APÉNDICE A - Facultad de Ingeniería

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Apéndices
APÉNDICE A – Conjuntos ..................................................................................................... II
Introducción ........................................................................................................................... II
A.1. Formas de describir un conjunto................................................................................. II
A.2. Igualdad de conjuntos................................................................................................. II
A.3. Conjunto vacío........................................................................................................... III
A.4. Conjunto universal ..................................................................................................... III
A.5. Representación gráfica de un conjunto...................................................................... III
A.6. Subconjunto............................................................................................................... III
A.7. Operaciones con conjuntos .......................................................................................IV
A.7.1. Intersección ........................................................................................................IV
A.7.2. Unión ...................................................................................................................V
A.7.3. Diferencia ...........................................................................................................VI
A.7.4. Complemento .....................................................................................................VI
APÉNDICE B – Sistema de Unidades ..................................................................................VI
B.1. Sistema Internacional de Unidades (SI).....................................................................VI
B.1.1. Unidades de Magnitudes fundamentales (Unidades de Base) ...........................VII
B.1.2. Unidades Suplementarias ..................................................................................VII
B.1.3. Unidades Derivadas...........................................................................................VII
B.2. Múltiplos y Submúltiplos ...........................................................................................VII
APÉNDICE C – Notación Científica ......................................................................................XI
C.1. Operaciones con notación científica .........................................................................XII
C.1.1. Suma y resta .....................................................................................................XII
C.1.2. Multiplicación y división......................................................................................XII
C.1.3. Potencia de potencia ........................................................................................XIII
APÉNDICE D – Aproximación y Redondeo ....................................................................... XIV
APÉNDICE E – Cifras Significativas ................................................................................... XV
APÉNDICE F - Fórmulas de Perímetros, Áreas y Volúmenes más usadas...................... XVIII
F.1. Fórmula de cálculo de densidad volumétrica ........................................................ XVIII
APÉNDICE G – Trigonometría........................................................................................... XIX
G.1.- Relaciones que existen entre los valores del seno y del coseno cuando el ángulo
pertenece al segundo, tercer o cuarto cuadrante referido a los valores de un ángulo del
primer cuadrante:........................................................................................................... XIX
G.2.- Funciones trigonométricas de ángulos complementarios ...................................... XIX
G.3.- Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios ......................................... XIX
G.4.- Funciones trigonométricas de ángulos opuestos:.................................................. XIX
G.5.- Funciones trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos.......................... XX
G.6.- Funciones trigonométricas para el ángulo doble y el ángulo mitad......................... XX
G.7.- Sumas y diferencias de senos y cosenos............................................................... XX
G.8.- Otras identidades trigonométricas......................................................................... XXI
Apéndice A: Conjuntos
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APÉNDICE A – Conjuntos
Introducción
La noción de conjunto constituye un concepto primitivo que no se definirá en este apéndice y
se presentará de modo intuitivo a través de ejemplos.
Para indicar, por ejemplo, el conjunto cuyos elementos son las vocales de nuestro
abecedario, se escribe V = { a , e , i , o , u }.
Es habitual usar letras mayúsculas para designar un conjunto. Para el ejemplo se usó la
letra V.
Se observa que los elementos se escriben entre llaves, separados por comas y pueden ir en
cualquier orden. Cada elemento figura sólo una vez.
Para indicar que el elemento u pertenece al conjunto V, se escribe u
significa que la letra b no pertenece a V.
V . En cambio b V ,
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. V tiene 5 elementos, por
lo tanto el cardinal del conjunto V es igual a 5 y se simboliza: V = 5 .
A.1. Formas de describir un conjunto
• Descripción por extensión: se realiza nombrando todos los elementos del conjunto.
Esta descripción puede hacerse sólo cuando el cardinal del conjunto es finito.
• Ejemplo: A = { 2 , 3 , 4 , 5 }
• Descripción por comprensión: se realiza especificando o enunciando una
propiedad que identifique a todos los elementos del conjunto. Cuando el cardinal de
un conjunto no es finito o es muy grande resulta necesario usar este tipo de
descripción.
