Geometría del Elipsoide de revolución

Geometría del Elipsoide de revolución
2ª parte
E. Calero
Versión 1.0
Marzo 2005
PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA
2.23 Problemas directo e inverso de la Geodesia.
2.24 Algunas fórmulas previas.
2.24.1 Elemento del arco de meridiano d β en función de la
latitud reducida ψ
2.24.2 Radio de curvatura normal en un punto de la geodésica y
en la dirección de esta.
2.24.3 Imagen esférica de una geodésica del elipsoide de
revolución
2.24.4 Triángulo esférico polar asociado a un arco de geodésica.
2.24.5 Longitud del elemento de arco de geodésica distinta del
ecuador
2.24.6 Cálculo de la longitud (geodésica distinta del ecuador)
2.24.7 Integración del arco (geodésica distinta del ecuador)
2.24.8 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto
de latitud reducida ψ
2.24.9 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto
de latitud geodésica ϕ
2.24.10 Cálculo de la longitud λ en función de ω
2.25 Elementos del triángulo polar sobre la esfera
2.26 Problema Inverso Solución de J.J. Levallois y Du Puy.
2.27 Problema Inverso. Solución iterativa de Helmert modificada por
Sodano
2.28 Problema directo. Método de E. Sodano.
2.29 Problema inverso. Fórmulas de Sodano.
CÁLCULOS EN EL ELIPSOIDE
2.30 Cálculo de una triangulación en el elipsoide
2.30.1 Cálculos en la esfera.
2.30.2 Teorema de Legendre.
2.30.3 Extensión del teorema de Legendre al Elipsoide
2.23 Problemas directo e inverso de la Geodesia.
Dados dos puntos P1 y P2 de un elipsoide de revolución:
PROBLEMA DIRECTO:
Conocidas
Las coordenadas geodésicas (ϕ1 , λ1 ) de P1
La longitud del arco de geodésica P1 - P2
El acimut A12 de P2 en P1
Determinar
Las coordenadas geodésicas (ϕ 2 , λ2 ) de P2
El acimut A21 de P1 en P2
PROBLEMA INVERSO:
Conocidas
Las coordenadas geodésicas (ϕ1 , λ1 ) de P1 y (ϕ 2 , λ2 ) de P2
Determinar:
La longitud del arco de geodésica P1 - P2
El acimut A12 de P2 en P1
El acimut A21 de P1 en P2
2.24 Algunas fórmulas previas.
2.24.1 Elemento del arco de meridiano d β en función de la latitud reducida ψ
En la elipse meridiana
x = a.cosψ
y = b.senψ
d β 2 = dx 2 + dy 2 = ( a 2 sen 2ψ + b 2 cos 2 ψ ) dψ 2 = b 2 (1 +
a 2 − b2
sen 2ψ ) dψ 2
2
b
d β = b 1 + e,2 sen 2ψ dψ
El arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud reducida ψ
ψ
β = b ∫ 1 + e,2 sen 2ψ dψ
0
integral elíptica de primera especie.
2.24.2 Radio de curvatura normal en un punto de la geodésica y en la dirección de esta.
Sean:
A acimut de la geodésica en un punto P
R radio de curvatura normal en la dirección A en el punto P
ρ radio de curvatura normal en la dirección del meridiano de P
N radio de curvatura normal en la dirección del primer vertical de P
A0 acimut de la geodésica en el punto de corte con el ecuador
r radio del paralelo que pasa por P
Aplicando el teorema de Euler
1 1
1
= cos2 A + sen 2 A
R ρ
N
y el teorema de Clairaut
r.senA = a.senA0
N=
a
1 − e sen ϕ
2
2
=
a
W
ρ=
a (1 − e 2 )
1 − e 2 sen 2ϕ
3
=
a (1 − e 2 )
W3
W = 1 − e 2 sen 2ϕ
1 1 ⎛ 1 1⎞
= + ⎜ − ⎟ sen 2 A
R ρ ⎝N ρ⎠
senA =
a.senA0 a.senA0 WsenA0
=
=
r
N .cos ϕ
cos ϕ
(
)
W (1 − e 2 ) − W 2
1 1 W
W3
e 2W cos2 ϕ
− = −
=
=
−
N ρ a a (1 − e 2 )
a (1 − e 2 )
a (1 − e 2 )
⎛ 1 1⎞
2
2 1
2
⎜ N − ρ ⎟ sen A = − e ρ sen A0
⎝
⎠
1 1
= (1 − e 2 sen 2 A0 ) pero K −1 = (1 − e 2 sen 2 A0 ) = const. es una
R ρ
constante
R =
(1 − e
ρ
2
sen 2 A0 )
R = K .ρ
En todo punto de una geodésica del elipsoide de revolución, distinta del ecuador y de un
meridiano, se verifica que el radio de curvatura normal en la dirección de la geodésica
es proporcional al radio de curvatura normal en la dirección del meridiano.
2.24.3 Imagen esférica de una geodésica del elipsoide de revolución
Consideremos la elipse meridiana y su circunferencia principal, al girar alrededor del
semieje menor, ambas curvas describen un elipsoide de revolución y una esfera respectivamente. Esta esfera concéntrica con el elipsoide y coincidente en el ecuador se la
denomina esfera principal del elipsoide, algunos la llama también esfera de Jacobi.
