Guía de ejercicios

Heteroscedasticidad.
- 61*) Considere el modelo:
Yi = b0 + b1Xi + ui
Var ui = σ2 Z2i
habiendo datos disponibles sobre todas las variables seleccionadas. Indique cómo estimaría el
modelo y diseñe el esquema de cálculo.
2*) Obtenga expresiones matriciales para el estimador MCG, su matriz de covarianzas, así
como el estimador de σ2 u para el modelo:
Yt = b0 + b1X1t + b2X2t + ut
donde E (u t) = 0
∀ t; E (ut2 ) = tσ u2 y E (u t u s) = 0 ∀ t≠ s
3*) Proponga un estadístico para el contraste de hipótesis nula Ho: b1=0 en el modelo:
Yt= b0 + b1X1t + ut
Var(ut ) = σ2τ = σ2u X21t
4*) Se quiere estimar el modelo
Yt= b0 + b1X1t + ut
para el que se dispone de las observaciones
yt 20 45 50 55 70 80
xt 10 20 20 30 40 40
a) Estime el modelo mediante MCO.
b) Suponiendo que tanto las observaciones de x como la constante se multiplican por 10,
obtener la nueva estimación. ¿Supone esto que el modelo es más heteroscedástico?
5*) Considera el modelo
Ct = β0 + β1PNBt + β2Dt + Ut;
donde Ct es el consumo del período t, PNBt es el Producto nacional Bruto del período t, y Dt
son los gastos en defensa del período t. Para estimar los parámetros β0; β1; y β2; se estiman los
siguientes modelos:
2
Ct = 26.19 + 062PNBt – 0.44Dt ; R = 0.9
(2.7)
(0.006)
(0.07)
-1
t
Ct/PNBt = 25.9 PNB
(2.2)
2
+ 0.62 – 0.43 Dt/PNBt ; R =0.8
(0.006) (0.06)
Si se sospecha que la dispersión de los errores pueda estar correlacionado con el PNB,
a) ¿Qué modelo escogería?
b) ¿Qué supuesto sobre los errores habrán hecho los autores de las estimaciones?
6*) Suponiendo el modelo
yt = β0 + β1 x1 + β2 wt + ut;
2
donde ut ≈ N(0; σ ) y donde xt y wt son deterministas. Un investigador cree erróneamente que
2
var(ut) = 2x t, por lo que transforma el modelo y aplica MCO al modelo transformado. ¿Qué
propiedades tendrá este estimador?
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7*) Establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique.
a) En presencia de heterocedasticidad, los estimadores MCO son sesgados al igual que
ineficientes.
b) Si hay heterocedasticidad, las pruebas convencionales t y F son invalidas.
c) En presencia de heterocedasticidad, el método MCO usual sobreestima siempre los
errores estándar de los estimadores.
d) Si los residuales estimados a través de una regresión MCO exhiben un patrón
sistemático, significa esto que hay presencia de heterocedasticidad en los datos.
e) Si un regresor que tiene una varianza no constante se omite (incorrectamente) de un
modelo, los residuales (MCO) serán heteroscedásticos.
8*) Sea el modelo lineal sin término constante Y i = bXi + ui donde las variables se expresan
en unidades originales. Halle el estimador del parámetro b suponiendo el patrón de heteroscedasticidad
σ2 ui = σ2 uX2i .
9*) Un econometrista trata de estimar el consumo de una región en función de la renta de esa
región. Para ello toma datos de 10 regiones y propone el siguiente modelo
Ci = β0 + β1Ri + Ui; donde Ci y Ri son al consumo y la renta medios de cada región. El
2
investigador supone que el consumo por individuo tiene una varianza constante σ y aplica
MCO al modelo propuesto. ¿Ha realizado bien la estimación? En caso de que tu respuesta sea
negativa, propón una alternativa.
10**) Heteroscedasticidad por grupos. Se pretende estimar la ecuación de consumo
ci= a +byi +ui, donde ci es el consumo familiar e yi es el ingreso disponible. Para ello
se recoge información de N familias, estructuradas en 5 subgrupos de tamaño Nj ;con
j=1,2,…,5. De cada uno de ellos se obtiene el consumo y el ingreso disponibles agregados, Cj=Σ
ci , Yj=Σ yi con los que se especifica el modelo Cj= α +βyj + vj
a) ¿De cuantos datos se disponen para estimar esta última ecuación?
b) Determinar la relación de los coeficientes de ambos modelos, así como la relación
entre los términos de error ui y vj .
c) Si se supone que E (ui) = 0 y σ2 ui = σ2 u . ¿Cuáles son las características de v j?
d) Si la información recogida es en promedio y no en agregados ¿qué cambios se
producen en el esquema de cálculo?