Ejemplo: B = { x R / x < 5 } . Se lee: B es el conjunto cuyos elementos son los
números reales menores que 5.
A continuación se muestra un caso en que el conjunto puede ser expresado por
comprensión y por extensión:
C = { x / x es un número natural divisor de 18 }
C = {1, 2 , 3 , 6 , 9 ,18 }
A.2. Igualdad de conjuntos
Los conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se nota A = B
Ejemplo: A = { x Z / x es mayor que
B = {x
3 y menor que 5 }
Z / x es mayor o igual que 2 y menor que 5 }
II
Curso de Ingreso
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Apéndice A: Conjuntos
Teniendo en cuenta que Z es el conjunto de los números enteros, resulta que:
A = B = { 2 , 1 , 0 ,1 , 2 ,3 , 4
}
A.3. Conjunto vacío
Se llama así al conjunto que no tiene elementos y para designarlo se utiliza el símbolo
Ejemplo: F = { x
.
N / x es divisor de 10 mayor que 5 y menor que 9 }
Los números naturales mayores que 5 y menores que 9 son 6, 7 y 8, y ninguno de ellos es
divisor de 10, de modo que el conjunto F no tiene elementos, ya que ningún x satisface la
condición especificada.
Resulta entonces: F =
.
A.4. Conjunto universal
Se denomina así al conjunto que contiene todos los posibles elementos del tema en estudio
y se simboliza con la letra U.
A.5. Representación gráfica de un conjunto
Para representar conjuntos gráficamente se suele emplear los llamados diagramas de Venn.
Ejemplo: S = {lunes , martes , miércoles , jueves , viernes }
S
lunes
martes
viernes
jueves
miércoles
La representación gráfica permite, como se verá en los temas que se desarrollan a
continuación, analizar con mayor claridad la relación existente entre dos o más conjuntos y
facilita la obtención de conclusiones.
A.6. Subconjunto
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice
que A es subconjunto de B y se simboliza:
A
B ó B
A
La expresión anterior se lee: “A es subconjunto de B”, “A está incluido en B”, “A está
contenido en B”, “B incluye a A” o “B contiene a A”.
Es importante destacar que si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un
conjunto B, pero existe al menos un elemento de B que no pertenece a A, entonces se dice
que A está contenido estrictamente en B y se simboliza:
Curso de Ingreso
III
Apéndice A: Conjuntos
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A
B ó B
A
Ejemplos:
•
El conjunto de los alumnos que cursan la carrera de Ingeniería Mecánica está
incluido en el conjunto de los alumnos de la Facultad de Ingeniería.
M = { x / x es alumno de la carrera Ingeniería Mecánica }
F = { x / x es alumno de la Facultad de Ingeniería }
M
F ó M
F
Gráficamente:
F
•
M
El conjunto de los números enteros Z está contenido en el conjunto de los números
reales R. Z es subconjunto de R.
Z
R
A.7. Operaciones con conjuntos
A.7.1. Intersección
Dados los conjuntos A y B, se llama intersección de A y B al conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a A y a B.
Es decir, el conjunto intersección, que se simboliza A
ambos conjuntos.
A
B = {x/ x
Ayx
B , tiene los elementos comunes a
B}
Gráficamente:
A
B
A
B
Ejemplo:
A = { x / x es número múltiplo de 3 menor que 10}
B = { 3 ,1, 3 , 5 , 7 , 9 }
C = { 3 , 2 , 1, 0 }
IV
Curso de Ingreso
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A
B = {1, 3 , 9}
B
C = { 3}
A
C=
Se observa que A
C=
Apéndice A: Conjuntos
, en este caso se dice que los conjuntos A y C son disjuntos.
A
6
3 9
2
3
C
1
1 5 7
B
0
A.7.2. Unión
Dados los conjuntos A y B, se llama unión de A y B al conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A o a B.