Las geodésicas de la esfera son los círculos máximos.
Dada una geodésica del elipsoide cuyo acimut en C (punto de corte con el ecuador)
es Aoe , existe un círculo máximo de la esfera que pasa por el punto C con un acimut
esférico A0E tal que
A0 e = A0 E
Se Pe un punto de la geodésica anterior (ϕ e , λe ,ψ e ) ψ e latitud reducida, establecemos la
correspondencia
Pe → PE
PE es un punto del círculo máximo anterior tal que
ϕE = ψ e
ϕ E es la latitud en la esfera. Esta correspondencia es biunívoca entre los puntos del
elipsoide y los puntos de la esfera. El caso A0 e = π / 2 es trivial, aplica el ecuador sobre
si mismo, ya que el ecuador es una geodésica en ambas superficies. El caso A0 e = 0
aplica el meridiano sobre su circunferencia principal.
Propiedades.
1. La correspondencia conserva los acimutes APe = APE
Aplicando el teorema de Clairaut en el elipsoide y en la esfera
re senAe = a.senA0 e
rE senAE = a.senA0 E
re senAe = rE senAE
Pero re = rE por la forma de establecer la correspondencia, luego
senAe = senAE
2. La correspondencia conserva las latitudes reducidas
ψ E = ϕE =ψ e
ya que en la esfera la latitud reducida coincide con la latitud esférica.
3. La correspondencia no conserva las longitudes.
Aplicando la ecuación de Laplace:
dA = senϕ d λ
en dos puntos infinitesimalmente vecinos en la geodésica del elipsoide y en los
puntos correspondientes de la esfera:
dAE = d λE senϕ E = d λE senψ e
dAe = d λe senϕ e
d λE senψ e = d λe senϕ e
resulta:
⎛ senϕ e
⎞
− 1⎟ d λe
d λE − d λe = ⎜
⎝ senψ e ⎠
Integrando
λe
⎛ senϕ e
⎞
− 1⎟d λe
senψ e ⎠
0 ⎝
ε = λE − λe = ∫ ⎜
Como el integrando es siempre positivo ε > 0 , la longitud del punto
correspondiente en la esfera avanza la cantidad anterior.
2.24.4 Triángulo esférico polar asociado a un arco de geodésica.
Sean Pe y Qe los extremos de un arco de geodésica en el elipsoide, usando la
correspondencia anterior, se obtienen los puntos PE y QE tal que PE tiene la latitud
esférica ψ eP y su acimut esférico es AeP , análogamente en QE . Con los meridianos que
pasan por PE y QE y el arco PE QE , se forma un triángulo esférico cuyo ángulo en el
polo es
λQ − λP + ε Q − ε P = ∆λ + ∆ε
La utilización de la correspondencia anterior, reduce algunos de los cálculos a la
trigonometría esférica.
2.24.5 Longitud del elemento de arco de geodésica distinta del ecuador
Consideremos los puntos P y Q infinitamente próximos en una geodésica, en el
meridiano de P un punto H tal que está en el mismo paralelo que Q. Se forma un
triángulo infinitesimal en el que:
ds =
PH
dβ
=
cos A cos A
d β = b 1 + e,2 sen 2ψ dψ
d β es la longitud del arco de meridiano PH.
Aplicando el teorema de Clairaut
rsenA = asenA0 ⇒ a cosψ senA = asenA0 ⇒ cosψ senA = senA0
ds =
dβ
sen 2 A0
1−
cos 2 ψ
(1 + e
=b
1
'2
sen 2ψ ) 2 cosψ
cos 2 A0 − sen 2ψ
dψ
A0 es el acimut de la geodésica en C, punto de corte con el ecuador
Haciendo el cambio de variable
senψ = cos A0 senω
cosψ dψ = cos A0 cos ω dω
ds = b (1 + e'2 cos 2 A0 sen2ω )dω
ω es la distancia en la esfera desde C al punto de latitud ψ , se llama elongación
geodésica.
2.24.6 Cálculo de la longitud (geodésica distinta del ecuador)
En el triángulo anterior
r 2 d λ = a.senA0 ds
QH = rd λ = ds ⋅ senA
Utilizando el cambio de variables anterior y el valor de ds:
b
dλ =
a
(1 + e cos A sen ω )senA
(1 − cos A sen ω )
'2
2
2
0
2
0
2
0
dω
dλ =
ds.senA0
a.cos 2 ψ
2.24.7 Integración del arco (geodésica distinta del ecuador)
Si efectuamos la substitución t 2 = e'2 cos 2 A0 , resulta
ds = b (1 + t 2 sen 2ω )dω
El desarrollo por la fórmula del binomio del radical es
1
2
2
+
ω
1
t
sen
(
) 2 = 1 + 12 t 2 sen2ω − 12 14 t 4 sen4ω + 12 14 63 t 6 sen6ω − ...
