Repaso - Cimat

Repaso de Trigonometrı́a
Mat101
Enero - Mayo, 2008
Instructora: Mónica Moreno Rocha
CIMAT
1
Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas básicas que estudiaremos son: seno, coseno y tangente, ası́ como sus
recı́procas, cotangente, secante y cosecante. Las denotaremos por sen, cos, tg y ctg, sec y csc respectivamente. Basándonos en el triángulo de la figura 1, podemos definir cada función trigonométrica
del ángulo θ por
R
!
h
Hipotenusa
P
o
Cateto
opuesto
"
Q
a
Cateto adyacente
Figura 1 El triángulo trigonométrico.
sen θ =
cateto opuesto
o
=
hipotenusa
h
ctg θ =
cateto adyacente
a
=
cateto opuesto
o
cos θ =
cateto adyacente
a
=
hipotenusa
h
sec θ =
tg θ =
hipotenusa
h
=
cateto adyacente
a
cateto opuesto
o
=
cateto adyacente
a
csc θ =
hipotenusa
h
=
cateto opuesto
o
Usando estas relaciones podemos obtener
sen θ
,
cos θ
y de aquı́ tenemos que las funciones recı́procas son dadas por
tg θ =
ctg θ =
cos θ
1
=
tg θ
sen θ
sec θ =
1
1
cos θ
csc θ =
1
.
sen θ
2
2.1
Identidades
Ángulos complementarios
Dos ángulos θ y α son complementarios si θ + α = 90◦ (o π/2 en radianes). Como la suma de todos
los ángulos de un triángulo es 180◦ (o π), vemos de la figura 1 que θ y α son complementarios.
Si queremos usar el ángulo α para definir las funciones trigonométricas, sólo necesitamos escribir
α = 90◦ − θ = π/2 − θ y renombrar los catetos adyacente y opuesto por o y a respectivamente. De
aquı́ obtenemos las identidades de ángulos complementarios.
sen (π/2 − θ) = cos θ
ctg (π/2 − θ) = tg θ
2.2
cos (π/2 − θ) = sen θ
sec (π/2 − θ) = csc θ
tg (π/2 − θ) = ctg θ.
csc (π/2 − θ) = sec θ.
Identidades de Pitágoras
cos2 θ + sen2 θ = 1
Deducción: Usando el teorema de Pitágoras y las definiciones de seno y coseno tenemos
cos2 θ + sen2 θ =
a2
o2 + a2
h2
o2
+
=
=
= 1.
h2 h2
h2
h2
De forma similar se pueden obtener
tg2 θ + 1 = sec2 θ
2.3
ctg2 θ + 1 = csc2 θ
Suma de ángulos
Dados dos ángulos α y β, se tiene
sen (α ± β) = sen α cos β ± sen β cos α
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sen αsen β
Hay varias formas de deducir estas identidades. Una de ellas es por medio de la figura 2. Por
ejemplo, se puede verificar que
sen (α + β) = P B = RB + P R = AQ + P R = sen α cos β + sen β cos α.
También tenemos cos(α + β) = sen (π/2 − (α + β)) = sen((π/2 − α) − β), y sólo basta aplicar la
fórmula del seno para la diferencia de ángulos.
2
Figura 2 La suma de los ángulos α y β.
Fuente: www.wikipedia.com.
Es un buen ejercicio deducir las siguientes identidades
tg (α + β) =
2.4
tg α + tg β
1 − tg α tg β
ctg (α + β) =
ctg α ctg β − 1
ctg α + ctg β
Ángulos dobles
Tomando β = α en las identidades de suma de ángulos, podemos deducir
cos(2α) = cos2 α − sen2 α
sen (2α) = 2sen α cos α
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Ejercicios
A partir de las identidades estudiadas, calcular
1. sen(−θ), cos(−θ), tg(−θ), csc(−θ), sec(−θ) y ctg(−θ).
2. sen(π/2 − θ), cos(π/2 − θ), tg(π/2 − θ), csc(π/2 − θ), sec π/2 − θ) y ctg(π/2 − θ)
3. sen(π − θ), cos(π − θ), tg(π − θ), csc(π − θ), sec(π − θ) y ctg(π − θ).
4. sen(θ + π/2), cos(θ + π/2), tg(θ + π/2), csc(θ + π/2), sec(θ + π/2) y ctg(θ + π/2).
5. sen(θ + π), cos(θ + π), tg(θ + π), csc(θ + π), sec(θ + π) y ctg(θ + π).
6. sen(θ + 2π), cos(θ + 2π), tg(θ + 2π), csc(θ + 2π), sec(θ + 2π) y ctg(θ + 2π).
3
Figura 3 Cı́rculo unitario y valores de (x, y) = (cos θ, sen θ) para ciertos ángulos.
Fuente: www.wikipedia.com
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