Es decir, el conjunto unión, que se simboliza A
A o a B, o a ambos conjuntos.
B = {x / x
A
Ao x
B , tiene los elementos que pertenecen a
B}
Gráficamente:
A
B
A
B
Ejemplo:
A = { x / x es número entero mayor que 3 y menor que 2}
B = { 1, 1, 3 , 5 , 7 }
A
B = { 2 , 1, 0 ,1, 3 , 5 , 7 }
A
B
1 1
2
0
Curso de Ingreso
3
7
V
5
Apéndice A: Conjuntos
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
A.7.3. Diferencia
Dados los conjuntos A y B, se llama diferencia A
elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
Simbólicamente:
A B = {x / x
B , al conjunto formado por todos los
B}
Ayx
Gráficamente:
A
B
A
B
Ejemplo:
A = { x / x es número entero mayor que 3 y menor que 2}
B = { 1, 1, 3 , 5 , 7 }
A B = { 2, 0
}
B
A
A = {3 , 5 , 7 }
B
3
1 1
2
0
5
7
A.7.4. Complemento
Si A es un subconjunto del conjunto universal U, entonces el complemento de A (relativo a
U), es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.
Simbólicamente:
Ac = { x U / x
A}
En la figura adjunta, el área sombreada, representa el conjunto complemento de A.
U
A
Ac
Ejemplo: Si U es el conjunto de los números naturales, es decir
A = {x
N / x 17 } , entonces A = { x
c
N / x > 17 }
VI
U=N
Curso de Ingreso
y
Apéndice B: Sistema de Unidades
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APÉNDICE B – Sistema de Unidades
Los experimentos involucran la medición de una variedad de cantidades, las que deben
expresarse y reproducirse en la forma más precisa posible. El primer paso para asegurar la
precisión y reproducibilidad es definir las unidades en las cuales se expresan estas medidas.
Antes de efectuar una medición se debe seleccionar una unidad para cada una de las
cantidades a medir. Evidentemente, si se va a informar acerca de los resultados de una
medición, debe definirse un patrón.
La necesidad de tener una unidad homogénea para determinada magnitud, obligó al hombre
a definir unidades convencionales.
Convencionalmente:
1 pulgada = 2,54 cm
1 pie = 30,48 cm
1 yarda = 91,14 cm
B.1. Sistema Internacional de Unidades (SI)
Este sistema surgió como necesidad de adoptar criterios universalmente aceptados en el
uso de unidades de medida.
La República Argentina, miembro fundador en 1875 de la Convención del Metro, tomó parte
en las tareas que culminaron con la histórica determinación de la XI Conferencia de Pesas y
Medidas en 1960, por la cual quedó instituido el SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES (SI). La ley 19 511 del 2 de marzo de 1972 estableció para nuestro país el uso
obligatorio y excluyente del SISTEMA MÉTRICO LEGAL ARGENTINO, constituido por las
unidades del SI y algunas otras unidades.
Para propósitos de medición, se pueden distinguir entre dos tipos de cantidades: las
fundamentales o de base; las suplementarias y las derivadas.
Las cantidades derivadas son aquellas que pueden relacionarse con las fundamentales por
sus definiciones, expresadas como relaciones matemáticas. Las unidades de estas
cantidades derivadas son expresadas en función de las unidades de las cantidades
fundamentales mediante las relaciones de definición.
Entonces, es necesario solamente determinar las cantidades fundamentales y sus unidades
para
determinar
un
sistema
de
unidades.
VI
Curso de Ingreso
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Apéndice B: Sistema de Unidades
B.1.1. Unidades de Magnitudes fundamentales (Unidades de Base)
MAGNITUD
UNIDAD
SIMBOLO
longitud
metro
m
masa
kilogramo
kg
tiempo
segundo
s
corriente eléctrica
Ampere
A
temperatura
Kelvin
K
intensidad lumínica
candela
cd
cantidad de materia
mol
mol
MAGNITUD
UNIDAD
SIMBOLO
Ángulo Plano
radián
(rad)
Ángulo Sólido
estereorradián
sr
B.1.2. Unidades Suplementarias
B.1.3. Unidades Derivadas
Son las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación sólo se
presentarán algunas de ellas.
