´Algebra I. Primero de Ingenierıa Informática. Curso 2006

Álgebra I. Primero de Ingenierı́a Informática. Curso 2006-2007. Hoja 4.
Factorizacion única y Algoritmo de Euclides en anillos de polinomios
1. Demuestra que todo polinomio de grado uno sobre un cuerpo es irreducible.
2. i) Halla el máximo común divisor y mı́nimo común múltiplo de f (X) y g(X) en R[X], sabiendo que
f (X) = (X − 1)2 (X + 1)
g(X) = (X − 1)(X 2 ).
ii) Halla ahora el máximo común divisor de los polinomios anteriores por medio del algoritmo de la división.
3. Halla mcd(x5 + x4 + 4x + 4, x3 − 3x2 + 4x − 2).
4. Halla el máximo común divisor de P = x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 2 y Q = x3 + 3x2 + 3x + 2, en R[x], y escrı́belo
en la forma AP + BQ.
5. Halla el máximo común divisor de P = x2 −1 y Q = x2 −2x+1, en Z3 [X], y escrı́belo en la forma AP +BQ.
6. Hallar el máximo común divisor de P = x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 2 y Q = x3 + 3x2 + 3x + 2 en Q y escribirlo
en la forma AP + BQ.
7. Sea K un cuerpo, f (X), g(X) en K[X]. Demuestra que si existen A(X), B(X) en K[X] tal que A(X)f (X)+
B(X)g(X) = 1, entonces f (X) y g(X) son relativamente primos.
8. Hallar polinomios A y B tales que A(x2 + 2x − 2) + B(x2 + x − 1) = 1.
9. Hallar polinomios A y B tales que A(x2 + 4x + 1) + B(x2 + 3x + 1) = 1.
10. Si P1 y P2 son dos polinomios y D = mcd(P1 , P2 ). Demostrar que
Dm = mcd(P1m , P2m ) .
Raı́ces. Factorización de polinomios
11. Sea K un cuerpo. Demuestra que un polinomio de grado 2, o de grado 3, es irreducible si y solo si no tiene
raı́z.
12. Exhibe un polinomio de grado cuatro que no tenga raı́z pero que sea reducible. (Observa que el criterio
anterior no vale para grados mayores que 3).
13. Halla todos los polinomios irreducibles de grados uno, dos y tres en Z2 [X].
14. Decide cuáles de los siguientes son irreducibles en R[X]: X 2 + 2; X − 2; X 2 + X + 1; X 2 − 2X + 1.
15. Decide cuáles de los siguientes polinomios tiene raı́ces en Q[X]: X 4 − 2X 2 + 1; X 4 + 2X 2 + 1; X 3 − 2.
16. Indica cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles en Q[X]:X 3 + X + 1, X 2 − 2, X 3 − 2 (Sugerencia:
observa que estos tienen grado dos o bien grado tres, por tanto son irreducibles si y sólo si no tienen raı́ces en Q).
17. Demuestra que para todo entero N ≥ 1, el polinomio fN (X) = X N −5 es irreducible en Q[X]. Esto muestra
que en Q[X] hay polinomios irreducibles de cualquier grado. Compara con la situación para el caso de polinomios
reales y complejos.
18. Descomponer P = x3 − 2 en producto de irreducibles en R[x] y después en C[x]. ¿Es irreducible en Q[x]?
19. Probar que x3 − 3x + 3 sólo tiene una raı́z real. Indicación: Dibujar gráfica.
20. Sea P = x3 − 1152x + 2560. Demostrar que sólo tiene una raı́z real. Encontrar un intervalo en que se
encuentre la raı́z y demostrar ası́ que P es irreducible en Q[x].
21. Factorizar x4 − x2 − 2 en R[x] y en C[x].
22. Sea P ∈ R[x], P 0 su derivada, D = mcd(P, P 0 ) y α un cero de P . Demostrar que α es un cero simple (de
multiplicidad uno) de P ⇐⇒ D(α) 6= 0.
23. Sea P ∈ R[x] y α un cero de P . Demostrar que α es un cero de orden n de P ⇐⇒ P (α) = P 0 (α) = . . . =
P
(α) = 0.
√
24. Hallar un polinomio en R[x] tal que z = 1 + −2 sea una de sus raı́ces.
(n−1)
25. Descomponer el polinomio P (x) = (2 + i)x2 + (−13 + i)x + (16 − 12i) ∈ C[x].
26. Tenemos los siguientes datos del número de Kilobytes recibidos por un servidor en los siguientes instantes
t
y
0
1
2
4
8
0 10,1 18,2 36,7 82,4
Dar un polinomio P ∈ R[x] de grado 4 tal que
P (t1 ) = y1 , P (t2 ) = y2 , . . . , P (t5 ) = y5 .
Indicación: Si t1 , t2 , . . . , tn son números reales distintos y 1 ≤ k ≤ n, comprobar que
Pk =
(x − t1 ) · · · (x − tk−1 )(x − tk+1 ) · · · (x − tn )
(tk − t1 ) · · · (tk − tk−1 )(tk − tk+1 ) · · · (tk − tn )
es un polinomio que se anula en todos los ti excepto en tk donde vale 1. Demostrar que
P = y1 P1 + y2 P2 + · · · + yn Pn
es un polinomio de grado menor que n tal que P (ti ) = yi para 1 ≤ i ≤ n. Nota: Este polinomio se llama polinomio
interpolador y aparece en Cálculo Numérico. Existen varios algoritmos que partiendo de los ti y los yi calculan sus
coeficientes con bastante rapidez.