Llamando x = t 2 sen 2ω ,
(1 + t sen ω )
2
2
1
2
= (1 + x )
⎛1 ⎞
⎜ 2⎟ =1
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
1
2
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
= ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ x + ⎜ 2 ⎟ x 2 + ⎜ 2 ⎟ x 3 + ⎜ 2 ⎟ x 4 + .....
⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
1⎛1 ⎞
⎛ 1 ⎞ 2 ⎜⎝ 2 − 1⎟⎠
11
=−
⎜ 2⎟ =
⎜ 2 ⎟
2!
24
⎝ ⎠
⎛1 ⎞ 1
⎜ 2⎟ =
⎜ 1 ⎟ 2
⎝ ⎠
1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1
⎞
⎛ 1 ⎞ 2 ⎜⎝ 2 − 1⎟⎠ ⎜⎝ 2 − 2 ⎟⎠ 1 1 3
=
⎜ 2⎟ =
⎜ 3 ⎟
3!
246
⎝ ⎠
1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1
⎞⎛ 1
⎞
⎛ 1 ⎞ 2 ⎜⎝ 2 − 1⎟⎠ ⎜⎝ 2 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 − 3 ⎟⎠
11 35
=−
⎜ 2⎟ =
⎜ 4 ⎟
3!
2468
⎝ ⎠
La longitud del arco de geodésica desde el ecuador a un punto definido por ω
ω
ω
1
1
11 4 4
113 6 6
s = b ∫ (1 + t 2 sen 2ω ) 2 dω = b ∫ (1 + t 2 sen 2ω −
t sen ω +
t sen ω − ...)dω
2
24
246
0
0
ω
ω
ω
ω
1
11 4 4
113 6 6
s = b( ∫ dω + ∫ t 2 sen 2ω dω −
t sen ω dω +
t sen ωdω − ...)
∫
20
240
2 4 6 ∫0
0
J.J. Levalois llama integrales de Wallis a
ω
W2 p = ∫ sen 2 pω dω
0
Usando esta notación
1
11 4
113 6
s = b(W0 + t 2W2 −
t W4 +
t W6 − ...)
2
24
246
Las integrales W verifican la siguiente relación de recurrencia:
Wn =
n −1
1
Wn −2 − sen n −1ω cos ω
n
n
en efecto:
ω
ω
ω
Wn = ∫ sen ω dω = ∫ sen ω sen ω dω = ∫ sen n −2ω (1 − cos2 ω )dω
n −2
n
0
ω
2
0
0
ω
ω
Wn = ∫ sen ω (1 − cos ω )dω = ∫ sen ω dω − ∫ sen n −2ω cos2 ω dω
n−2
2
0
n −2
0
0
Integrado por partes el segundo sumando
u=
sen n −1ω
n −1
Wn = Wn −2 −
du = sen n − 2ω cos ω d ω
v = cos ω
dv = − senω dω
sen n −1ω
1
sen n −1ω
1
n
sen
ω
d
ω
W
Wn
=
−
cos ω −
cos ω −
n−2
∫
n −1
n −1
n −1
n −1
(1 −
1
n
sen n −1ω cos ω
Wn = Wn −2 −
)Wn =
n −1
n −1
n −1
Aplicando la relación de recurrencia, resulta:
W0 = ω
W2 =
1
(ω − senω cos ω )
2
3
1
W4 = W2 − sen 2ω ( senω cos ω )
4
4
5
1
W6 = W4 − sen 4ω ( senω cos ω )
6
6
1
11 4
113 6
s = b(W0 + t 2W2 −
t W4 +
t W6 − ...)
2
24
246
En la mayor parte de las aplicaciones difícilmente se pasa del grado 6.
En el caso del ecuador:
s = a ( λ2 − λ1 )
2.24.8 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud reducida
ψ (Fórmula de Levallois)
Cuando se trata del meridiano A0 = 0 y la fórmula t 2 = e'2 cos 2 A0 se reduce a t 2 = e' 2
1
1 1 '4
1 1 3 '6
smeridiano = b(W0 m + e' 2W2 m −
e W4 m +
e W6 m − ...)
2
24
246
como senψ = cos A0 senω ⇒ senψ = senω ⇒ ψ = ω
W0m = ψ
W2 m =
1
(ψ − senψ cosψ )
2
3
1
W4 m = W2 − sen 2ψ ( senψ cosψ )
4
4
5
1
W6 m = W4 − sen 4ψ ( senψ cosψ )
6
6
2.24.9 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud geodésica
ϕ
La fórmula clásica resulta de la integración de
ϕ
ϕ
0
0
s = ∫ ρ dϕ = ∫
a (1 − e 2 )
(1 − e sen ϕ )
2
2
ϕ
3
2
3
dϕ = ∫ a (1 − e 2 )(1 − e 2 sen 2ϕ ) 2 dϕ
−
0
desarrollando por fórmula del binomio
(1 − e2 sen 2ϕ )
⎛− 3 ⎞
⎜ 2⎟ =1
⎜ 0 ⎟
⎝
⎠
−3
2
⎛− 3 ⎞ ⎛− 3 ⎞
⎛− 3 ⎞
⎛− 3 ⎞
2 ⎟ ( − e 2 sen 2ϕ )3 + ...
= ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ( − e 2 sen 2ϕ ) + ⎜ 2 ⎟ ( − e 2 sen 2ϕ ) 2 + ⎜
⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛− 3 ⎞
2⎟ = − 3
⎜
⎜ 1 ⎟
2
⎝
⎠
⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞
⎛ − 3 ⎞ ⎝⎜ − 2 ⎠⎟ ⎝⎜ − 2 − 1⎠⎟ 15
=
⎜ 2⎟ =
⎜ 2 ⎟
2
8
⎝
⎠
⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 3
⎞
⎛ − 3 ⎞ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 − 1⎟⎠ ⎜⎝ − 2 − 2 ⎟⎠
105
=−
⎜ 2⎟ =
⎜ 3 ⎟
3.2
48
⎝
⎠
ϕ
3
15
105 6 6
s = a. (1 − e 2 ) ∫ (1 + e 2 sen 2ϕ + e 4 sen 4ϕ +
e sen ϕ + ...)dϕ
2
8
48
0
Teniendo en cuenta las fórmulas de de Moivre
sen 2ϕ =
sen 6 =
1 − cos 2ϕ
2
sen 4ϕ =
3 − 4 cos 2ϕ + 4 cos 4ϕ
8
10 − 15cos 2ϕ + 6cos 4ϕ − 6cos 6ϕ
32
Integrando término a término hasta los de e6 , resulta
1
1
1
s = a (1 − e2 )( B0ϕ − B1sen 2ϕ + B3sen 4ϕ − B4 sen6ϕ + ...)
2
4
6
3
45
175 6
B0 = 1 + e2 + e4 +
e
4
64
256
B1 =
3 2 15 4 525 6
e + e +
e
4
16
512
B2 =
15 4 105 6
e +
e
64
256
B3 =
35 6
e
512
Esta es la fórmula clásica en función de los senos de los múltiplos de la latitud.
2.24.10 Cálculo de la longitud λ en función de ω
La fórmula
1
b (1 + e' 2 cos2 A0 sen 2ω ) 2 senA0
dλ =
dω
a
1 − cos2 A0 sen 2ω
con la substitución t 2 = e' 2 cos2 A0 , se convierte en
1 + t 2 sen 2ω ) 2
(
b
d λ = senA0
dω
a
1 − cos2 A0 sen 2ω
1
Integrado resulta
ω
1 + t 2 sen 2ω ) 2
(
b
dω
λ = senA0 ∫
a
1 − cos2 A0 sen 2ω
0
1
Sustituyendo el numerador del integrando por su desarrollo en serie
ω
b
λ = senA0 ∫
a
0
1
11 4 4
113 6 6
1 + t 2 sen 2ω −
t sen ω +
t sen ω − ...
2
24
246
dω
1 − cos2 A0 sen 2ω
ω
⎡ω
⎤
dω
1 2
sen 2ω dω
+
−
t
⎢∫
⎥
1 − cos 2 A0 sen 2ω 2 ∫0 1 − cos 2 A0 sen 2ω
b
0
⎢
⎥
λ = senA0
ω
ω
4
6
⎢
⎥
a
11 4
113 6
sen ω dω
sen ω dω
⎢
⎥
...
+
−
t ∫
t
2
2
2
2
∫
⎥⎦
⎣⎢ 2 4 0 1 − cos A0 sen ω 2 4 6 0 1 − cos A0 sen ω
⎡
b
1
11
113
⎤
t 4 I4 +
t 6 I 6 + ...⎥
λ = senA0 ⎢ I 0 + t 2 I 2 −
a
2
24
246
⎣
⎦
Las integrales I 2 p verifican la relación de recurrencia
I 2 p = W2 p + cos2 A0 I 2 p + 2
En efecto:
ω
sen 2 pω (1 − cos2 A0 sen 2ω + cos2 A0 sen 2ω )
sen 2 pω dω
dω
=∫
=∫
2
2
2
2
ω
ω
A
sen
A
sen
1
−
cos
1
−
cos
0
0
0
0
ω
I2 p
ω
ω
sen 2 p + 2ω d ω
1 − cos2 A0 sen 2ω
0
I 2 p = ∫ sen 2 pω dω + cos2 A0 ∫
0
Aplicando la relación de recurrencia:
I0 = I0
I 0 − W0
cos2 A0
I −W
I −W
W2
I4 = 2 2 2 = 0 4 0 −
cos A0 cos A0 cos2 A0
I −W
W2
W4
I6 = 0 6 0 −
−
4
cos A0 cos A0 cos2 A0
I2 =
La expresión de la longitud se escribe
⎡
W2 ⎞ ⎤
1 2 ⎛ I 0 − W0 ⎞ 1 1 4 ⎛ I 0 − W0
t
−
−
⎢ I0 + t ⎜
⎟
⎜
⎟⎥
2 ⎝ cos 2 A0 ⎠ 2 4 ⎝ cos 4 A0 cos 2 A0 ⎠ ⎥
b
⎢
λ = senA0 ⎢
⎥
a
⎛
⎞
⎢ + 1 1 3 t 6 ⎜ I 0 − W0 − W2 − W4 ⎟ − ... ⎥
⎢⎣ 2 4 6 ⎝ cos 6 A0 cos 4 A0 cos 2 A0 ⎠
⎥⎦
Como t 2 = e' 2 cos2 A0
1 '2
1 1 '4
⎡
⎤
2
⎢ I 0 + 2 e ( I 0 − W0 ) − 2 4 e ( I 0 − W0 − W2 cos A0 ) ⎥
b
λ = senA0 ⎢
⎥
a