MAGNITUD
UNIDAD
SIMBOLO
Área
metro cuadrado
m2
Volumen
metro cúbico
m3
Densidad
kilogramo por metro cúbico
kg/m3
Velocidad
metro por segundo
m/s
B.2. Múltiplos y Submúltiplos
Es conveniente introducir unidades más grandes o más pequeñas, que se relacionan a las
unidades normales mediante múltiplos de 10, para las cuales se han creado prefijos
especiales que indican la potencia de que se trata.
En este caso se conserva el nombre de la unidad de base precedido de un prefijo que
también se simboliza sistemáticamente. Los múltiplos y submúltiplos se simbolizan en la
siguiente tabla:
Ejemplo
Factor conversión
Prefijo
Símbolo
10 12
tera
T
12
1 terámetro (Tm) = 1x10 m
10 9
giga
G
9
1 gigámetro (Gm) = 1x10 m
Curso de Ingreso
Apéndice B: Sistema de Unidades
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Factor conversión
Prefijo
Símbolo
10 6
mega
M
1 megámetro (Mm) = 1x106 m
10 3
kilo
k
3
1 kilómetro (km) = 1x10 m
10 2
hecto
h
1 hectómetro (hm) = 1x10 m
10
deca
da
1 decámetro (dam) = 10 m
10 -1
deci
d
1 decímetro (dm) = 0,1 m
10 -2
centi
c
1 centímetro (cm) = 0.01 m
10 -3
mili
m
1 milímetro (mm) = 0,001 m
10 -6
micro
µ
1 micrómetro (µm) = 10
10 -9
nano
n
1 nanómetro (nm) = 10
10 -12
pico
p
1 picómetro (pm) = 10
10 -15
femto
f
VIII
Ejemplo
2
–6
m
–9
m
-12
m
1 femtómetro (fm) = 10
-15
m
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Apéndice C: Notación Científica
APÉNDICE C – Notación Científica
En la ciencia y tecnología es común que el valor de una cantidad en términos de unidades es
un número muy grande o muy pequeño. Por ejemplo:
•
Masa de la tierra: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg
•
Masa del electrón: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg
•
Número de Avogadro = 602 000 000 000 000 000 000 000 partículas/mol
•
Edad de la Tierra: 4 000 000 000 años
•
Velocidad de la luz = 299 790 000 m/s
•
Longitud de una célula típica = 0,000 050 m
•
Longitud de onda de la luz amarilla = 0,000 000 589 m
•
Diámetro del núcleo de un átomo: 0,000 000 000 000 003 m
Para trabajar con estas cantidades sin dificultad, se agrupan las cifras en forma más compacta,
expresando los lugares decimales como potencias de diez.
Este modo de expresar los números se llama notación científica.
Los números anteriores se expresan así en notación científica:
•
Masa de la tierra = 5,98 1024 kg
•
Masa del electrón = 9,11 10-31 kg
•
Número de Avogadro = 6,02 1023 partículas/mol
•
9
Edad de la Tierra: 4 10 años
•
Velocidad de la luz = 2,9979 108 m/s
•
Longitud de una célula típica = 5 10-5 m
•
Longitud de onda de la luz amarilla = 5,89 10-7 m
•
Diámetro del núcleo de un átomo: 3 10
-15
m
En general para expresar un número en NOTACIÓN CIENTÍFICA se lo debe escribir de la
siguiente forma:
n
N 10
donde: N es un número real de una sola cifra entera distinta de cero (1M N < 10) y n
es un número entero.
La notación científica permite captar rápidamente el orden de magnitud de una cantidad
por medio del exponente n.
