Polinomios en R[x] o Q[x] - U

Sergio Muñoz
Guı́a 6. Álgebra y Geometrı́a I MF.
Polinomios en R[x] o Q[x]
1. Para cada uno de los siguientes polinomios p(x) y f (x), exprese f (x) de la forma f (x) =
q(x)p(x) + r(x), donde q(x) y r(x) son polinomios y grado(r(x) < grado(p(x), o r(x) = 0 (es
decir, divida f (x) por p(x) e indique el resto).
a) f (x) = 2x5 + 3x3 − 1,
p(x) = x3 − 2
b) f (x) = 2x7 − 23x6 + 12x5 − 9x4 + 2x3 − 32x2 + 3,
c) f (x) = 49 x6 − 23 x5 −
8 4
15 x
+ x3 +
2 2
15 x
+ x + 3,
p(x) = x3 − 11x2 + 1
p(x) = 23 x4 − x2 +
1
2
2. Encuentre el valor de k de manera que f (x) = x4 + x3 + 3x2 + kx − 4 sea divisible por
p(x) = x2 − 1.
3. Encuentre el valor de m para que el polinomio 2x4 + 9x3 + 2x2 − 6x + 3m tenga resto 12 al
dividirlo por x + 12.
4. Encuentre un polinomio de grado 2 p(x) ∈ R[x] tal que p(0) = 2, p(1) = 0 p(−1) = 0.
5. Sabiendo que al dividir f (x) = x2 − 3x − 1 por x − c el resto es 3, encuentre c.
6. Determine el polinomio ax2 + bx + c sabiendo que es divisible por x + 2 y que los restos
obtenidos al dividirlo por x + 1 y por x + 3 sean iguales.
7. Criterio para raı́ces racionales (usar sin demostración): Sea p(x) = an xn + · · · + a0 ∈
Z[x], an �= 0. Si un número racional pq es raı́z de p(x) entonces p divide a a0 y q divide a an .
Encuentre, si las hay todas las raı́ces racionales de a) p(x) = 3x4 − 10x3 − 3x2 + 8x − 2, b)
q(x) = 13 x3 + 13 x2 − 19 x.
8. Encuentre todas las raı́ces del polinomio p(x) = x3 + 6x2 + 8x + 3 y factorice en R[x] dicho
polinomio.
9. Factorice en R[x] los siguientes polinomios:
a) f (x) = 2x3 − x2 + x + 1.
c) f (x) = −5x2 + x + 6.
b) f (x) = 2x2 + 4x − 3.
d ) f (x) = x4 − 1.
10. Sabiendo que 3 y 4 son raı́ces de f (x) = x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24, factorice en R[x] dicho
polinomio.
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