⎢ + 1 1 3 e'6 ( I − W − W cos 2 A − W cos 4 A ) − ... ⎥
0
0
2
0
4
0
⎢⎣ 2 4 6
⎥⎦
después de reordenar, resulta:
⎡ ⎛ 1 '2 1 1 '4 1 1 3 '6
⎞
⎛ 1 '2 1 1 '4 1 1 3 '6
⎞⎤
⎢ I 0 ⎜1 + 2 e − 2 4 e + 2 4 6 e − ... ⎟ + W0 ⎜ 2 e − 2 4 e − 2 4 6 e + ... ⎟ ⎥
b
⎝
⎠
⎝
⎠⎥
λ = senA0 ⎢
⎢
⎥
a
⎛ 1 1 '4 1 1 3 '6
⎞
⎛ 1 1 3 '6
⎞
2
e −
e + ... ⎟ + W4 cos 2 A0 ⎜ −
e + ...⎟ + ... ⎥
⎢ +W2 cos A0 ⎜
246
⎝24
⎠
⎝ 246
⎠
⎣
⎦
λ=
b
senA0 ⎡⎣ M . I 0 + C0W0 + C2W2 cos2 A0 + C4W4 cos2 A0 + ....⎤⎦
a
1
1 '2 1 1 '4 1 1 3 '6
'2 2
M = 1+ e −
e +
e − ... = (1 + e )
2
24
246
M.
b
=1
a
B0 =
b
C0
a
B2 =
b
C2
a
1
b
2 2
= (1 − e )
a
B4 =
b
C4
a
λ = senA0 . I 0 + senA0 ⎡⎣ B0W0 + B2W2 cos2 A0 + B4W4 cos4 A0 + ...⎤⎦
⎡
⎤
λ = senA0 . I 0 + senA0 ⎢ ∑ B2 pW2 p cos2 p A0 ⎥
⎣
El primer sumando se escribe
0
⎦
ω
dω
= senA0 ∫
2
2
A
sen
1
cos
ω
−
0
0
0
senA0 . I 0 = senA0 ∫
dω
cos2 ω
ω
1
− cos2 A0 tan 2 ω
cos2 ω
d ( senA0 tan ω )
= arctan( senA0 tan ω )
1 + sen 2 A0 tan 2 ω
0
ω
senA0 . I 0 = ∫
Llamando
⎡
⎤
−ε = senA0 ⎢ ∑ B2 pW2 p cos2 p A0 ⎥
⎣ 0
⎦
La expresión de la longitud adopta la forma:
λ + ε = arctan( senA0 tan ω )
tan(λ + ε ) = senA0 tan ω
considerando esta expresión en la esfera principal, resulta la coincidencia de los dos
valores de ε .
2.25 Elementos del triángulo polar sobre la esfera
Las latitudes paramétricas(elipsoide):
ψ1 y ψ 2
Las elongaciones geodésicas(esfera):
ω P1 y ω P 2
Los acimutes (esfera y elipsoide):
AP1 y AP 2
λP1 + ε P1 y λP 2 + ε P 2
Las longitudes (esfera):
La solución de este triángulo esférico resuelve tanto el problema directo como el
inverso. Aunque no es precisamente un problema trivial. Las distintas soluciones, fruto
de 150 años de trabajo, se diferencian en la forma de determinar los elementos: ∆ε y s.
2.26 Problema Inverso Solución de J.J. Levallois y Du Puy.
⎡
⎤
ε = − senA0 ⎢ ∑ B2 pW2 p cos2 p A0 ⎥
⎣
0
⎦
La longitud del arco de geodésica
1
11 4
113 6
s = b(W0 + t 2W2 −
t W4 +
t W6 − ...)
2
24
246
t 2 = e'2 cos 2 A0
2.27 Problema Inverso. Solución iterativa de Helmert modificada por Sodano.
Designando por
L = (λP 2 + ε p 2 ) − (λP1 + ε p1 ) = ∆λ + ∆ε
el ángulo en N, diferencia de longitudes esféricas, se determina por un procedimiento
iterativo este valor con la ayuda de un punto auxiliar P0 .
P0 es el punto donde la geodésica de la esfera alcanza su latitud máxima, que se corresponde con un punto del elipsoide de latitud reducida ψ 0 .
El triángulo A N P0 tiene dos lados AN = A P0 = 90º, y el ángulo en P0 también es recto.
1. Cálculo de las latitudes reducidas.
tanψ 1 =
b
tan ϕ1
a
tanψ 2 =
b
tan ϕ 2
a
2. Se inicia el proceso iterativo con un valor inicial de L = ∆λ , calculándose cada
vez un nuevo valor de L con la ayuda de las fórmulas siguientes hasta que no se
produzcan cambios significativos de L.