Así, por ejemplo:
•
6
2,34 10 representa millones de los que hay 2,34
Curso de Ingreso
Apéndice C: Notación Científica
•
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
3 10-4 representa diezmilésimos de los que hay 3
Para escribir estos números en la calculadora se deberá marcar:
N EXP n
ó
N EXP n TECLA +/- (para el caso en que n sea un número negativo)
Por otra parte, el uso de la notación científica facilita notablemente las operaciones a
realizar.
C.1. Operaciones con notación científica
C.1.1. Suma y resta
Los números expresados en notación científica se pueden sumar y restar directamente si
tienen el mismo exponente en la potencia de diez. En este caso, se suman o restan los
coeficientes manteniendo el mismo exponente.
Ejemplos:
a. 3,2 10 12 + 4,9 10 12 = 8,1 10 12
b. 8,9 10 -10 - 2,7 10 -10 = 7,2 10 -10
Si los exponentes de las potencias de diez no son iguales, deben igualarse antes de realizar la
operación.
Ejemplos:
a. 4 10 6 + 3 10 8 = 0,04 10 8 + 3 10 8 = 3,04 10 8
b. 5 10 -7 - 4 10 -8 = 5 10 -7 - 0,4 10 -7 = 4,6 10 -7
c. 3,2 10 -7 - 5,9 10 -5 = 0,032 10 -5 - 5,9 10 -5 = - 5,868 10 -5
C.1.2. Multiplicación y división
Los números en notación científica se pueden multiplicar y dividir aun cuando no tengan el
mismo exponente en la potencia de diez. Primero se multiplican o dividen los números que
anteceden a la potencia de diez y luego se opera con las potencias de diez.
Ejemplos:
a. 1,6 10 -7 7,5 10 -6 = 12 10 -13 = 1,2 10 -12
XII
Curso de Ingreso
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
b.
c.
d.
8 10 -2
2 10
-7
= 4 10 5
9 10 -7 6 10 5
2 10
-2
1,38 10 5 kg
1 10
21
Apéndice C: Notación Científica
kg
= 27 10 0 = 2,7 10
= 1,38 10 26
C.1.3. Potencia de potencia
Al elevar una potencia a un exponente dado se obtiene otra potencia de la misma base cuyo
exponente es el producto de los exponentes dados.
Ejemplos:
a. (10 4 )3 = 10 12
b. (4 10 -5 )4 = 4 4 10 -20
Curso de Ingreso
Apéndice D: Aproximación y Redondeo
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
APÉNDICE D – Aproximación y Redondeo
Para operar con números decimales de muchas cifras, se emplean valores aproximados.
Por ejemplo: Dado el número real 5 ; es un número irracional, por lo cual tiene un número
infinito de cifras decimales no periódicas. La calculadora da una aproximación:
5
2,236 067 9774
Las aproximaciones pueden ser por defecto o por exceso.
La aproximación por defecto es cuando el cálculo aproximado es menor que el número
dado.
La aproximación por exceso es cuando el cálculo aproximado es mayor que el número
dado.
En el ejemplo la aproximación es por defecto, es decir: 2,236 067 9774 < 5 . El número
racional 2,236068 es una aproximación por exceso, es decir: 2,236 068 > 5 .
En la práctica el redondeo consiste en aumentar en una unidad la última cifra conservada
siempre que la primera omitida sea mayor o igual que 5.
En el ejemplo anterior al aproximar
5 a los centésimos, resulta:
XIV
5
2,24
Curso de Ingreso 2008
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Apéndice G: Trigonometría
APÉNDICE E – Cifras Significativas
Cuando un observador realiza una medición, nota siempre que el instrumento de medición
posee una graduación mínima:
Se podrá afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centímetros más una fracción
estimada o determinada “a ojo”, así por ejemplo, se puede estimar L = 33,5 cm.
En este caso (cuando se realizó una medición directa con un instrumento de medición
conocido) las cifras significativas del valor medido, están determinadas por todos los
dígitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medición más un
dígito estimado.
En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar así:
33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m
Es notorio que el número de cifras significativas es tres.
