Ecuación de la circunferencia

Capítulo 8
Ecuación de la circunferencia
8.1 Distancia entre dos puntos
Establecido un sistema cartesiano en el plano (coordenadas x; y ), el teorema de Pitágoras nos permite
hallar la distancia entre dos puntos P1 de coordenadas (x1 ; y1 ) y P2 de coordenadas (x2 ; y2 ), (figura 8.1
) con la fórmula:
p
d(P1 ; P2 ) = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2
La distancia entre dos puntos
Figura 8.1
Definición: Una circunferencia de centro C (x0 ; y0 ) y de radio r, donde
r es un número real positivo, es el lugar geométrico de los puntos P , que
están a distancia r de C .
Entonces, las
pcoordenadas (x; y ) de P (figura 8.1 ) deben satisfacer la ecuación
d(P; C ) = (x x0 )2 + (y y0 )2 = r, y al elevar al cuadrado ambos miembros obtenemos la
ecuación
(8.1)
(x x0 )2 + (y y0 )2 = r2
Por otro lado todo punto de coordenadas (x; y ) que satisface la ecuación anterior, tambien está a dirtancia r del punto central C (x0 ; y0 ), así que 8.1 es la ecuación de la circunferencia buscada.
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Ecuación de la circunferencia
Un punto P en la circunfurencia
Figura 8.2
Observación importante: la circunferencia anterior no puede ser el gráfico de una función ya que a cada valor x del dominio debería corresponder dos valores de f (x), lo que no
permite definir la función. Pero si tomamos sólo media circunferencia, entonces la función
f estará definida en el intervalo [x0 r; x0 + r] por la fórmula
p
f (x) = y0 + r2 (x x0 )2
(si tomamos el valor positivo de la raíz) y
superior en la figura 8.3 .
f
tiene como gráfica la media circunferencia
Media circunferencia superior de centro (x0 ; y0 )
Figura 8.3
Por otro lado la función
g(x) = y0
p
r2 (x x0 )2
tiene como gráfica la semicircunferencia inferior. Igualmente es posible construir otras funciones cuya gráfica este compuesta por arcos tomados de las semicircunferencias superior e
inferior, por ejemplo definidas por trozos. Escriba y dibuje usted un ejemplo de esto último.
La circunferencia es un lugar geométrico; el lugar geométrico de los puntos P que equidistan de
otro punto C . Hemos visto que, analíticamente, ese lugar se describe con una ecuación dada por un
polinomio de segundo grado en las variables x e y :
(x x0 )2 + (y y0 )2 r2 = 0
Efectuando operaciones y ordenando el polinomio obtendremos:
x2 + y2 2x0 x 2y0 y + x20 + y02 r2 = 0
8.2 Ejercicios: circunferencias y rectas
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El polinomio de segundo grado más general en dos variables es el siguiente:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F
donde A; B; C D; E; F son números reales.
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Si A = 0 podemos asumir A = 1, dividiendo por A
todos los coeficientes del polinomio.
Miremos un polinomio de segundo grado en x y y como el anterior pero con A = 1. Para que este
polinomio represente una circunferencia, debemos tener que A = B = 1; C = 0 y
F + ( E2 )2 + ( D2 )2 0
En efecto, en este caso el polinomio es
E; x20 + y02 r2 = F y obtenemos:
x2 + y2 + Dx + Ey + F .
Hacemos
2x0 = D;
2y0 =
x0 = D2 ; y0 = E2 y r2 = F + ( D2 )2 + ( E2 )2
Con esta notación el polinomio es (x x0 )2 + (y y0 )2 r2 y la ecuación
(x x0 )2 + (y y0 )2 r2 = 0
representa la circunferencia de centro (x0 ; y0 ) y radio r 0.
Ejemplo: Sea P (x; y ) = Ax2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F un polinomio de segundo grado
E
D
tal que A = B = 1; C = 0 y F + ( )2 + ( )2 < 0, entonces la ecuación P (x; y ) = 0 no
2
2
D y y0 = E ; P (x; y) = 0
representa ningún lugar geométrico porque, haciendo x 0 =
2
2
es equivalente a la ecuación (x x0 )2 + (y y0 )2 = F + x20 + y02 < 0. No existe ningún
par (x; y ) que verifique esta ecuación (sería una circunferencia de «radio imaginario»).
8.2 Ejercicios: circunferencias y rectas
1. Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro (1;
2) y radio 3.
2. Lugares geométricos:
(a) Sean los puntos A(1; 0) y B (4; 0). Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos
P (x; y) del plano tales que,
d(P; B ) = 2
d(P; A)
Ayuda: Considere
(b)
p
d(P; B ) = p(x 4)2 + y2 = 2
d(P; A)
(x 1)2 + y2
2
2
Asi, (x 4) + y = 4((x 1)2 + y 2 ) es una circunferencia de centro (0; 0) y radio 2.
Dados dos puntos fijos cualesquiera, A; B , demuestre que el lugar geométrico de los puntos
P del plano tales que,
d(P; B ) = k constante
d(P; A)
es una circunferencia. Halle esa circunferencia.
(c) Dados dos puntos fijos cualesquiera, A; B . Halle la ecuación del lugar geométrico de los
puntos P del plano tales que,
d(P; A)2 d(P; B )2 = k constante
Demuestre que es una recta perpendicular a la recta que pasa por A y B .
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia (x
(4; 1).
1)2 + (y + 3)2 = 25 en el punto
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Ecuación de la circunferencia
4. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto donde la recta 2x
corta al eje X y que pasa por el punto donde la recta 5x y + 2 = 0 corta al eje Y .
5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (2; 3) y (
x 3y 11 = 0.
3y + 5 = 0
1; 1) y cuyo centro está en la recta
6. Considere dos puntos fijos A(a1 ; a2 ) y B (b1 ; b2 ) en el plano.
(a) Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x; y ) que equidistan de A y de
B.
(b) Pruebe que es una recta perpendicular a AB . Pruebe que es la mediatriz del segmento AB .
7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro
A(2; 6).
C ( 1; 2) y que pasa por el punto
8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3; 1) y B (
situado en la recta 3x y 2 = 0.
9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2
toca en el punto del segundo cuadrante donde x = 2.
+ 14x + y2 + 18y = 39, que la
10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7;
de intersección de las rectas 7x 9y 10 = 0 y 2x 5y + 2 = 0.
11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(
sobre la recta 3x 2y 23 = 0.
1; 3) y su centro está
5) y cuyo centro es el punto
3; 3) y B (1; 4) y su centro está
Si se tienen dos lugares geométricos, representados por ecuaciones f (x; y ) = 0 y g (x; y ) = 0,
hallar los puntos de intersección de los dos lugares geométricos equivale a resolver el sistema de
ecuaciones en x y y .
f (x; y) = 0
g(x; y) = 0
= 1 y la circunferencia x2 + y2 = 4.
Sea P ( 3; 1) y la recta 4x 3y + 1 = 0, encuentre la distancia de P a la recta. Esto es la mínima
distancia d(P ( 3; 1); Q(x; y )) donde Q(x; y ) es un punto de la recta.
12. Encuentre los puntos de corte de la recta x + y
13.