5.5 Repaso de estimadores MCO 5.6 Errores estándares robustos

5.5. REPASO DE ESTIMADORES MCO
5.5
105
Repaso de estimadores MCO
Tenemos un modelo
y = β0 + β1 x1 + . . . + βk xk + ǫ
Los cuatro primeros supuestos de Gauss–Markov son:
S.1 Linealidad en los parámetros, la variable dependiente es una función lineal de
los βj .
S.2 Muestreo aleatorio.
S.3 E(ǫ|x1 , . . . , xk ) = 0.
S.4 Variación muestral de las variables independientes (estas no son constantes).
Theorem 5.5.1 Insesgadez de los estimadores MCO
Si los supuestos S.1 – S.4 se satisfacen entonces el estimador MCO β̂j de βj
es insesgado.
El quinto supuesto de Gauss–Markov es la homocedasticidad:
S.5 V ar(ǫ|x1 , . . . , xk ) = σ 2 .
Theorem 5.5.2 Gauss–Markov
Si los supuestos S.1 – S.5 se satisfacen entonces el estimador MCO β̂j es el
estimador lineal insesgado óptimo (ELIO) de βj .
Pn
Las iniciales del acrónimo ELIO: a) Estimador; b) Lineal: β̂ =
i=1 wij yi
donde wij puede ser una función de los valores muestrales de todas las variables
independientes; c) Insesgado: E(β̂j ) = β; d) Óptimo: de varianza mı́nima.
El supuesto que presentamos en los primeros dı́as de clase de independencia
de los errores es demasiado fuerte y no es necesario para la estimación MCO para
datos de corte transversal (no ası́ en el caso de series temporales o datos de panel).
5.6
Errores estándares robustos
Como hemos visto en presencia de heteroscedasticidad, los estimadores MCO son
consistentes e insesgados. Sin embargo, los estimadores de la varianza y los errores
106CHAPTER 5. PROBLEMAS EN LA ESPECIFICACIÓN DEL MODELO Y LOS DATOS
estándar no lo son. Estos errores estándar se pueden ajustar para poder usar los
contrastes t, F y LM en presencia de heteroscedasticidad.
Consideremos el modelo con una sola variable independiente.
yi = β0 + β1 xi + ǫ.
Suponemos en todo momento que se cumplen los cuatro primeros supuestos de
Gauss–Markov. Si los errores contienen heteroscedasticidad, entonces V ar(ǫi |xi ) =
σi2 . Escribamos el estimador MCO como:
β̂1 = β1 +
Pn
i=1 (xi
− x̄)ǫi
SCTx
y sabemos que
(5.10)
donde SCTx =
de V ar(β̂1 )?)
V ar(β̂1 ) =
Pn
2
i=1 (xi − x̄)
Pn
− x̄)2 σi2
SCTx2
i=1 (xi
(si hay homocedasticidad, ¿cuál es la fórmula habitual
Dado que ee(β̂1 ) se basa en la estimación de V ar(β̂1 ), necesitamos estimar
(5.10) cuando hay heteroscedasticidad. White mostró como hacerlo usando los residuos porque un estimador válido de V ar(β̂1 ) (para cualquier caso de heteroscedasticidad, incluso para homocedasticidad) es:
Pn
− x̄)2 ǫ̂2i
SCTx2
i=1 (xi
que se puede obtener muy fácilmente después de hacer la regresión MCO.
En el caso del modelo de regresión múltiple y = β0 + β1 x1 + . . . + βk xk + ǫ, el
estimador válido de V ar(β̂j ) bajo los supuestos S.1–S.4 es:
V\
ar(β̂j ) =
Pn
2 2
i=1 r̂ij ǫ̂i
SCTj2
donde r̂ij denota el i-ésimo residuo de regresar xj sobre todas las demás variables
independientes. Es decir el residuo de hacer la regression múltiple: xj = δ0 +
Pn
\
h6=j δh xh + ξ. La raı́z cuadrada de V ar(β̂j ) se llama error estándar robusto a
la heteroscedasticidad para β̂j .
5.6. ERRORES ESTÁNDARES ROBUSTOS
107
Una vez obtenidos los errores estándar robustos a la heteroscedasticidad, es
simple construir un estadı́stico t robusto a la heteroscedasticidad:
t=
β̂j − βj
∼ tk−1 .
error estándar robusto
Para contrastar restricciones de exclusión múltiples de una manera robusta se
puede obtener el estadı́stico F robusto a la heteroscedasticidad o estadı́stico
de Wald robusto a la heteroscedasticidad. No es parte de este curso.
Si recordamos, el estadı́stico LM habitual se hallaba usando los residuos del
modelo restringido bajo la hipótesis nula, ǫ̃, que se regresaban sobre el resto de las
variables independendientes para hallar el Rǫ̃2 . Ası́ LM = nRǫ̃2 . El estadı́stico LM
robusto a la heteroscedasticidad:
Pasos
1. Obtener los residuos ǫ̃ del modelo restrigido (bajo la hipótesis nula).
2. Regresar cada una de las variables independientes excluidas bajo la hipótesis
nula sobre las variable independiente incluidas, si hay q variable excluidas,
esto lleva a q residuos (r̃1 , r̃2 , . . . , r̃q )
3. Calcular todos los productos cruzados de ǫ̃r̃j , es decir crear las variables z1 =
r̃1 ǫ̃, z2 = r̃2 ǫ̃, . . . , zq = r̃1 ǫ̃.
4. Realizar la regresión 1 = δ1 z1 + δ2 z2 + . . . δq zq + error (que pasa por el origen)
donde 1 es el vector con todos unos. El estadı́stico LM robusto viene dado por
n − SCE1 , donde SCE1 es simplemente la suma de cuadrados de los residuos
de esta regresión final. Bajo H0 , LM se distribuye aproximadamente como
una χ2q .
Practica 5 de clase.