En realidad, la precisión asociada con la medida de una cantidad depende no sólo del
aparato de medición utilizado, sino de otros factores, como: técnica de medición utilizada y
número de mediciones efectuadas.
Curso de Ingreso
XV
Apéndice G: Trigonometría
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
La precisión o incertidumbre en la medición de una cantidad permite definir el número de
cifras significativas asociadas con esa cantidad.
Por ejemplo, si como resultado de una medición se obtiene: 642,643 89 ± 1% significa que la
incertidumbre es alrededor de 6. Entonces, el número tiene sólo 3 cifras significativas, y,
debe expresarse como: 643 ± 1% ó 643 ± 6 .
Si no se especifica la precisión en la medida de una cantidad física, pueden considerarse
que todas son cifras significativas, y la última cifra es la afectada por la incertidumbre en una
unidad de su orden. En este caso, el número de cifras significativas es la cantidad de dígitos
que el mismo posee, sin tener en cuenta los ceros a la izquierda.
Cuando se realizan una serie de operaciones algebraicas usando números con una
precisión establecida, el procedimiento más simple es realizar las operaciones, sin tener en
cuenta la cantidad de cifras significativas. El resultado debe expresarse con el mismo
número de cifras significativas que el menos preciso de los números.
Ejemplos:
• 1 234,56 m tiene 6 cifras significativas.
• 1 002,5 m tiene 5 cifras significativas
• 0,000 456 m tiene 3 cifras significativas
• 0,004 56 kg tiene 3 cifras significativas
• 400,00 g tiene 5 cifras significativas
• 0,010 20 m tiene 4 cifras significativas
Para los números expresados en notación científica se siguen las reglas anteriores en su
parte numérica. La potencia no se tiene en cuenta en el número de cifras significativas.
Ejemplos:
• El número 3,092 10 4 tiene 4 cifras significativas.
• 1,4 10 2 m tiene dos cifras significativas
Existen varias reglas usadas para expresar las incertezas que vale la pena enfatizar.
Por ejemplo si se mide la aceleración de la gravedad g, sería absurdo escribir el resultado
como:
g = (9,79 ± 0,02385) m/s2.
¡No hay forma de conocer la incerteza en la medición con cuatro cifras significativas!
En trabajos de gran precisión, las incertezas se establecen a veces con dos cifras
significativas, pero para nuestros propósitos es posible establecer la siguiente regla:
Regla para establecer las incertezas
Las incertezas experimentales deben ser redondeadas en la mayor parte
de los casos a una sola cifra significativa.
Curso de Ingreso
XVI
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Apéndice G: Trigonometría
Por lo tanto, si un cálculo resulta en una incerteza
redondearse a
g = 0.02385 m/s 2 , la respuesta debe
g = 0.02 m/s 2 , y el resultado anterior debe escribirse
g = 9,79± 0.02 m/s2.
Esta regla tiene sólo una excepción significativa. Si el primer dígito en la incerteza
un 1, entonces puede ser mejor mantener dos cifras significativas en x .
x es
Por ejemplo, supongamos que un cálculo resulta en una incerteza x = 0,14. Redondear
este número a x = 0.1 resulta en una disminución substancial (del orden del 40%!), de
forma tal que podemos afirmar que es más correcto en este caso retener dos cifras
significativas, escribiendo la incerteza como x = 0,14.
Una vez que se ha estimado la incerteza en la medición, deben considerarse las cifras
significativas del valor medido. Un resultado escrito como
rapidez = (605 1.78 ± 30) m/s
es obviamente ridículo. La incerteza de 30 significa que el dígito 5 podría ser realmente tan
pequeño como 2 o tan grande como 8. Claramente, los dígitos siguientes 1, 7 y 8 no tienen
ningún significado y debieran ser redondeados. Es decir que la forma correcta de escribir
este resultado es
rapidez = (605 10 ± 3 10) m/s.
