Classical Field Theory

TEORIA CLA SICA DE CAMPOS
Curso 1997{98.
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PROBLEMAS
1 Comprobar que las siguientes ecuaciones de evolucion relativistas describen
correctamente el spin (s) de partculas con masa.
a) Klein-Gordon (s = 0),
b) Dirac (s = 1=2),
c) Proca (s = 1),
d) Proca generalizada (spin entero s),
e) Bargmann-Wigner (s = 3=2),
f) Rarita-Schwinger (s = 3=2).
2 Resolver el problema anterior en el caso de partculas de masa nula.
3 Encontrar soluciones de tipo soliton para la ecuacion Korteweg-de Vries
(KdV)
ut + 6uxu + uxxx = 0;
suponiendo u(x; t) = f (x V t).
4 Encontrar soluciones de tipo kink para la ecuacion sine-Gordon
uxx utt = sin u;
suponiendo u(x; t) = f (x V t).
5 Usando las ecuaciones de Euler-Lagrange encontrar las ecuaciones de evolucion
para las siguientes densidades lagrangianas (L) (h = c = 1):
L = 21m (r )(r ) 21i ( @t
@t ) V ;
L = 14 F F ; F @ A @ A ;
L = 41 F F + 21m ((i@ eA )) (( i@ eA ) ) m ;
L = (i @ m) ; y ;
L = 14 F F + (i [@ + ieA ] m) :
2
0
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6 Deducir las ecuaciones de evolucion y las cantidades conservadas de los
siguientes lagrangianos:
L = 12 f ()@ @ g();
L = 21 @ @ + 21 a @ @ + c @ f () g() ; a ; c 2 R;
L = ap + h()q g() ; 12 @ @ ; p > q 1; a 2 R ;
L = a2 (2) h()@ @ + k() ;
2
L = aj j + b@ @ G(jj) ; a 2 R; b > 0; j 2i ( @ @ ) :
7 Estudiar la invariancia conforme del siguiente lagrangiano
L = 21 @ @ :
> Que ocurre en dos dimensiones?
8 Sea d el operador derivada exterior. Demostrar
a) d = 0,
b) d( ^ ) = d ^ + ( 1)p ^ d , donde 2 p U .
2
9 Sea el tensor completamente antisimetrico en 4 dimensiones con una
metrica (+; ; ; ). Demostrar
=
=
=
=
4!;
3! g;
2! g g g g ;
1! g g g g g g + g g g g g g + g g g g g g :
10 Sea el teorema de Stokes:
Z
K
d =
Z
@K
;
donde K es una variedad orientada p-dimensional y 2 p
siguientes casos:
a) p = n = 2 , K R ,
b) p = n = 3, K R ,
2
3
1
Rn. Estudiar los
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c) p = 2, n = 3, K supercie orientada en R .
3
11 Sea la aplicacion : pU ! n pU denida por
p!(n 1 p)! i1 in j1 jp gi1 j1 gip jp ip+1 ^ ^ in ;
p
= p i1 ip i1 ^ ^ ip , g = det gij , y i1 in = jdet gij j [i in ] es el
tensor completamente antisimetrico, donde [i in] es el smbolo completamente
antisimetrico. Calcular .
12 Sea la aplicacion : pU ! p U denida por ( 1)np n s d ,
1
1
!
1
2
1
+
donde (
= sgn (det gij ). Demostrar:
a) = 0,
b) Sea = i dxi entonces
= p1 @
+
1)s
2
jg j
k
p
c) Sean 2 p U y 2 p U entonces
jgjj gkj ;
1
Z
d ^ =
13 Sean , 2 pU , demostrar que
Z
^ =
Z
Z
^ :
^ :
14 Sea el siguiente operador diferencial de segundo orden, (d + d) :
p U ! p U . Si f es una 0-forma, demostrar
p
f = p1 @
jgjgki (@ f ) :
15 Demostrar que
jg j
k
i
grad f J df = (@j f ) gji @i ;
p
div v Jv = p1 @k jgjvk ;
1
jg j
rot v J dJv = @j vl gli jik @k :
1
donde la denicion del rotacional solo se aplica en R . La aplicacion J lleva
campos vectoriales a 1-formas usando la isometra canonica.
