Hoja 3

PROBLEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS, Curso 2010/2011)
HOJA DE PROBLEMAS N o 3
1) Sea K ⊂ K(α) una extensión transcendente. Demostrar que K ⊂ K(α3 , α5 ) es
también una extensión transcendente y calcular su grado de transcendencia.
(5)
2) Sea K ⊂ L una extensión de cuerpos tal que {α, β} es una base de transcendencia.
Calcular el grado de transcendencia de la extensión K ⊂ K(α2 , αβ).
3) Sea K ⊂ L una extensión de cuerpos y sean α, β ∈ L. Decidir cuáles de las siguientes
afirmaciones son ciertas:
(i) Si α, β son transcendentes sobre K, entonces α + β es transcendente sobre K.
(ii) Si α, β son transcendentes sobre K, entonces αβ es transcendente sobre K.
(iii) Si α es transcendente sobre K y β es algebraico sobre K, entonces α + β es
transcendente sobre K.
(iv) Si α es transcendente sobre K y β es algebraico sobre K, entonces αβ es transcendente sobre K.
(v) Si α, β son transcendentes sobre K entonces el conjunto {α, β} es algebraicamente
independiente sobre K.
4) Demostrar que, si la extensión K ⊂ L es finitamente generada, entonces para cualquier
cuerpo intermedio K ⊂ K 0 ⊂ L se tiene que K 0 tiene grado de transcendencia finito
sobre K.
πi
5) Sea L un cuerpo de descomposición de f (X) = X 10 − 2 sobre Q y sea ξ = e 5 . Se
pide:
√
(i) Demostrar que 5 es un elemento irreducible y primo en Z[ 2].
(ii) Encontrar el polinomio mı́nimo de ξ sobre Q y demostrar que es irreducible visto
√
como polinomio en (Z[ 2])[X].
√
(iii) Encontrar el polinomio mı́nimo de 10 2 sobre Q y factorizarlo en factores irre√
ducibles en (Z[ 2])[X].
(iv) Demostrar [L : Q] = 40.
(v) Demostrar que para cada divisor positivo d de 40 la extensión Q ⊂ L admite
alguna subextensión intermedia de grado d.
(vi) Determinar cuántas subextensiones Q ⊂ K ⊂ L tienen grado 8 sobre Q y cuántas
tienen grado 5.
(vii) ¿Es abeliano el grupo Gal(L/Q)?
6) Sea ω una raı́z séptima primitiva de la unidad. Se pide:
(i) Demostrar que Q ⊂ Q(ω) es una extensión cı́clica y calcular su grado.
(ii) Dar una base de Q(ω) como espacio vectorial sobre Q y escribir la matriz respecto
de esa base de un elemento de orden dos de Gal(Q(ω)/Q).
(iii) Demostrar que [Q(ω + ω 2 + ω 4 ) : Q] = 2.
(iv) Escribir el inverso de ω + ω 2 + ω 4 como expresión polinomial en ω con coeficientes
en Q.
(v) Decidir si ω + ω 6 es un elemento primitivo de la extensión Q ⊂ Q(ω).
(vi) Encontrar todos los cuerpos intermedios de la extensión Q ⊂ Q(ω).
(vii) Demostrar que Gal(Q(ω, i)/Q(i)) ∼
= Z6 .
7) Sea K el cuerpo de descomposición sobre Q del polinomio (X 4 − 3)(X 3 − 5). Se pide:
(i) Expresar, de forma razonada, el cuerpo K como extensión finitamente generada
de Q y demostrar [K : Q] = 24.
√
(ii) Decidir, razonadamente, si X 3 − 5 es el polinomio mı́nimo de 3 5 sobre Q(i). ¿Y
√
sobre Q(i, 4 3)?
(iii) Decidir, de forma razonada, cuántos subgrupos de orden 8 tiene Gal(K/Q).
(iv) Obtener, razonadamente, todos los cuerpos intermedios de grado 8 sobre Q. ¿Son
extensiones normales de Q?
√
(v) Determinar, de forma razonada, el grupo de Galois de K sobre Q( 4 3).
8) Sean ξ = eπi/10 , η = ξ 4 , i =
√
−1 y u = η + η1 . Se pide:
(i) Demostrar que Q ⊂ Q(η) es una extensión cı́clica de grado cuatro cuyo único
√
cuerpo intermedio no trivial es Q(u) = Q( 5).
(ii) Demostrar que Q(ξ) = Q(i, η), [Q(ξ) : Q] = 8 y calcular el polinomio mı́nimo de
ξ sobre Q.
(iii) Demostrar que el polinomio mı́nimo de ξ 2 + ξ12 sobre Q es X 2 − X − 1 y calcular
el polinomio mı́nimo de ξ + 1ξ sobre Q.
(iv) Probar que el grupo de Galois Gal(Q(ξ)/Q) es abeliano y encontrar generadores
sobre Q de los cuerpos intermedios de la extensión Q ⊂ Q(ξ).
(v) Sea E el cuerpo de descomposición sobre Q(ξ) del polinomio f (X) = X 4 − 5.
Demostrar que la extensión Q ⊂ E es de Galois, calcular su grado y decidir si el
grupo de Galois Gal(E/Q) es o no abeliano.