro

Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyo centro está en el punto (2; 1), cuyos semiejes son a = 3 y b = 2, y cuyo eje
transverso es paralelo al eje X. Encuentra las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices, y de los extremos de
las cuerdas focales. Encuentra también la ecuación de las asíntotas y dibujalas junto con la hipérbola.
Solución:
La ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h; k), con semieje transverso a, paralelo al eje X, y con semieje
conjugado b, es
2
(x
h)
2
(y
a2
k)
=1
b2
Para este problema en particular, tenemos
2
(x
2)
2
(y
32
1)
=1
22
que después de efectuar todas las operaciones y reduciones posibles queda como
4x2
9y 2
16x + 18y
29 = 0
que es la ecuación de la hipérbola.
Su centro es el punto (h; k) = (2; 1), ya lo sabíamos.
Los focos están localizados en los puntos (h c; k) y (h + c; k) donde c está dada como
p
p
p
c = a2 + b2 ; es decir, en nuestro caso, c = 32 + 22 = 13, y los focos estan en
p
F~1 = 2
13; 1
y
F~2 = 2 +
p
13; 1
Los vertices están localizados en los puntos (h
~1 = (2
V
a; k) y (h + a; k); es decir, los vértices estan en
3; 1) = ( 1; 1)
y
~2 = (2 + 3; 1) = (5; 1)
V
Los extremos de las cuerdas son 4, dados como:
h
2b2
a
c; k
; h
c; k +
2b2
a
; h + c; k
que sustituyendo los valores de este problema nos dan,
2
p
13; 1
22
2
3
; 2
p
13; 1 +
22
2
3
; 2+
p
13; 1
22
2
3
; 2+
p
13; 1 +
Reduciendo todos los términos, encontramos para los extremos de las cuerdas focales,
p
p
p
p
2
13; 5=3 ; 2
13; 11=3 ; 2 + 13; 5=3 ; 2 + 13; 11=3
Las ecuaciones de las asíntotas son
y
k=
b
(x
a
h)
que dan en este problema,
y
1=
2
(x
3
2)
1
22
2
3
2b2
a
; h + c; k +
2b2
a
y que se reducen a
y=
2
x
3
4
+1
3
o bien una es
y=
2
x
3
1
3
y la otra es
y=
2
7
x+
3
3
En la grá…ca siguiente se muestra la hipérbola y las asíntotas. Es fácil localizar el centro, los vertices, los focos y los
extremos focales:
y
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
2
9
10
x