8. Describa geométricamente el conjunto de todos los complejos del

8. Describa geométricamente el conjunto de todos los complejos del plano (puntos), que
satisfacen las relaciones siguientes.
a)
e)
z−i
= 1
z −1 + z +1 = 6
c) Re z = 3
b) 1 ≤ z − i
f)
d) Re z > 3
z + z = Im z .
Solución:
2i
a) El lugar geométrico está formado por los
complejos z que están a distancia 1 de i. ste es
la circunferencia con centro i y radio 1
i
b) Aquí el lugar geométrico es el conjunto de
los complejos z que están en la circunferencia
anterior ( z − i = 1 ) y los que están fuera
de ella
c)
( z − i > 1 ).
Re z = x = 3 define la recta paralela al
eje imaginario y a distancia 3 de él
3
d)
Re z = x > 3 define el semiplano
a la derecha de la recta anterior;
la recta no es parte del lugar geométrico
3
3i
e) tenemos que z pertenece al lugar
geométrico si la suma de sus distancias
a los complejos 1 y -1 es igual a 6.
Esto es una elipse, con focos
a = 3, c= 2, y b= 5
F1 = (-1 , 0)
F1
F2
-1
1
F2
,
f) esto equivale a 2x = y, cuya
representación geométrica es la recta
de la figura.
3
= (1, 0)
2i
1
9. Sea p ( z ) = a 0 z n + a1 z n − 1 + ....... + a n un polinomio con coeficientes reales. Demostrar
que si w ∈ C es un cero de p(z) , entonces w es un cero de p(z). Dar un ejemplo para
mostrar que esto no es válido si los coeficientes son complejos.
Solución:
*
p ( w) = 0 ⇒ p ( w) = 0 = a 0 w n + a1 w n −1 + .... + a n
= a 0 w n + a1 w n − 1 + .. .. + a n
=
a 0 w n + a1 w n −1 + .... + a n
=
a 0 w n + a1 w n − 1 + . . . . + a n
=
p (w) ,
pues
a 0 , a1 , . . . . , a ∈ R
k
y una aplicación del Teor. 2 (5), prueba que w k = w .
(Teor. 2, (4))
(Teor. 2, (5))
Como p ( w) = 0 , w también es un cero de p.
** w = 1 − i es un cero de p ( z ) = iz − i −1, pero w = 1 + i no lo es.
10. Suponga que a ∈ C , a < 1.
Demuestre que
⎧ < 1 , si z < 1
⎪
⎨ = 1 , si z = 1
⎪
⎩ > 1 , si z > 1
z − a
1 − az
Solución:
z−a
2
− 1− az
2
= z
=
z
=
z
2
+ a
2
2
+ a
2
+ a
2
= ( z
= ( z
2
− z a − za − (1 + a z
2
2
−1− a
z −a
− 1− az
(
1− az
)2
z
( z
2
2
− 1)
2
2
> 0 , de modo que
⎧ < 0 , si z < 1
⎪
⎨ = 0 , si z = 1
⎪
⎩ > 0 , si z > 1
2
Dividiendo miembro a miembro por
z −a
2
2
− 1) (1 − a )
Siendo a < 1 , tenemos que 1 − a
2
− az − a z)
− 1 − a z , (a z = a z )
− 1) − a
2
2
2
1 − a z , en cada caso obtenemos
⎧ < 0 , si z < 1
⎪
− 1 ⎨ = 0 , si z = 1
⎪
⎩ > 0 , si z > 1
De aquí se sigue la relación por demostrar:
Nota:
1 − az
2
= 0
si
⇒ z = a −1 =
a
z = a −1
−1
> 1; luego, en el último caso hay que excluir esta posibilidad.
11. Demostrar que la ecuación de cualquier circunferencia puede escribirse en la forma
2
y b ∈ C.
a z + bz + b z + c = 0 , donde a , c ∈ R
Solución:
r
Según sabemos, la ecuación de la
circunferencia con centro en w y radio r > 0 ,
es de la forma
z
w
Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0
siendo z = x + yi. Esta se puede
escribir como sigue:
A ( x 2 + y 2 ) + B Re z + C Im z + D = 0
A z
A z
A z
2
1
1
+ B ( z + z ) + C (z − z ) + D = 0
2
2i
2
+ (
B C
B
C
− ) z + ( + )z + D = 0
2 2i
2
2i
2
+(
B
C
B
C
+ i) z + ( − i)z + D = 0
2
2
2
2
b: =
Poniendo a : = A ,
B
C
+
i,
2
2
(Teor. 2 , (3) )
c : = D, la ecuación de la circunferencia
queda escrita:
2
a z + bz + b z + c = 0
con
a ., c ∈ R
b ∈ C.
y
12. Demostrar que ∀ z ∈ C :
x + y
2
≤
z ≤
siendo z = x + yi
Solución:
z
=
x2 + y2 ≤
x 2 + y 2 + 2 xy
(pues 2 xy
∴z ≤
( x
+ y )2 = x
Por otra parte, de ( x
+
≥ 0)
+ y .
y )2 ≥ 0
obtenemos
x + y ,
2x
y
≤ x2 + y2 .
Sumando x 2 + y 2 a cada miembro
2 x y + x2 + y2 ≤ 2 ( x2 + y2 );
esto es
( x +
luego:
y )2 ≤ 2 z
x
+ y ≤
2
;
2 z