Llamando Φ 0 al arco PP
1 2 correspondiente al valor actual de L , resulta
cos Φ 0 = senψ 1senψ 2 + cosψ 1 cosψ 2 cos L
aplicando el teorema del coseno en el triángulo P1 NP2 .
senΦ 0 = ( signo∆λ ) 1 − cos 2 Φ 0
sen2Φ 0 = 2senΦ 0 cos Φ 0
sen3Φ 0 = 3.senΦ 0 − 4 sen3Φ 0
Aplicando el teorema de los senos en los triángulos P1 NP0 , P2 NP0 y P1 NP2
cosψ 0 = cosψ 1senAP1 = cosψ 2 senAP 2
cosψ 2 senL = senΦ 0 senAP1
cosψ 0 = cosψ 1 cosψ 2 senL / senΦ 0
Llamando
2σ m = ω P1 + ω P 2
σ = ω P 2 − ω P1
cos 2σ m = cos(ω P1 + ω P 2 ) = cos ω P 2 cos ω P1 − senω P 2 senω P1
cos σ = cos(ω P 2 − ω P1 ) = cos ω P 2 cos ω P1 + senω P 2 senω P1
cos 2σ m + cos σ = 2 cos ω P1 cos ω P 2
cos 2σ m = 2
senψ 1senψ 2
− cos Φ 0
cos 2 A0
cos 4σ m = −1 + 2 cos 2 σ m
∆L = cosψ 0 ( A.Φ 0 − B.senΦ 0 cos 2σ m + C.sen2Φ 0 cos 4σ m )
A=
e 2 e, e 2 e,2
3e 2 e,4
2
−
ψ
+
sen
sen 4ψ 0
0
,
16
128
e+e
B=
e 2 e,2
e 2 e,4
sen 2ψ 0 −
sen 4ψ 0
16
32
e 2 e,4
C=
sen 4ψ 0
256
3. Una vez calculado un valor de L satisfactorio, se calcula s por
s = b ( B0 Φ 0 + B2 senΦ 0 cos 2σ m + B4 sen2Φ 0 cos 4σ m + B6 sen3Φ 0 cos 6σ m )
3e,4
5e,6
e,2
2
4
B0 = 1 +
sen ψ 0 −
sen ψ 0 +
sen 6ψ 0
4
64
256
B2 =
e,2
e,4
15e,6
sen 2ψ 0 − sen 4ψ 0 +
sen 6ψ 0
4
16
512
B4 =
e,4
3e,6
sen 4ψ 0 −
sen 6ψ 0
128
512
e,6
B6 =
sen 6ψ 0
1536
y los acimutes por:
cot AP1 =
tan ψ 2 cosψ 1 − cos Lsenψ 1
senL
cot AP 2 =
cos Lsenψ 2 − tan ψ 1 cosψ 2
senL
2.28 Problema directo. Método de E. Sodano.
El punto de partida son las fórmulas de Helmert. Mediante unos desarrollos en
series de potencias, que incluyen hasta los términos de grado seis en la excentricidad del
elipsoide, se eliminan las iteraciones del método de Helmert.
El método se adapta bien al cálculo electrónico y se consigue una exactitud de
hasta diez decimales en el acimut y la distancia expresados en radianes. La solución es
adecuada tanto para líneas muy cortas como para las grandes líneas que pueden extenderse hasta un hemisferio.
Si L es la diferencia de longitudes en la esfera y ∆λ la diferencia de longitudes
en el elipsoide
L = ∆λ + ∆ε
se consigue la eliminación del proceso iterativo sustituyendo las fórmulas de Helmert
por desarrollos en serie de ∆ε , que es un infinitésimo, teniendo en cuenta la igualdad
anterior.
La deducción de las fórmulas está publicada en el Bulletin Geodésique: "A
rigorous non-iterative procedure for rapid inverse solution of very long geodesics".
Emanuel Sodano. B.G nº 47-48 pp 13 - 25. 1958.
Algoritmo:
Datos: ϕ1 λ1 AP1 s.
Incógnitas: ϕ 2 λ2 AP 2
b
tan ϕ1
a
Latitud reducida P1 :
tanψ 1 =
Latitud reducida P0 :
cosψ 0 = cosψ 1senAP1
⎛ e,2
⎞
m1 = ⎜ 1 +
sen 2ψ 1 ⎟ (1 − cos2 ψ 0 )
2
⎝
⎠
g = cosψ 1 cos AP1
φs =
s
b
radianes
⎛ e,2
⎞
a1 = ⎜ 1 +
sen 2ψ 1 ⎟ ( sen 2ψ 1 cos φ s + g .senψ 1senφ s )
2
⎝
⎠
⎛ e,2
⎞
⎛ e,2
⎞
e,2
senφ s ⎟ + m1 ⎜ − φ s + senφ s cos φ s ⎟ +
4
⎝ 2
⎠
⎝ 4
⎠
φ0 = φs + a1 ⎜ −
⎛ 5e,4
⎞
⎛ 11e,4
⎞
13e,4
5e,4
e,4
φs −
a12 ⎜
senφs cos φ s ⎟ + m12 ⎜
senφ s cos φ s − φ s cos2 φs +
senφ s cos3 φ s ⎟ +
64
8
32
⎝ 8
⎠
⎝ 64
⎠
⎛ 3e,4
⎞
5e,4
e,4
a1m1 ⎜
senφs + φ s cos φ s −
senφ S cos2 φ S ⎟
4
8
⎝ 8
⎠
Arco distinto del meridiano, AP1 = 0
cot AP 2 = ( g cos φ0 − senψ 1senφ0 ) / cosψ 0
Cuando se trate de un arco de meridiano, AP 2 = 0 y el signo es el del numerador de la
fórmula anterior.
