TII.1 Propiedades básicas de las extensiones.

II. EXTENSIONES DE CUERPOS.
F un cuerpo.
II.1 PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS EXTENSIONES.
• Cuerpo extensión de F (notación: E/F).
Obs.: (1) Todo homomorfismo de cuerpos (de a.c.u.) es inyectivo;
(2) Si E/F , E contiene como subcuerpo una copia isomorfa de F ( que identificaremos con F );
(3) Si E/F , E es un F -espacio vectorial.
Lem.II.1. Sea p(x) ∈ F [X] irreducible.
E = F [X]/(p(X))
es un cuerpo extensión de F y p(X) tiene una raı́z en E.
• Teorema de Kronecker II.2. Sea f (X) ∈ F [X]. Existe un cuerpo E/F sobre el que f (X) se descompone.
Lem.II.3. Sean E/F , α ∈ E, p(X) ∈ F [X] mónico e irreducible. Si p(α) = 0 entonces,
(i) gr(p(X)) ≤ gr(f (X)) para todo f (X) ∈ F [X] no nulo tal que f (α) = 0;
(ii) p(X) es el único polinomio mónico de F [X] de grado gr(p(X)) que tiene a α como raı́z.
El grado de E sobre F (notación: [E : F ]). Extensión finita e infinita.
• Prop.II.4. Sea p(X) ∈ F [X] irreducible y con gr(p(X)) = d. E = F [X]/(p(X)) es una extensión de
F de grado d y si α = X + (p(X)) (raı́z de p(X)) entonces
{1, α, α2 , . . . , αd−1 }
es una base de E como F -espacio vectorial.
Cuerpo obtenido mediante la adjunción a F de elementos α1 , . . . , αn ∈ E de una extensión E/F (notación F (α1 , . . . , αn )). Extensión simple (notación F (α)).
Obs.F (α1 , . . . , αn ) = {f (α1 , . . . , αn )/g(α1 , . . . , αn ) : f (X1 , . . . , Xn ), g(X1 , . . . , Xn ) ∈ F [X1 , . . . , Xn ], g(α1 , . . . , αn ) 6=
0}.
Elemento algebraico sobre F , elemento trascendente sobre F , extensión E/F algebraica.
Prop.II.5. Toda extensión de cuerpos finita es una extensión algebraica.
• Tma.II.6. Sean E/F y α ∈ E algebraico sobre F . Entonces,
(i) existe p(X) ∈ F [X] mónico e irreducible que tiene a α como raı́z;
(ii) Φ : F [X]/(p(X)) → F (α) : f (X) + (p(X)) 7→ α es un isomorfismo que restringido a F es la
identidad;
(iii) el p(X) de (ii) es el único polinomio mónico de grado mı́nimo en F [X] que tiene a α como
raı́z;
(iv) [F (α) : F ] = gr(p(X)).
Polinomio irreducible de α sobre F (notación: Irred(α : F )).
• Cuerpo primo de F .
Prop.II.7. El cuerpo primo de F es isomorfo a Q o a Fp .
Caracterı́stica de un cuerpo.
n
n
n
Obs.1. Si ch(F ) = p entonces para todo a, b ∈ F (a+b)p = ap +bp y para todo n ∈ N, (a+b)p = ap +bp .
Obs.2. Todo cuerpo finito tiene pn elemento para algún primo p y algún n > 0.
Tma.II.8. Para cada primo p y para cada n > 0 existe un cuerpo con pn elementos.
Prop.II.9 (Fórmula de los grados). Si F ⊆ E1 ⊆ E son cuerpos con [E : E1 ] y [E1 : F ] finitas entonces
E/F es finita y [E : F ] = [E : E1 ][E1 : F ].
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