3
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16 Estudiar como se transforman bajo una transformacion de Lorentz los
campos electricos y magneticos.
17 > Como se transforman E B y E
2
Lorentz?
B
2
bajo una transformacion de
18 Deducir variacionalmente la ecuacion de Lorentz.
19 Estudiar la fuerza desde el punto de vista relativista.
20 Estudiar el movimiento de una partcula cargada en el seno de campos
magneticos y electricos, estaticos y uniformes.
21 Estudiar la deriva de una partcula cargada en campos magneticos estaticos
no uniformes.
22 Calculando las correcciones relativistas al orden mas bajo para el lagrangiano de dos partculas cargadas en interaccion, deducir el termino de Darwin.
23 Calcular los campos producidos por un cuadrupolo electrico y por un
dipolo magnetico.
24 Deducir los potenciales de Lienard-Wiechert asumiendo que solo se conoce
el potencial de Coulomb y la relatividad especial.
25 Si los niveles de energa de un atomo no estuvieran cuantizados, el electron
caera al nucleo debido a la perdida de energa por radiacion. Estimar clasicamente el tiempo que tardara un electron en caer sobre el proton suponiendo que
inicialmente se encuentra en una orbita circular de radio R = 0:529
A. > Cuantas
vuelta dara el electron antes de caer? Para simplicar los calculos supongase
que en cada instante la orbita es circular (la trayectoria real sera una espiral). Efectuar los calculos tanto en la aproximacion no relativista como en la
relativista.
26 Escribir la ecuacion de Lorentz-Dirac en terminos de magnitudes tridimensionales.
27 Estudiar el movimiento de una partcula cargada en presencia del campo
producido por un monopolo.
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28 La funcion de Green del potencial vector satisface la ecuacion
k G(k) = 1:
2
El propagador retardado se dene realizando la integral en k por un camino
de integracion que pasa por encima de los dos polos. El propagador avanzado
se calcula usando un contorno que pasa por debajo de los dos polos. Se puede
denir un tercer propagador (de Feynman) postulando un camino de integracion
que pasa por debajo del primer polo y por encima del segundo. Calcular este
ultimo propagador.
0
29 Estudiar las singularidades en el cono de luz (i.e. x ! 0) del propagador
2
de Feynman en el caso masivo.
30 Dirac introdujo la corriente magnetica k = (; k) y modico las ecua-
ciones de Maxwell a
@ F = j ; @ [F ] = k
donde j es la cuadricorriente standard. F es el dual del tensor F .
Demostrar que las nuevas ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo la
siguiente transformacion (llamada transformacion de dualidad):
F ! F; F ! F ;
j ! k; k ! j:
Asumiendo una fuente electrica y magnetica puntual de carga electrica q
y carga magnetica g (las particulas con cargas electricas y magneticas se
denominan diones), demostrar que la fuerza de Lorentz se generaliza a
m ddx = (qF + g[F ])u
2
2
donde u es la cuadrivelocidad de la partcula.
31 Generalizando la derivacion semiclasica de la cuantizacion de la carga
(Dirac) a un sistema compuesto por dos diones de cargas (q ; g ) y (q ; g ),
obtener la siguiente condicion de cuantizacion
q g q g = 1n ;
4h
2
donde n es un numero entero.
1
1
2
2
1
12
12
1
2
2
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32 El modelo Georgi-Glashow es una teora Yang-Mills-Higgs que contiene
un multiplete Higgs que se transforma con la representacion adjunta del grupo
SO(3) y campos gauge W = Wa T a , donde T a son los generadores hermticos
del grupo SO(3) que satisfacen [Ta ; Tb ] = if abc Tc, donde f abc = [abc] abc . En
la representacion adjunta tenemos (T a )bc = ifbca . El lagrangiano del modelo
es
L = 41 Ga Ga + 21 D a D a V ();
donde
G = @ W @ W + ie[W ; W ];
D a = @ a eabcWb c ;
V () = 4 (
2
r):
2 2
Escribir las ecuaciones del movimiento.
Encontrar la ecuacion que verica el dual del tensor G
a .
Usando la notacion Gai Eai y Gija = ijk Bak , escribir la densidad de
energa del modelo (T ). Demostrar que T 0 y encontrar bajo que
0
condiciones se anula.
00
00