II.2 CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN.
• Cuerpo de descomposición de f (X) ∈ F [X].
Cor. al Tma. de Kronecker. Todo polinomio f (X) ∈ F [X] tiene un cuerpo de descomposición.
• Polinomio separable; cuerpo perfecto; elemento separable, extensión separable;
F p = {a ∈ F | ∃ b ∈ F, bp = a}.
Ejemplos. (1) Si ch(F ) = 0, todo polinomio de F [X] es separable.
(2) Si ch(F ) = p y q(X) ∈ F [X] es irreducible entonces,
q(X) separable ⇐⇒ q 0 (X) 6= 0.
Lem.II.10. Sea ch F = p y n > 0.
n
X p − a ∈ F [X] es irreducible sobre F si y solo si a 6∈ F p .
Tma.II.11. F es perfecto si y solo si ch F = 0 o ambos ch F = p y F p = F .
Cor. Todo cuerpo finito es perfecto.
Si F es finito y ch(F ) = p, el automorfismo de Frobenius de F es
σp : F → F : a 7→ ap .
• Lem.II.12. Sean
ψ: F → F0
ψ ∗ : F [X] → F 0 [X]
y
un isomorfismo de cuerpos y su isomorfismo de a.c.u. inducido.
Sean p(X) ∈ F [X] irreducible y p∗ (X) = ψ ∗ (p(X)) ∈ F 0 [X]. Si
(i) β es una raı́z de p(X) (en una extensión de F ) y
(ii) β 0 una raı́z p∗ (X) (en una extensión de F 0 ),
entonces existe un único isomorfismo
ψe : F (β) → F 0 (β 0 )
e
que extiende ψ y tal que ψ(β)
= β 0.
Tma.II.13. Sea
ψ: F → F0
un isomorfismo de cuerpos.
Sea f (X) ∈ F [X] y f ∗ (X) = ψ ∗ (f (X)) el correspondiente polinomio en F 0 [X].
Sean E y E 0 cuerpos de descomposición de f (X) sobre F y de f ∗ (X) sobre F 0 , respectivamente.
Entonces,
(i) existe un isomorfismo
ψe : E → E 0
que extiende ψ, y
e
(ii) si f (X) es separable entonces ψ tiene exactamente [E : F ] extensiones ψ.
Cor.1. Sea f (X) ∈ F [X]. Cualesquiea dos cuerpos de descomposición de f (X) sobre F son isomorfos,
con un isomorfismo que deja fijo F punto a punto (su restricción a F es la identidad).
Obs. Si E es cuerpo de descomposición de f (X) ∈ F [X] entonces la extensión E/F es finita.
Cor.2. Para cada p primo y n ≥ 1 existe un único cuerpo, salvo isomorfismo, con q = pn elementos.
Cuerpo de Galois (notación GF (pn ) ó Fq con q = pn y p primo).
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