11***) Para el modelo de regresión lineal, Prais y Houthakker han realizado un supuesto sobre
la estructura de Heteroscedasticidad tal que Var(ui)
σ u2 ( Xb) 2 = σ u2 [E(Y)]2
, en donde X es
la matriz de variables independientes y b es el vector de coeficientes del modelo. Dado tal
supuesto, obtenga la expresión de los estimadores MCG desarrollando el esquema de cálculo.
12**) Dado el modelo lineal sin término constante y un solo regresor:
Yt = βX t + ut
2
donde E(ut) = 0, E( ut ) =
esquema
σ =σ
2
t
2
u
σ t2
y suponiendo que las varianzas cambian de acuerdo con el
Z t, donde Z es variable conocida, obtenga la expresión analítica del
estimador MCG, así como de su varianza. Utilice la desigualdad de Cauchy- Schwartz para
comparar dicha varianza con la del estimador MCC. ¿Qué ocurriría si a pesar de la
heteroscedasticidad se utilizase σu(X´X)-1 como matriz de covarianzas del estimador MCC?
Nota: La desigualdad de Cauchy- Schwartz garantiza que para dos variables cualquiera X e Y
se tiene:
Σ( xy ) 2 = Σ( x 2 )Σ( y 2 )
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13*) Una empresa de autobuses desea estimar la demanda de billetes (Yt) en función de la
variable constante, del precio de los mismos (X2t) y de la calidad del servicio, evaluada a través
de los gastos que la empresa realiza para la mejora del mismo (X3t). Se dispone de 50 datos
ordenados en forma creciente según la variable X3t y de la estimación MCO de las siguientes
ecuaciones:
(1): Yt = 0.68 - 0.3X2t + 0.33X3t + et
σ =184
(2): e2t= β1 + β2X2t + β3X3t + β4X22t + β5X3t2 + β6X2tX3t + vt
R2 = 0.053
(3): e2t = γ1 + γ2e2t-1 + ωt
R2 = 0.025
(4): Yt = -0.1 – 0.93X2t + 1.48X3t
σ = 204
(5): Yt = 0.42 – 1.85X2t + 1.66X3t
σ = 150
Las tres primeras ecuaciones se estimaron con los 50 datos; la cuarta se estimo con los 20
datos iniciales y la quinta con los 20 datos finales. Supondremos validas las aproximaciones
asintóticas.
a) Contraste el supuesto de homoscedasticidad en el modelo estimado en la ecuación (1)
con el contraste de White.
b) Contraste el supuesto de homoscedasticidad en el modelo estimado en la ecuación (1)
con el contraste de Goldfeld-Quandt, eliminando las 10 observaciones centrales.
14*) Un investigador de la industria del automóvil estima un modelo de ventas mensuales de
automóviles (Yt) en función de la variable constante, la población (X2t) y la renta per capita (X3t)
de varios países del mundo. El modelo satisface los supuestos de Gauss-Markov, excepto el
de homoscedasticidad. Se dispone de 20 datos con los que se obtuvieron las siguientes
estimaciones MCO.
(1) Yt= 1.835+0.059X2t+0.123X3t+et
(1.9)
(11.1)
(2)
et2
σ2
= γ 1 + γ 2 X 2t + γ 3 X 3t + vt
Contraste el supuesto de homocedasticidad en el modelo estimado en la ecuación (1) con
el estadístico de Breusch-Pagan ¿Se puede dar alguna razón económica que explique el
resultado obtenido?
Respuestas. Heteroscedasticidad.
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2) Ayuda: Ω = ti
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4)
a)
b̂0 =9.09; b̂1 =1.66
b)
b̂0 =0.909; b̂1 =0.166 VAR( b̂ )= 41.415
La varianza no cambia. Aún si multiplicáramos todas las variables por una constante el
modelo no seria más heteroscedástico sino, de mayor varianza.
5)
a) El segundo.
2
2
b) VAR(µi) = σµ PBN
6) Insesgado pero no eficiente ya que no resuelve el problema de heterocedasticidad.
7)
a)
b)
c)
d)
e)
8) bˆ =
F
V
F
V
V
y*
9) No se ha realizado bien la estimación.
10)
a)
b)
c)
d)
N=5
nja = α ; β = b; Σ ui=vj
La variabilidad de la variable agregada es mayor a la de la variable sin agregar
Cambia la matriz Ω. Se introduce la heteroscedasticidad
11) Ayuda: se trata de un proceso iterativo.
12) Sugerencia: no trabaje en forma matricial para el último punto. Sustituya A=
B= x
x z
z.
13) En ninguno de los casos se detecta la presencia de heteroscedasticidad.
14) Existe heteroscedasticidad. El problema más notorio seria la inclusión de la renta per
cápita. También puede afectar la omisión de variables relevantes, como el precio.
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