La regla general es:
Regla para escribir los resultados
Regla para escribir los resultados
La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de
magnitud (estar en la misma posición decimal) que la incerteza.
Ejemplo:
La medición 92.81m con una incerteza de 0.3m debe escribirse: (92.8 ± 0.3) m.
Si la incerteza es 3 m; el resultado de la medición debe expresarse: (93 ± 3) m
Se debe tener en cuenta que se hace referencia a cómo expresar el resultado final. Las
reglas de redondeo obviamente no se aplican a cálculos intermedios.
Curso de Ingreso
XVII
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Apéndice F: Fórmulas de Perímetros, Áreas y Volúmenes
APÉNDICE F - Fórmulas de Perímetros, Áreas y Volúmenes más
usadas
Figura Geométrica
Perímetro
Área
Equilátero : 3L
Isósceles : 2 L + b
b h
2
Cuadrado
4.L
L2
Rectángulo
2b + 2h
b.h
Trapecio
b + B + 2L
(B + b).h
Rombo
4L
D d
2
Circunferencia
2 R= .D
---------
Círculo
------------
.R
Triángulo
2
2
Cuerpo Geométrico
Volumen
Cubo
a3
Paralelepípedo
largo x ancho x alto
R2 h
Cilindro recto
1
3
Cono circular
recto
R2 h
4 3
R
3
Esfera
F.1. Fórmula de cálculo de densidad volumétrica
=
M
V
M: Masa del Cuerpo
V: Volumen que ocupa el cuerpo
Curso de Ingreso
XVIII
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Apéndice G: Trigonometría
APÉNDICE G – Trigonometría
G.1.- Relaciones que existen entre los valores del seno y del coseno cuando el
ángulo pertenece al segundo, tercer o cuarto cuadrante referido a los valores
de un ángulo del primer cuadrante:
• Si
IIc
sen
= sen(
cos
= cos(
• Si
)
)
IIIc
sen
= sen(
cos
= cos(
• Si
)
)
IVc
sen
= sen(2
cos
= cos(2
)
)
G.2.- Funciones trigonométricas de ángulos complementarios
Si
son complementarios, se cumple:
y
= cos
sen
tg = cot g
sec = cos ec
G.3.- Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios
Si
y
son suplementarios, se cumple:
sen = sen
cos = cos
tg
= tg
cot g
= cot g
sec = sec
cos ec = cos ec
G.4.- Funciones trigonométricas de ángulos opuestos:
El opuesto de un ángulo
Curso de Ingreso
es - .
XIX
Apéndice G: Trigonometría
sen (
) = sen
) = cos
cos (
tg (
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
cot g (
)=
tg
)=
cot g
G.5.- Funciones trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos
sen ( +
cos ( +
sen (
cos (
tg
(
tg
(
+
) = sen
) = cos
) = sen
) = cos
. cos + sen . cos
. cos
sen ..sen
. cos
sen . cos
. cos + sen ..sen
)=
tg + tg
1 tg tg
)=
tg
tg
1 + tg tg
G.6.- Funciones trigonométricas para el ángulo doble y el ángulo mitad
sen 2 = 2 sen . cos
cos 2 = cos 2
2 tg
tg 2 =
1 tg 2
sen 2
sen
2
=±
1 cos
2
1 + cos
2
2
1 cos
sen
tg =
=
2
sen
1 + cos
cos
=±
G.7.- Sumas y diferencias de senos y cosenos
1
[cos (
) cos ( +
2
1
cos cos = [cos ( + ) + cos (
2
1
sen cos = [sen ( + ) + sen (
2
±
m
sen ± sen = 2 sen
cos
2
2
+
cos + cos = 2 cos
cos
2
2
+
cos
cos = 2 sen
sen
2
2
sen
sen =
Curso de Ingreso
)]
)]
)]
XX
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Apéndice G: Trigonometría
G.8.- Otras identidades trigonométricas
cos 2
sen 2
1 + cos (2
2
1 cos (2
=
2
=
Curso de Ingreso
)
)
XXI