Serie 6
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Algebra Moderna II, 2008-II Michael Barot Fecha de entrega: 09/05/2008 Serie 6 1jSea E/C una extensión de Galois. Sean H1 , H2 dos subgrupos de G(E, c) y D1 , D2 los campos intermedios que les corresponde. ¿Cómo se relacionan D1 y D2 con H1 ∩ H2 ? Conversamente, ¿cómo se relacionan H1 y H2 con D1 ∩ D2 ? √ , 3 2). Calcula los campos intermedios de Q ⊂ E. ¿Cuáles campos son conjugados?, ¿cuáles son normales? √ 2jSea E = Q( −1− 2 −3 3jDemuestra el siguiente resultado: Proposición. Para cada primo p y cada m ≥ 1 existe un polinomio irreducible f ∈ Fp [X] de grado m. Cada polinomio con estas caracterı́sticas m divide a Xp − X. (a) Muestra que si f ∈ Fp [X] es irreducible de grado m entonces Fp [X]/(f ) es isomorfo a Fq con q = pm . i (b) Sea ρ ∈ Fq una raı́z de f . Demuestra que ρp también es raı́z de f . i (c) Demuestra que existe i tal que ρp = ρ y entonces Fp (ρ) ⊆ Fpi . i (d) Demuestra que el mı́nimo i tal que ρp = ρ es i = m y concluye de m ello que f divide a Xp − X. (e) Explica por qué Fq contiene una (q − 1)-ésima raı́z primitiva σ. (f ) Demuestra que hay un único homomorfismo de anillos ϕ : Fp [X] → Fq con ϕ(X) = σ y que ϕ es suprayectivo. (g) Sabemos que Fp [X] es un dominio de ideales principales y por lo tanto el núcleo de ϕ es de la forma (f ) para algún polinomio f . ¿Por qué f es irreducible y de grado m? http://www.matem.unam.mx/barot/cursos/2008-2.html
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