Solución.

Métodos Matemáticos de Especialidad.
Especialidad de Construcción. Curso 2011-2012
VIBRACIONES ALEATORIAS
Examen 8 julio 2013
SOLUCION
1. Solución:
a) Es un MA(1), luego es estacionario.
b) Función de medias:
E[Xt ] = E[wt wt−1 ] = E[wt ]E[wt−1 ] = 0
ya que wt es independiente. Función de autocovarianza
E[Xt Xt+h ] = E[wt wt−1 wt+h wt+h−1 ]
h=0
2
2
4
E[Xt Xt ] = E[wt2 wt−1
] = E[wt2 ]E[wt−1
] = σW
h=1
2
E[Xt Xt+1 ] = E[wt2 wt−1 wt+1 ] = σW
E[wt−1 ]E[wt+1 ] = 0
h>1
E[Xt Xt+h ] = E[wt ]E[wt−1 ]E[wt+h ]E[wt+h−1 ] = 0
Por tanto es estacionario.
c) Función de medias
E[Xt ] = E[wt cos t + wt−1 sin t] = cos tE[wt ] + sin tE[wt−1 ] = 0
Función de autocovarianza
E[Xt Xt+h ] = E[(wt cos t + wt−1 sin t)(wt+h cos(t + h) + wt+h−1 sin(t + h))]
h=0
E[Xt Xt ] = E[(wt cos t + wt−1 sin t)2 ] =
2
2
= cos2 tE[wt2 ] + sin2 tE[wt−1
] + 2 sin t cos tE[wt wt−1 ] = σW
h=1
E[Xt Xt ] = E[(wt cos t + wt−1 sin t)(wt+1 cos(t + 1) + wt sin(t + 1)] =
= cos t cos(t + 1)E[wt wt+1 ] + cos t sin(t + 1)E[wt2 ] + sin t cos(t + 1)E[wt+1 wt−1 ]
2
+ sin t sin(t + 1)E[wt−1 wt ] = cos t sin(t + 1)σW
Por tanto NO es estacionario.
d) Xt es un AR(2). Será estacionario si las raices del polinomio característico están fuera del círculo
unidad. Polinomio característico:
1 − aB 2 = 0 ⇒ (1 +
√
aB)(1 −
Por tanto, Xt es estacionario si a ∈ (−1, 1).
1
√
1
aB) = 0 ⇒ B = ± √
a
2.
a) Debido a las propiedades de la función de densidad de probabilidad, se tiene que
fYt (y) = 0,5,
x ∈ [−1, 1]
Primero calculamos la esperanza
Z
E[Yt ] =
1
yfYt (y)dy =
Z
1
y0,5dy = 0
−1
−1
⇒ E[Zt ] = E[tY0 + Yt ] = tE[Y0 ] + E[Yt ] = 0.
Por tanto
Cov[Zt , Zt−1 ] = E[Zt Zt−1 ] − E[Zt ]E[Zt−1 ] = E[Zt Zt−1 ] = E[(tY0 + Yt )((t − 1)Y0 + Yt−1 )] =
= E[t(t − 1)Y02 + tY0 Yt−1 + (t − 1)Y0 Yt + Yt Yt−1 ] = t(t − 1)E[Y02 ]
Z 1
Z 1
1
2
2
y 2 dy =
y fYt (y)dy = 0,5
E[Yt ] =
3
−1
−1
⇒ Cov[Zt , Zt−1 ] =
t(t − 1)
3
b) Para resolver el problema tenemos en cuenta
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos2 A =
1 + cos 2A
2
La función de covarianzas se define como
Cov[X(t), Y (t + h)] = E[X(t)Y (t + h)] − E[X(t)]E[Y (t + h)]
Calculamos primero
E[X(t)] = E[α cos(ωt + θ)] = αE[cos(ωt + θ)] = αE[cos ωt cos θ − sin ωt sin θ] = 0,
E[Y (t + h)] = E[α sin(ω(t + h) + θ)] = αE[sin(ω(t + h) + θ)] =
= αE[sin ω(t + h) cos θ + cos ω(t + h) sin θ] = 0,
ya que
E[cos θ] =
Z
∞
Z
∞
cos θfθ (θ)dθ = k
2π
Z
2π
cos θdθ = 0
0
−∞
E[sin θ] =
Z
sin θfθ (θ)dθ = k
sin θdθ = 0
0
−∞
Por tanto,
Cov[X(t), Y (t + h)] = E[X(t)Y (t + h)] = E[α cos(ωt + θ)α sin(ω(t + h) + θ)]
= α2 E[cos(ωt + θ){sin(ωt + θ) cos(ωh) + cos(ωt + θ) sin(ωh)}]
= α2 E[sin(ωt + θ) cos(ωt + θ) cos(ωh) + cos2 (ωt + θ) sin(ωh)]
1
1
1
= α2 E[ sin(2ωt + 2θ) cos(ωh) + cos(2ωt + 2θ) sin(ωh) + sin(ωh)]
2
2
2
Teniendo en cuenta que E[sin 2θ] = 0 y E[cos 2θ] = 0
Cov[X(t), Y (t + h)] =
α2
sin(ωh)
2
Es fácil comprobar que se obtiene el mismo resultado con Cov[X(t + h), Y (t)].
2
Ga(f)
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
15
20
25
15
20
25
f (hz)
−3
x 10
8
|H(f)|2
6
4
2
0
0
5
10
f (hz)
Gx(f)
0.03
0.02
0.01
0
0
5
10
f (hz)
Figura 1: Funcion de densidad espectral de at .