cot L = ( cosψ 1 cos φ0 − senψ 1senφ0 cos AP1 ) / ( senφ0 senAP1 )
⎛
⎛3f 2
⎞
⎛3f 2
⎞⎞
3f 2
∆λ = L + cosψ 0 ⎜ − f φs + a1 ⎜
φs −
senφs ⎟ + m1 ⎜
senφs cos φs ⎟ ⎟
4
⎝ 2
⎠
⎝ 4
⎠⎠
⎝
λ2 = λ1 + ∆λ
senψ 2 = senψ 1 cos φ0 + g.senφ0
tanψ 2 =
cosψ 2 = + cos 2 ψ 0 + ( g cos φ0 − senψ 1senφ0 )
senψ 2
cosψ 2
tan ϕ 2 =
a
tanψ 2
b
2
2.29 Problema inverso. Fórmulas de Sodano.
Algoritmo:
Datos: ϕ1 λ1 ϕ 2 λ2
Incógnitas:
AP 2 AP1 s.
Latitud reducida P1 :
tanψ 1 =
b
tan ϕ1
a
Latitud reducida P2 :
tanψ 2 =
b
tan ϕ 2
a
Diferencia de longitudes:
∆λ = λ2 − λ1
cos Φ = senψ 1senψ 2 + cosψ 1 cosψ 2 cos ∆λ
senΦ =
( cosψ 2 sen∆λ ) + ( senψ 2 cosψ 1 − senψ 1 cosψ 2 cos ∆λ )
2
2
c = cosψ 1 cosψ 2 sen∆λ / senΦ
a1 = senψ 1senψ 2
m1 = 1 − c 2
Distancia s:
⎧
⎫
⎛
⎞
f2 2
2
2
Φ csc Φ ⎟ +
⎪(1 + f + f ) Φ + a1 ⎜ ( f + f ) senΦ −
⎪
2
⎝
⎠
⎪
⎪
⎪ ⎛
⎪
2
2
2
⎞
⎪m ⎜ − ( f + f ) Φ − ( f + f ) senΦ cos Φ + f Φ 2 cot Φ ⎟ +
⎪
⎪⎪ 1 ⎜
⎪⎪
⎟
2
2
2
⎠
s = b⎨ ⎝
⎬
2
2
2
2
⎪ 2⎛ f2
⎪
⎞
⎛
⎞
f
f
f
f
senΦ cos Φ ⎟ + m12 ⎜
Φ+
senΦ cos Φ −
Φ 2 cot Φ −
senΦ cos3 Φ ⎟ + ⎪
⎪a1 ⎜ −
16
2
8
⎠
⎝ 16
⎠ ⎪
⎪ ⎝ 2
⎪
2
2
⎪
⎛ f
⎞
f
⎪a1m1 ⎜
⎪
Φ 2 csc Φ +
senΦ cos 2 Φ ⎟
2
⎪⎩
⎪⎭
⎝ 2
⎠
⎛
⎛ f2
⎞ ⎞
2
f
f
a
+
Φ
+
) 1 ⎜ − 2 senΦ − f 2Φ 2 csc Φ ⎟ + ⎟
⎜(
⎝
⎠ ⎟
L = ∆λ + c ⎜⎜
2
2
⎛
⎞⎟
⎜ m1 ⎜ − 5 f Φ + f senΦ cos Φ + f 2 Φ 2 cot Φ ⎟ ⎟
⎜
⎟
4
⎠⎠
⎝ ⎝ 4
Acimutes:
cot AP 2 =
senψ 2 cosψ 1 cos L − senψ 1 cosψ 2
senL cosψ 1
cot AP1 =
senψ 2 cosψ 1 − cos Lsenψ 1 cosψ 2
senL cosψ 2
2.30 Cálculo de una triangulación en el elipsoide
Cálculos en la esfera.
2.30.1Exceso esférico de un triángulo.
Dado el triángulo esférico de vertices A,B,C y
cuyos ángulos, expresados en radianes, son
respectivamente A,B y C. Se denomina exceso
esférico a
ε = A+ B + C −π
El exceso esférico es proporcional al área del
triángulo e inversamente proporcional al cuadrado del radio de la esfera a la que pertenece.
Consideremos el hemisferio visible y las áreas
de los sectores de vértices A, B y C.
Sector esférico A:
Área S A = 2. A.R 2
Sector esférico B:
Área S B = 2. B. R 2
Sector esférico C:
Área SC = 2.C. R 2
Sumando estas áreas resulta el área del hemisferio 2π R2 más dos veces el área
del triángulo T.
