Unidad docente de Matemáticas 1 INFINITÉSIMOS Definición

Infinitésimos e infinitos
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INFINITÉSIMOS
Definición
Diremos que una función y=f(x) es infinitamente pequeña, infinitesimal o infinitésimo
cuando x → a (o bien cuando x → ∞ ) si y solo si lím f ( x ) = 0 ( lím f ( x ) = 0 ).
x →a
x →∞
De la definición de límite se deduce:
•
Si lím f ( x ) = 0 , entonces para cualquier número ε,
x →a
ε
por pequeño que sea, existe un entorno de radio δ (a-δ, a+δ)
tal que para cada x∈ (a-δ, a+δ) se verifica que f ( x ) < ε .
•
x
−ε
Si lím f ( x ) = 0 , entonces para cualquier número ε,
x →∞
por pequeño que sea, existe un número x 0 ∈ R tal que
para cada x >x0 se verifica que f ( x ) < ε .
ε
x0 x
Ejemplos
a)
1
es un infinitésimo cuando x → ∞ .
x
b)
senx es un infinitésimo cuando x → 0 .
c)
tgx-1 es un infinitésimo cuando x →
d)
lnx es un infinitésimo cuando x → 1 .
π
.
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Propiedades
1. Si la función y=g(x) es suma de una constante b y de un infinitésimo f(x) cuando x → a , es
decir y=b+f(x) , entonces lím g( x ) = b . Y recíprocamente si lím g( x ) = b , entonces se puede
x →a
x →a
escribir g(x)=b+f(x), siendo f(x) un infinitésimo cuando x → a .
El resultado es análogo para x → ∞ .
2. La suma algebraica de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo (cuando x → a ó
x → ∞)
3. El producto de una función acotada por un infinitésimo es otro infinitésimo. En particular el
producto de dos infinitésimos es otro infinitésimo (cuando x → a ó x → ∞ ).
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Infinitésimos e infinitos
4. El cociente entre un infinitésimo y una función no nula (cuando x → a ó x → ∞ ) es otro
infinitésimo (cuando x → a ó x → ∞ ).
Infinitésimos comparables
Dos infinitésimos f(x) y g(x) cuando x → a se dice que son comparables si y solo si existe
f (x)
= k . Además:
x →a g( x )
lím
i).
Si k ≠ 0, ∞ se dice que f(x) y g(x) son infinitésimos del mismo orden.
ii).
Si k=0 ⇔ lím
g(x)
=∞
x →a f ( x )
se dice que f(x) es un infinitésimo de mayor orden (u orden
superior) que g(x) (f(x) tiende a 0 “con más rapidez”), o bien que g(x) es un infinitésimo de
menor orden (u orden inferior) que f(x).
Análogamente para x → ∞
Infinitésimos equivalentes
Se dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) cuando x → a son equivalentes si y solo si
f (x)
= 1 . Escribiremos en este caso f ≈ g cuando x → a .
x →a g ( x )
lím
Análogamente para x → ∞ .
Tabla de infinitésimos equivalentes cuando x → 0
sen x ≈ x ≈ arcsen x
tg x ≈ x ≈ arctg x
x2
1 − cos x ≈
2
a x − 1 ≈ x ln a
Definición: Orden de un infinitésimo
Sean f(x) y g(x) dos infinitésimos cuando x → a , diremos que f es un infinitésimo de orden
n respecto de g si y solo si lím
x →a
f (x )
[g(x )]n
= c ≠ 0 c ∈R
Análogamente cuando x → ∞ .
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Ejemplos
1. f(x)=5x2 es un infinitésimo de orden 2 respecto de g(x)=x cuando x → 0.
En general el infinitésimo Kxn es de orden n respecto del infinitésimo x cuando x → 0.
2. f(x)=7(x-1)3 es un infinitésimo de orden 3 respecto de g(x)=x-1 cuando x → 1.
En general el infinitésimo K(x-a)n es de orden n respecto del infinitésimo x-a cuando x → a.
Teorema 1
La suma de dos infinitésimos de distinto orden es otro infinitésimo equivalente al de orden
inferior (cuando x → a ó x → ∞ ).
Demostración
Supongamos que f(x) y g(x) son infinitésimos cuando x → a y que g es de mayor orden que f,
 g(x) 
f ( x ) + g( x )
g(x)
 = 1 + lím
= lím 1 +
= 1+ 0 = 1.
x →a
x →a 
x →a f ( x )
f (x)
f (x) 
entonces lím
Luego f(x)+g(x) ≈ f(x) cuando x → a . (Análogamente se probaría para x → ∞ ).
Observación
Por inducción, el teorema se puede generalizar para la suma de un número finito de
infinitésimos. La demostración se propone como ejercicio.
Ejemplo
p(x)=5x3-4x2+2x es un infinitésimo cuando x → 0 que es equivalente a f(x)=2x
ya que
2
 5x 3 − 4 x 2 + 2 x 
 3

p( x )
 = lím  5x − 4 x + 2x  = lím  5 x 2 − 4 x + 1 = 1 .
= lím 
 x →0 2x
x →0 f ( x )
x → 0
2x
2x 2x  x →0 2
2




lím
3
2
Luego 5x − 4x + 2x ≈ 2x
Teorema 2
El límite cuando x → a de toda expresión de la forma E(x)f(x) donde f(x) es un
infinitésimo cuando x → a , no varía si se sustituye f(x) por un infinitésimo equivalente p(x) que
cumpla la condición de ser no nulo en un cierto entorno reducido de a.
Demostración


p( x ) 
f (x ) 
f (x)
 = lím (E( x )p( x ) ) lím
 = lím  E( x )p( x )
lím (E( x )f ( x ) ) = lím  E( x )f ( x )
= lím (E( x )p( x ) )
x →a
x →a 
x → a p( x )
x →a
p( x )  x → a 
p( x )  x → a
(Análogamente se probaría para x → ∞ ).
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Infinitésimos e infinitos
Nota: Este teorema se puede generalizar fácilmente a toda expresión de la forma

f ( x )f 2 ( x ) " f n ( x ) 
,
lím  E( x ) 1
x →a 
g1 ( x )g 2 ( x )"g m ( x ) 
donde
f1 ( x ), f 2 ( x ),", f n ( x ), g1 ( x ), g 2 ( x ),", g m ( x ) son
infinitésimos con la condición de ser no nulos en un cierto entorno reducido de a (cuando x → a ó
x → ∞ ).
INFINITOS
Teorema
Si y=f(x) es un infinitésimo cuando x → a (o bien x → ∞ ) siendo f(x) ≠ 0 en un entorno
1
=∞
x →a f ( x )
reducido de a (o bien para x>x0), entonces lím


1
 o bien , lím
= ∞  .

x →∞ f ( x )


La demostración es obvia.
Definición
Diremos que una función y=g(x) es un infinito o infinitamente grande cuando x → a (o
bien cuando x → ∞ ) si y solo si la función f ( x ) =
1
es un infinitésimo cuando x → a (o bien
g( x )
cuando x → ∞ ).
Es decir, una función y=g(x) es un infinito o infinitamente grande cuando x → a (o bien cuando
1
=0
x →a g( x )
x → ∞ ) si y solo si lím


1
 o bien , lím
.
=
0


x →∞ g( x )


Observación
El estudio hecho para infinitésimos se desarrolla de manera análoga para infinitos.
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