La hipérbola - Matemática II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ITAPÚA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS
Ingeniería Comercial
Matemática II
Clase Nº 7
La hipérbola
DEFINICIÓN
Una hipérbola es el conjunto de puntas del
plano cuya distancia a dos puntos fijos tiene
una diferencia constante. Con esto queremos
decir que tomamos la diferencia de la distancia
mayor menos la distancia menor. Los dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. El
punto medio entre los dos focos se llama centro de la hipérbola.
Focos Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario Es la mediatriz del segmento
Centro Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia
que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
PF y PF'.
Distancia focal Es el segmento
de longitud 2c.
Eje mayor Es el segmento AA’ de longitud 2a.
Eje menor Es el segmento BB’ de longitud 2b.
María Teresa Szostak
Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos:
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Matemática II
Clase Nº 7
Asíntotas son un par de rectas que no tocan a
la hipérbole. Observa que las asíntotas, el eje X y
las rectas verticales que pasan por los vértices de
la hipérbola, forman triángulos rectángulos cuyos
catetos miden a y b y la hipotenusa mide c.
Son las rectas de ecuaciones:
Relación entre los semiejes
Excentricidad de la hipérbola, es el grado de achatamiento de la hipérbola.
Ecuación hipérbola
F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
PF –PF’ = 2a
√(
)
√(
)
realizando las operaciones se llega:
Si el eje de simetría es y se tiene:
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al
origen
Si el centro de la hipérbola es C(h ;
los focos tienen de coordenadas
F (h + c ; y0) y F'(h - c ; y0). Y la
ecuación
(
)
de
(
denominadores y desarrollando se obtiene la ecuación general:
)
la
hipérbola
,
será:
quitando
María Teresa Szostak
k) y el eje principal es paralelo a OX,
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Si la hipérbola tiene eje de simetría el eje y entonces su ecuación será
(
)
(
)
La ecuaciones de las asíntotas serán:
(
)
(
)
Ejercicios
1) Hallar la ecuación de la hipérbola concentro en el origen, eje real paralelo al eje 0x,
uno de cuyos vértices está en (−3, 0) y uno de sus focos en (5, 0). Determinar,
además, las coordenadas de los extremos del eje imaginario y las ecuaciones de sus
asíntotas.
2) El centro de una hipérbola esta en (−3, 2), su distancia focal es de 10 unidades y uno
de los vértices es el punto (1, 2). Hallar su ecuación y determinar las coordenadas de
los focos y de los extremos del eje imaginario, así como las ecuaciones de sus
asíntotas.
3) Encontrar la expresión matemática para la ecuación de la hipérbola que tiene su
centro en el origen y su eje mayor es paralelo al eje 0y (eje vertical).
4) Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y
V2 (-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola.
5) Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: 7y2 − 9x2 = 63. Determine:
coordenadas de los focos, de los vértices, y ecuaciones de las asíntotas.
6) El centro de una hipérbola es el punto (3, 2), uno de sus focos está en (3, −8) y su
excentricidad es 4 /5. Hallar su ecuación en forma general y determinar las
coordenadas de sus vértices y de los extremos de su eje imaginario, así como la
longitud del lado recto.
7) En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las
a) Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0).
b) Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3).
c) V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6.
d)
F(-7, 3), F’(-1, 3); 2a = 4.
e) V1(4, 0), V2(-4, 0); asíntota la recta y = 2x.
María Teresa Szostak
condiciones dadas.
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