2. A.R 2 + 2.B.R 2 + 2.C.R 2 − 2.T = 2.π .R 2
A+ B + C −π =
T
R2
2.30.2 Teorema de Legendre.
Tanto por su importancia histórica como por la utilidad que puede suponer en
determinadas ocasiones, aún hoy, el siguiente teorema, debido a Legendre, permite
efectuar los cálculos de un triángulo esférico utilizando la trigonometría plana dentro de
un cierto orden de aproximación.
Sean A, B, C los ángulos del triángulo esférico (radianes), a, b y c los lados (expresados
en unidades lineales) y R el radio de la esfera, con una aproximación del cuarto orden,
el cálculo del triángulo esférico se puede reducir al de un triángulo plano cuyos lados
sean a, b y c, cuyos ángulos sean A −
ε
3
, B−
ε
3
y C−
ε
3
; ε es el exceso esférico del
triángulo ABC.
a
b
c
, β= yγ =
son los lados expresados en radianes, el teorema del coseno
R
R
R
en el triángulo esférico
Si α =
cosα = cos β cos γ + senβ senγ cos A
Desarrollando hasta el cuarto orden se puede escribir
cos α = 1 −
α2
2!
β2
cos β = 1 −
cos γ = 1 −
2!
γ2
2!
α4
+
4!
+
+
β4
sen β = β −
4!
γ4
senγ = γ −
4!
β3
3!
γ3
3!
Sustituyendo los desarrollos en la fórmula del coseno
⎛ α2 α4 ⎞ ⎛
β 2 β 4 ⎞⎛ γ 2 γ 4 ⎞ ⎛
β 3 ⎞⎛
γ3⎞
β
γ
1
1
1
cos A
−
+
=
−
+
−
+
+
−
−
⎜
2! 4! ⎟⎠ ⎜⎝
2! 4! ⎟⎠ ⎜⎝
2! 4! ⎟⎠ ⎜⎝
3! ⎟⎠ ⎜⎝
3! ⎟⎠
⎝
1−
α2
2!
+
α4
4!
= 1−
γ2
2!
+
γ4
4!
−
β2
2!
+
β 2γ 2
2!2!
−
β 2γ 4
2!4!
+
β4
4!
−
β 4γ 2
2!4!
+
β 4γ 4
4!4!
⎛
βγ γβ
βγ ⎞
cos A
+ ⎜ βγ −
−
+
3!
3!
3!3! ⎟⎠
⎝
3
3
3 3
Para buscar una relación entre α , β , γ limitándonos a los términos de segundo orden
resulta
α2
2
=
β2
2
+
γ2
2
α 2 = β 2 + γ 2 − 2 βγ cos A
− βγ cos A
Limitándonos a los términos de cuarto orden se puede escribir:
−
α2
2!
+
2
1 2
γ 2 γ 4 β 2 β 2γ 2 ⎛
βγ 3 β 3γ
2
β
γ
2
βγ
cos
βγ
+
−
=
−
+
−
+
+
−
−
A
(
) 2! 4! 2! 2!2! ⎜
4!
3!
3!
⎝
−
α2
2
=−
γ2
2
−
β2
2
+
β 2γ 2
3!
−
β 2γ 2
3!
⎞
⎟ cos A
⎠
cos2 A + βγ cos A
2 β 2γ 2
α = β + γ − 2 βγ cos A −
sen 2 A
3!
2
2
2
Si pasamos a unidades lineales
⎛
⎞
⎛ bc
⎞
a 2 = b2 + c 2 − 2bc ⎜ cos A + ⎜ 2 senA ⎟ senA ⎟
⎝ 6R
⎠
⎝
⎠
En el caso del radio terrestre
dA =
bc
senA
6R 2
es infinitesimal, y teniendo en cuenta que, en este caso,
cos( A − dA) ≈ cos A + dAsenA
pero
ε
3
=
bc
senA
6R 2
⎛
⎛ bc
⎞⎞
a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos ⎜ A − ⎜ 2 senA ⎟ ⎟
⎝ 6R
⎠⎠
⎝
ε⎞
⎛
a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos ⎜ A − ⎟
3⎠
⎝
Repitiendo el razonamiento resulta el teorema. El limitar los desarrollos a los términos
de cuarto orden, limitan la aplicación del teorema a triángulos cuyos lados no pasen de
unos 150 Km, que es lo que ocurre con los lados normales de una triangulación clásica.
Cuando se trata de lados mayores, caso del enlance España Argelia con lados de unos
300 kms, hay que extender la aproximación a términos de mayor orden en los desarrollos.
2.30.3 Extensión del teorema de Legendre al Elipsoide
Aplicando el Teorema de Gauss sobre la curvatura total de un polígono cerrado en el
elipsoide, el resultado de Legendre puede utilizarse igualmente en el elipsoide siempre
que se mantenga la limitación en la longitud de los lados anterior. Con todo rigor habría
que calcular el exceso esférico teniendo en cuenta el área del triángulo y como radio de
la esfera tomar el radio de curvatura medio en el centro del triángulo. La práctica de
calcular el exceso a partir de los ángulos observados asegura además la condición de
mínima varianza (mmcc) para la solución de un triángulo plano aislado.