3.
a) La varianza del desplazamiento se calcula como
Z +∞
2
GX (f )df
σX
=
0
dónde GX (f ) es la función de densidad espectral unilateral del desplazamiento:
GX (f ) = |H(f )|2 Ga (f )
H(f ) es la función de transferencia entre la aceleración de la base y el desplazamiento del sistema:
H(f ) =
m
−m
⇒ |H(f )|2 = p
2
k − 4π 2 mf 2 + i2πcf
(k − 4π mf 2 )2 + (2πcf )2
Por otra parte {at } es un proceso MA(2),
at = wt + φ1 wt−1 + φ2 wt−2
con función de densidad espectral conocida e igual a
2
Ga (f ) = 2σw
|1 − φ1 e−i2πf − φ2 e−i4πf |2 ,
0 ≤ f ≤ 1/2
Operando se puede poner como
2
Ga (f ) = 2σw
(1 + φ21 + φ22 + 2φ1 (1 + φ2 ) cos 2πf + 2φ2 cos 4πf ),
0 ≤ f ≤ 1/2
En la Figura 1 se han representado Ga (f ), |H(f )|2 and Gx (f ) para los datos del problema. Integrando
mediante la regla del trapecio Gx (f ) se obtiene
σx2 = 0,0594 m2 .
En Matlab:
% datos del sistema
% *****************************************
m=2;
k=800*pi^2;
3
z=0.02;
c=2*z*sqrt(m*k);
% Espectro teorico
% *****************************************
dt=0.02; % s
fnq=1/(2*dt); % Hz
% frecuencias del espectro teorico
dfg=0.001;
fg=0:dfg:0.5;
% parametros del AR(2)
a1=2;
a2=1;
% varianza
s2=16;
% espectro teorico
for r=1:length(fg)
G(r)=2*s2*(1+a1^2+a2^2+2*a1*(1+a2)*cos(2*pi*fg(r))+2*a2*cos(4*pi*fg(r))
end
% frecuencias y espectro escalados
f1=fg/dt;
Ga1=G*dt;
h1=figure;
subplot(3,1,1)
plot(f1,Ga1)
xlim([0 fnq])
xlabel(’f (hz)’)
ylabel(’G_a(f)’)
% Función de transferencia
% *****************************************
for r=1:length(f1)
H2_1(r)=m/sqrt( (k-4*pi^2*m*f1(r)^2)^2 + (2*pi*c*f1(r))^2 );
end
subplot(3,1,2)
plot(f1,H2_1)
xlabel(’f (hz)’)
ylabel(’|H(f)|^2’)
% Funcion de densidad espectral de la respuesta del sistema
% *******************************************************************
subplot(3,1,3)
Gx1=H2_1.*Ga1;
plot(f1,Gx1)
4
xlabel(’f (hz)’)
ylabel(’G_x(f)’)
% calculo de la varianza a partir de la PSD
% *********************************************************
df1=f1(2)-f1(1);
nf1=length(f1);
var1=0;
for r=1:nf1-1
trapecio=(Gx1(r)+Gx1(r+1))*df1/2;
var1 = var1 + trapecio;
end
%
b) Para una realizacion se obtiene
σx2 = 0,0643 m2 .
% numero de instantes de tiempo
nt=50/dt;
% vector tiempos
t=(0:nt-1)*dt;
% numero de realizaciones
nre=10000;
% ruido blanco wt -> N(mu=0,sigma=1)
wt=4*randn(nre,nt+2);
% se crea el proceso estocástico MA
xt = wt(:,1:nt) + a1*wt(:,2:nt+1) + a2*wt(:,3:nt+2);
% se estima la psd de la realizacion 1 con el metodo de Welch
[pwe,fwe]=pwelch(xt(1,:));
Ga2=pwe*2*pi*dt;
f2=fwe/(2*pi*dt);
h2=figure;
plot(f2,Ga2,’r’,’linewidth’,1)
hold on
plot(f1,Ga1)
% funcion de transferencia evaluada en los mismos puntos que Ga2
for r=1:length(f2)
H2_2(r)=m/sqrt( (k-4*pi^2*m*f2(r)^2)^2 + (2*pi*c*f2(r))^2 );
end
% densidad espectral de la respuesta
Gx2=H2_2.*Ga2’;
df2=f2(2)-f2(1);
nf2=length(f2);
var2=0;
for r=1:nf2-1
5
trapecio=(Gx2(r)+Gx2(r+1))*df2/2;
var2 = var2 + trapecio;
end
c) Para 10000 realizaciones se obtiene
σx2 = 0,0593 m2 .
% lo repetimos para todas las realizaciones
Gr=zeros(nre,nt/2+1);
for r=1:nre
Xr=fft(xt(r,:));
Gr(r,:)=2*dt/nt*abs(Xr(1:nt/2+1)).^2;
end
f3=(0:nt/2)*(1/(nt*dt));
% estimacion
Ga3=mean(Gr);
h3=figure;
plot(f1,Ga1,’r’,’linewidth’,1)
hold on
plot(f3,Ga3)
% funcion de transferencia evaluada en los mismos puntos que Ga3
for r=1:length(f3)
H2_3(r)=m/sqrt( (k-4*pi^2*m*f3(r)^2)^2 + (2*pi*c*f3(r))^2 );
end
% densidad espectral de la respuesta
Gx3=H2_3.*Ga3;
df3=f3(2)-f3(1);
nf3=length(f3);
var3=0;
for r=1:nf3-1
trapecio=(Gx3(r)+Gx3(r+1))*df3/2;
var3 = var3 + trapecio;
end
6